查看“︁拉梅函数”︁的源代码

[[File:Lame functions.gif|thumb|300px|Lame  function  Maple  animation plot]]
'''拉梅函数'''(Lame functions)是下列拉梅方程的解:<ref name=W>王竹溪 第572页</ref><ref name=WW>Whittaker p554</ref><ref name=Erd>Erdelyi  p55</ref>
;雅可比形式
<math>\frac{d^{2}w}{dz^2}+(A+v(v+1)k^{2}sn^{2}(z,k))w=0</math>+
此拉梅方程的正则奇点在复数平面的<math>2pK+(2q+1)*iK'</math>
其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分，K'代表模数为<math>k'=\sqrt{1-k^2}</math>的完全椭圆积分。

其中 k,v 都是实数，并且 <math>0<k<1</math>,
;代数形式

作雅可比橢圓函數变数替换<math>s=sn^2(z,k)</math>得拉梅方程的代数形式：

<math>\frac{d^{2}\Lambda}{ds^2}+\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s-h})*\frac{d\Lambda}{ds}-\frac{n(n+1)s+H}{4s(s-1)(s-h)}*\Lambda=0</math>

<math>h=k^{-2}=\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}</math>,

<math>H=hA</math>

<math>h>1</math>
此傅克型方程有四个正则奇点<math>0,1,h,\infty</math>
;魏尔斯特拉斯形式<ref name=Erd />
<math>\frac{d^2\Lambda}{dz^2}+[H-n(n+1)\wp(z)]\Lambda=0</math>

其中<math>\wp</math>是[[魏尔斯特拉斯函数]]
;三角函数形式
在雅可比形式的拉梅方程中做代换<ref name=Erd2>Erdelyi  p 56</ref>
<math> sn z= cos \zeta</math>

<math> \zeta=\frac{1}{2}\pi- am z</math>

可得

<math>[1-(kcos \zeta)^2]\frac{d^2\Lambda}{d\Lambda^2}</math><math>+k^{2}cos \zeta \sin \zeta\frac{d\Lambda}{d\zeta}+[h-n(n+1)(k cos \zeta)^2]\Lambda=0                           </math>

在上列方程组 <math>h,k,n</math>等是实数或复数常数，而各变量为复数。
==拉梅方程的本征值==
对于给定的参数v,k,存在四套实数本征值h,令拉梅方程的奇数解或偶数解有2K或4K周期<ref name=F2>Frank  Oliver p685</ref>。

{| class="wikitable"
|-
! 本征值 h !! 奇偶 !! 周期
|-
| <math>a_v^{2m}(k^2)</math> || 偶 || 2K
|-
| <math>a_v^{2m+1}(k^2)</math> || 奇 || 4K
|-
| <math>b_v^{2m}(k^2)</math> || 偶 || 4K
|-
| <math>b_v^{2m+1}(k^2)</math> || 奇 || 2K
|}
==拉梅函数==

与每一个本征值对应的本征函数，称为v阶拉梅函数，其记法及周期性列表于下：<ref name=F>Frank, p684</ref>
{| class="wikitable"
|-
! 本征值 h !! 奇偶 !! 周期 !! 本征函数(拉梅函数)
|-
| <math>a_v^{2m}(k^2)</math> || 偶 || 2K ||<math>Ec_v^{2m}(z,k^2)</math>
|-
| <math>a_v^{2m+1}(k^2)</math> || 奇 || 4K ||<math>Ec_v^{2m+1}(z,k^2)</math>
|-
| <math>b_v^{2m}(k^2)</math> || 偶 || 4K  ||<math>Es_v^{2m+1}(z,k^2)</math>
|-
| <math>b_v^{2m+1}(k^2)</math> || 奇 || 2K  ||<math>Es_v^{2m+2}(z,k^2)</math>
|}
其中<math>2m,2m+1,2m+2</math>代表在（0,2K)区间内的零点数。

==拉梅函数是Heun函数的特例==
Heun方程
<math>gh := \frac{d^2(y(z)}{dz^2}+(\frac{\gamma}{z}+\frac{\delta}{z-1}+\frac{\epsilon}{z-a})*\frac{d(y(z)}{dz}+(\alpha*\beta*z-q)*y(z)/(z*(z-1)*(z-a)) = 0</math>


令=<math> \gamma = 1/2, \delta = 1/2, \epsilon = 1/2, q = -(1/4)*a*h, \alpha = 1/4, \beta = -v(v+1)</math>

则化为拉梅方程

<math>\frac{d^2(y(z)}{dz^2}+(1/2*(1/z+1/(z-1)+1/(z-a)))*\frac{d(y(z)}{dz}+(1/4)*(a*h-\nu*(\nu+1)*z)*y(z)/(z*(z-1)*(z-a))=0</math>

==拉梅方程的Heun函数解==
由于拉梅方程式是Heun方程的特例，因此拉梅方程可以用HeunG函数表示<ref name=NI>Frank Oliver,p713</ref>
<math>y(z) = _C1*HeunG(a, -(1/4)*a*h, -(1/2)*\nu, (1/2)*\nu+1/2, 1/2, 1/2, z)</math>

<math>+_C2*\sqrt(z)*HeunG(a, 1/4+(1/4*(-h+1))*a, 1+(1/2)*\nu, 1/2-(1/2)*\nu, 3/2, 1/2, z)</math>
其中二个HeunG函数是线性无关的。

==拉梅函数的幂级数展开==
拉梅函数可以展开成幂级数形式<ref name=Wang>王竹溪 第573页</ref>


<math>y(z)=\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}*z^{\rho+v}</math>

其中<math>\rho</math>只能取<math>0,1/2</math>

;例子

<math>y(z)={1.2+2.3*\sqrt(z)-.600*h*z-(.383*(a*h-1.*a-1.))*z^(3/2)/a+(0.500e-1*(-4.*a*h-4.*h+a*h^2+2.*\nu^2+2.*\nu))*z^2/a+(0.192e-1*(-10.*a^2*h+9.*a^2+6.*a-10.*a*h+9.+a^2*h^2+6.*\nu*a+6.*\nu^2*a))*z^(5/2)/a^2+O(z^3)}</math>

==参考文献==
<references/>
*王竹溪  郭敦仁 《特殊函数概论》 北京大学出版 2000
*Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920， Cambridge University Press  
*Erdelyi, Higher Transcendental Functions  Vol  III

[[Category:特殊函数]]