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{{expert|time=2019-05-01T05:09:27+00:00}}
'''拉薩爾不變集原理'''（LaSalle's invariance principle）也稱為'''不變集原理'''（invariance principle）<ref name=Khalil>{{cite book|last1=Khalil|first1=Hasan|title=Nonlinear Systems|date=2002|publisher=Prentice Hall|location=Upper Saddle River NJ|edition=3rd}}</ref>、'''Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理'''（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）<ref name=Haddad>{{cite book|last1=Wassim|first1=Haddad|last2=Chellaboina|first2=VijaySekhar|title=Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach|date=2008|publisher=Princeton University Press}}</ref>或'''克拉索夫斯基-拉薩爾原理'''（Krasovskii-LaSalle principle），是自治[[动力系统]]（可能是[[非線性系統]]）[[李雅普诺夫稳定性]]的判斷準則。
== 全域穩定性版本 ==
考慮以下方程式的系統

: <math> \dot{\mathbf{x}} = f \left(\mathbf x \right) </math>

其中<math>\mathbf x</math>為符合以下條件的變數向量

: <math> f \left( \mathbf 0 \right) = \mathbf 0. </math>

若可以找到<math>C^1</math> [[函数]] <math>V(\mathbf x)</math>，使下式成立

: <math> \dot{V}(\mathbf x) \le 0 </math>針對所有<math> \mathbf x</math>（半負定）

則任何軌跡中[[极限点|聚點]]（accumulation point）的集合都在<math>{\mathcal I}</math>內， <math>{\mathcal I}</math>是其完整軌跡完全在<math> \{\mathbf x : \dot{V}( \mathbf x) = 0 \}</math>集合的聯集。

若<math>V</math>函數又有正定的性質，即

: <math>V( \mathbf x) > 0 </math>，針對所有的<math> \mathbf x \neq \mathbf 0</math>
: <math> V( \mathbf 0) = 0 </math>

而且<math>{\mathcal I}</math>除了<math>\mathbf x(t) = \mathbf 0</math> for <math>t \geq 0</math>的平凡軌跡外，未包括其他軌跡，則原點為[[李雅普诺夫稳定性]]。

再者，若<math>V</math>是徑向無界（radially unbounded）

: 當<math> \Vert \mathbf x \Vert \to \infty </math>時，<math> V(\mathbf x) \to \infty </math>

原點為全域[[李雅普诺夫稳定性|漸近穩定]]。

== 局部穩定性版本 ==

若 
: <math>V( \mathbf x) > 0 </math>，當<math> \mathbf x \neq \mathbf 0</math>時
: <math> \dot{V}(\mathbf x) \le 0 </math>

當<math> \mathbf x </math>在原點的鄰域<math>D</math>內才成立，且集合

: <math> \{ \dot{V}( \mathbf x) = 0 \} \bigcap D </math>

除了<math>\mathbf x(t)=\mathbf 0, t \geq 0</math>的軌跡外，不包括其他系統的軌跡，則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本，原點有局部的[[李雅普诺夫稳定性|漸近穩定性]]。

== 和李雅普诺夫稳定性的關係 ==
If <math> \dot{V} ( \mathbf x) </math>為[[确定双线性形式|負定]]，則原點的全域漸進穩定是[[李雅普诺夫稳定性|李雅普诺夫第二定理]]的結果。若<math>\dot{V} ( \mathbf x)</math>只是半負定，不變集原理也是判斷漸近穩定性的準則。

== 例子：有摩擦力的單擺 ==
此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部[[李雅普诺夫稳定性|漸近穩定性]]。此系統的微分方程如下{{ref|nd1}}：

:<math> m l \ddot{\theta} = - m g \sin \theta - k l \dot{\theta} </math>

其中<math>\theta</math>是單擺的角度，以垂直往下的角度為0度，<math>m</math>是單擺的質量，<math>k</math>是[[摩擦力|摩擦係數]]，[[標準重力|g]]是因重力產生的加速度。

因此可以將系統方程式表示如下

:<math> \dot{x}_1 = x_2 </math>

:<math> \dot{x}_2 = -\frac{g}{l} \sin x_1 - \frac{k}{m} x_2 </math>

利用不變集原理，可以證明一定大小的球體，若初始位置在原點附近<math>x_1 = x_2 = 0</math>，可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義<math>V(x_1,x_2)</math>為

:<math> V(x_1,x_2) = \frac{g}{l} (1 - \cos x_1) + \frac{1}{2} x_2^2 </math>

<math>V(x_1,x_2)</math>即為系統的能量{{ref|nd2}}。<math>V(x_1,x_2) </math>在原點附近，半徑<math>\pi</math>的開球體內為正定。計算其導數

:<math> \dot{V}(x_1,x_2) = \frac{g}{l} \sin x_1 \dot{x}_1 + x_2 \dot{x}_2 =  - \frac{k}{m} x_2^2 </math>

可觀察到<math>V(0) = \dot{V}(0) = 0</math>。若<math> \dot{V} < 0 </math>成立，可以依李雅普诺夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜，<math> \dot{V} \leq 0 </math>及<math>\dot{V}</math>只是半負定。不過，以下集合

:<math> S = \{ (x_1,x_2) | \dot{V}(x_1,x_2) = 0 \} </math>

也就是

:<math> S = \{ (x_1,x_2) | x_2 = 0 \} </math>

除了平凡軌跡'''x''' = '''0'''外，不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間 <math>t</math>, <math>x_2(t)=0</math>，則因為<math>x_1</math>必需小於<math>\pi</math><!-- away from the origin,-->，則<math> \sin x_1 \neq 0 </math>且<math>\dot{x}_2(t) \neq 0 </math>。因此，軌跡不會停留在集合<math>S</math>內。

