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{{TA
|G1=Math
}}
{{无穷级数}}
'''拉比判別法'''（{{lang-en|Raabe's Test}}）是判斷一個[[實數|實]][[級數]]收歛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时，比[[柯西判别法]]、[[达朗贝尔判别法]]更有效。<ref name="USTC"> {{Cite book | author = 常庚哲，史济怀 | title = 数学分析教程（下册） | location = 安徽合肥 | publisher = 中国科学技术大学出版社| date = 2013 | pages = 第173页 | ISBN = 9787312031311}} </ref>

== 定理 ==
对任意级数<math>\sum_{n=1}^{\infty }a_n</math>
*如果存在 <math>r>1</math> ，<math>n_0\in \mathbb{N}^{*}</math> ,使得当 <math>n>n_0</math> 时，有
:: <math>n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right)\geq  r</math>，
:那么级数<math>\sum_{n=1}^{\infty }a_n</math>[[绝对收敛]]。
*如果对充分大的 <math>n</math> ，有
::<math>n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right)\leq 1</math>，
:那么级数<math>\sum_{n=1}^{\infty }a_n</math>发散。<ref name="USTC"/>

==极限形式==
对任意级数<math>\sum_{n=1}^{\infty }a_n</math> ，令
::<math>\lim_{n\to\infty} n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right)=r,</math>
*<math>r>1</math> 时级数绝对收敛
*<math>r<1</math> 时說明级数 <math>\sum_{n=1}^{\infty }|a_n|</math> 发散(沒有絕對收斂)，原級數 <math>\sum_{n=1}^{\infty }a_n</math> 可能收斂也可能發散。
*<math>r=1</math> 时级数可能收敛也可能发散<ref> {{Cite book | author = 谢惠民 | title = 数学分析习题课讲义 | location = 北京 | publisher = 高等教育出版社 | date = 2004 | pages = 第8页 | ISBN = 9787040129410}} </ref><ref>{{cite mathworld|urlname=RaabesTest|title=Raabe's Test|accessdate=2015-09-02|archive-date=2015-04-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20150402181706/http://mathworld.wolfram.com/RaabesTest.html|dead-url=no}}</ref>

==证明==
*当 <math>r>1</math> 时，存在 <math>p</math> 使得 <math>r > p > 1</math>. 则:

:<math>\lim_{n\to \infty} n\left(\left|\frac {a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right) = r > p =\lim_{ n\to \infty} n\left(\left(1+\frac {1}{n}\right)^p-1\right) </math>
:<math>\Rightarrow \quad n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right) > n\left(\left(1+\frac {1}{n}\right)^p-1\right) \quad </math> 对充分大的   <math>n</math>
:<math>\Rightarrow \quad \left|\frac {a_n}{a_{n+1}}\right| > \frac {(n+1)^p}{n^p} </math>
:<math>\Rightarrow \quad \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |< \frac{\frac{1}{(n+1)^{p}}}{\frac{1}{n^{p}}}</math>
因为当 <math>p>1</math> 时级数 <math>\sum n^{-p}</math> 收敛，故级数 <math> \sum_{n=1}^{\infty }\left| a_n \right|</math> 在 <math>r>1</math> 时收敛，即级数 <math> \sum_{n=1}^{\infty }a_n </math> 绝对收敛。
<ref>{{cite web|url=http://mathumatiks.org/subpage-401-Raabe%E2%80%99s-Test-and-Logarithmic-Test.htm|title=Mathumatiks ::  Raabes Test and Logarithmic Test|work=mathumatiks.org|access-date=2015-09-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304195901/http://mathumatiks.org/subpage-401-Raabe%E2%80%99s-Test-and-Logarithmic-Test.htm|archive-date=2016-03-04|dead-url=yes}}</ref>

*当 <math>r<1</math> 时，有
:<math>n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right)\leq 1,</math>，则
:<math>\left|\frac {a_n}{a_{n+1}}\right|\leq 1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}</math>，即
:<math>\left|\frac {a_{n+1}}{a_n}\right|\geq \frac{n}{n+1}= \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}</math> 
:由于 <math>\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}</math> 发散，故 <math>\sum_{n=1}^{\infty }a_n</math> 发散。<ref name="USTC"/>

==例子==
当 <math>r=1</math> 时无法判断其敛散性，举例如下:
:已知有
::<math>\frac{n+1}{n}(\frac{\ln(n+1)}{\ln n})^{\alpha }=1+\frac{1}{n}+\frac{\alpha }{n\ln n}+o(\frac{1}{n\ln n})</math>
:令 <math>a_n=\frac{1}{n(\ln n)^{\alpha }}</math>
:已知当 <math>\alpha > 1</math> 时，<math>\sum_{n=2}^{\infty }a_n< +\infty </math> ；当 <math>\alpha \leq 1</math> 时，<math>\sum_{n=2}^{\infty }a_n= \infty </math> ，然而由上式得
::<math>n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=1+\frac{\alpha }{\ln n}+o(\frac{1}{\ln n})\rightarrow 1 (n\rightarrow \infty )</math>
:这说明当 <math>r=1</math> 时，拉比判别法无效。<ref>{{cite mathworld|url=BertrandsTest|title=Bertrand's Test|accessdate=2015-09-02|archive-date=2015-09-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20150905191157/http://mathworld.wolfram.com/BertrandsTest.html|dead-url=no}}</ref>

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:级数]]
[[Category:审敛法]]