不變集原理的所有條件都滿足，也可以下結論說：所有在原點附近的軌距，當<math>t \rightarrow \infty </math>時，最後都會收斂到原點{{ref|tw1}}。

== 歷史 ==
此結果是由{{link-en|約瑟夫·皮爾·拉薩爾|J.P. LaSalle}}（在{{link-en|高等研究院|Research Institute for Advanced Studies|RIAS}}）及{{link-en|尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基|Nikolai Nikolaevich Krasovsky}}兩人獨立發現，兩人分別在1960年及1969年發表。約瑟夫·皮爾·拉薩爾在1960年發表此論文，是西方第一位發表此定理的人，而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而1959年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理{{ref|vid}}。

== 相關條目 ==
* [[穩定性理論]]
* [[李雅普诺夫稳定性]]

== 原始論文 ==
* LaSalle, J.P. ''Some extensions of Liapunov's second method,'' IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp.&nbsp;520–527, 1960. ([http://www.math.psu.edu/treluga/511/LaSalle1960.pdf PDF] {{Wayback|url=http://www.math.psu.edu/treluga/511/LaSalle1960.pdf |date=20190430182452 }})
* {{cite journal| last=Barbashin | first=E. A. |author2=Nikolai N. Krasovskii | year=1952 | script-title=ru:Об устойчивости движения в целом |trans-title=On the stability of motion as a whole | language=ru | journal=Doklady Akademii Nauk SSSR | volume=86 | pages=453–456}}
* Krasovskii, N. N. ''Problems of the Theory of Stability of Motion,'' (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

== 教科書 ==
*{{cite book| last1 = LaSalle| last2 = Lefschetz| given1 = J.P.| given2 = S.| authorlink2=Solomon Lefschetz |title = Stability by Liapunov's direct method| publisher = Academic Press| year = 1961}}
*{{cite book| last1 = Haddad| last2 = Chellaboina| given1 = W.M.| given2 = VS| title = Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach| publisher = Princeton University Press| year = 2008| isbn = 9780691133294| url = http://press.princeton.edu/titles/8700.html| access-date = 2019-04-30| archive-date = 2019-04-30| archive-url = https://web.archive.org/web/20190430182458/https://press.princeton.edu/titles/8700.html| dead-url = no}}
*{{cite book| last = Teschl| given = G.| title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| publisher = American Mathematical Society| place = Providence, Rhode Island| year = 2012| isbn = 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/| access-date = 2019-04-30| archive-date = 2012-06-26| archive-url = https://web.archive.org/web/20120626043727/http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/| dead-url = yes}}
*{{cite book| last = Wiggins| given = S.|title = Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos| url = https://archive.org/details/springer_10.1007-b97481| edition=2|publisher=Springer Verlag| place = New York City| year = 2003| isbn= 0-387-00177-8}}

== 教材 ==
* [[德克萨斯州农工大学]]不變集原理的講義（[https://web.archive.org/web/20151119234718/http://www.ee.tamu.edu/~huang/files/materials606/nonlinear9.pdf PDF]）
* [[北卡罗来纳州立大学]]拉薩爾不變集原理的講義（[http://www4.ncsu.edu/~schecter/ma_532_fa12/lasalle.pdf PDF] {{Wayback|url=http://www4.ncsu.edu/~schecter/ma_532_fa12/lasalle.pdf |date=20180619043126 }}）
* [[加利福尼亞理工學院]]拉薩爾不變集原理的講義（[http://www.cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/237/Lecture2_notes_CDS270.pdf PDF] {{Wayback|url=http://www.cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/237/Lecture2_notes_CDS270.pdf |date=20200705145307 }}）
* [[麻省理工学院]]拉薩爾穩定性分析及不變集原理的開放講程講義（[http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-30-feedback-control-systems-fall-2010/lecture-notes/MIT16_30F10_lec22.pdf PDF] {{Wayback|url=http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-30-feedback-control-systems-fall-2010/lecture-notes/MIT16_30F10_lec22.pdf |date=20191021134450 }}）
* [[普渡大學]]穩定性理論及拉薩爾不變集原理的講義（[https://engineering.purdue.edu/~jianghai/Teaching/695/Lec_11_Stability%201.pdf PDF]{{dead link|date=December 2017 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}）

== 參考資料 ==
{{Reflist}}
{{Refbegin|2}}
# {{note|nd1}} [http://www.nd.edu/~lemmon/courses/ee580/ Lecture notes on nonlinear control] {{Wayback|url=http://www.nd.edu/~lemmon/courses/ee580/ |date=20190430182456 }}, University of Notre Dame,  Instructor: Michael Lemmon, lecture 4. 
# {{note|nd 2}} ''ibid.''
# {{note|tw 1}}[http://cc.ee.ntu.edu.tw/~fengli/Teaching/NonlinearSystems/ Lecture notes on nonlinear analysis] {{Wayback|url=http://cc.ee.ntu.edu.tw/~fengli/Teaching/NonlinearSystems/ |date=20060215235454 }}, National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2. 
# {{note|vid}} Vidyasagar, M. ''Nonlinear Systems Analysis,'' SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.

[[Category:稳定性理论]]
[[Category:动力系统]]
[[Category:原則]]