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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Joseph Louis Lagrange2.jpg|thumb|200px|約瑟夫·拉格朗日]]

在[[分析力學]]裏，一个[[动力系统]]的'''拉格朗日量'''（{{lang-en|'''Lagrangian'''}}），又稱'''拉格朗日函數'''，简称“拉氏量”，是描述整个物理系统的[[动力]]状态的[[函数]]，對於一般經典物理系統，通常定義為[[動能]]減去[[勢能]]<ref name="Torby1984">{{cite book |last=Torby |first=Bruce |title=Advanced Dynamics for Engineers |url=https://archive.org/details/advanceddynamics0000torb |series=HRW Series in Mechanical Engineering |year=1984 |publisher=CBS College Publishing |location=United States of America |language=en |isbn=0-03-063366-4}}</ref>，以方程式表示為
:<math>\mathcal{L} = T - V</math>；

其中，<math>\mathcal{L}</math>為拉格朗日量，<math>T</math>為動能，<math>V</math>為勢能。

在[[分析力学]]裡，假設已知一个系统的拉格朗日量，则可以将拉格朗日量直接代入[[拉格朗日方程式]]，稍加运算，即可求得此系统的[[运动方程式]]。

拉格朗日量是因數學家和天文學家[[約瑟夫·拉格朗日]]而命名。

在场论，若

<math>S(\phi) = \int \mathcal{L}(\phi(x), \partial \phi(x), x) d^nx</math>

是[[作用量]]，则拉格朗日方程是

<math>\frac{\delta S}{\delta \phi} = 0</math>

==概念==
拉格朗日量是动能<math>T</math>与势能<math>V</math>的差值：
:<math>\mathcal{L}=T - V</math>。

通常，動能的參數為廣義速度<math>\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots,\dot q_N</math>（符號上方的點號表示對於時間<math>t</math>的[[全導數]]），而勢能的參數為[[廣義座標]]<math>q_1,q_2,q_3, \dots, q_N; t</math>，所以，拉格朗日量的參數為<math>q_1,q_2,q_3, \dots, q_N;\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots,\dot q_N;t</math>。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日量。假定這些參數（廣義座標、廣義速度）都互相獨立，就可以用拉格朗日方程式来求得系统的运动方程式。

假設一個物理系統的拉格朗日量為<math>\mathcal{L}</math>，則此物理系統的運動，以拉格朗日方程式表示為
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}=0</math>；

其中，<math>t</math>是时间，<math>q_i</math>是广义坐标，<math>\dot{q}_i</math>是广义速度。

===拉格朗日量與作用量的關係===
一個物理系統的[[作用量]]<math>\mathcal{S}</math>是一種[[泛函]]，以數學方程式定義為 
:<math>\mathcal{S}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\,dt</math>；

其中，<math>L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)</math>是系統的拉格朗日量，廣義坐標<math>\mathbf{q} = \left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right)</math>是時間<math>t</math>的函數，<math>t_{1}</math>和<math>t_{2}</math>分別為初始時間和終結時間。

假若，作用量的[[一次變分]]<math>\delta \mathcal{S}=0</math>，作用量<math>\mathcal{S}</math>為[[平穩值]]，則<math>\mathbf{q}(t)</math>正確地描述這物理系統的真實演化。從這變分運算，可以推導出拉格朗日方程式

詳盡相關導引，請參閱[[拉格朗日方程式]]。

===对称性与守恒量===<!--link守恆量-->
{{main|诺特定理}}

根据[[诺特定理]]，根据物理系统的对称性可以通过拉格朗日量导出守恒量。如果物理系统具有时间平移不变性则可以导出[[能量守恒]]。导出过程如下，思考拉格朗日量對於時間的全導數：
:<math>\frac{d\mathcal{L}}{dt}=\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}</math>。

將拉格朗日方程式代入，可以得到
:<math>\begin{align}\frac{d\mathcal{L}}{dt} & =\sum_i \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right)\dot{q}_i+\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \\
 &=\sum_i \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i\right)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \\
\end{align}</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

定義能量函數<math>\mathit{h}(q_1,q_2,q_3, \dots; \dot q_1,\dot q_2,\dot q_3, \dots;t)</math>為
:<math>\mathit{h}\ \stackrel{def}{=}\ \sum_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i - \mathcal{L}</math>，

則能量函數與拉格朗日量有以下含時關係式：
:<math>\frac{d\mathit{h}}{dt}= - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}</math>。

假若系统具有时间平移不变性，即拉格朗日量顯性地與時間無關，<math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}=0</math>，則能量函數是個常數：<math>\mathit{h}=E</math>。稱這常數<math>E</math>為這物理系統的能量。因此，這物理系統的[[能量守恆]]<ref name="Herb1980">{{citation|last=Goldstein|first=Herbert|authorlink=:en:Herbert Goldstein |title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en| pages=pp. 61, 312-324}}</ref>。如果系统具有空间平移不变性，这个系统为[[动量守恒]]，守恒量[[动量]]为 <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}</math>。

===拉格朗日量的逆问题===
{{main|拉格朗日力学的逆问题}}

1941年[[杰西·道格拉斯]]指出，对于任意常微分方程组<math> F_i(t, q_j, q_j^{'}, q_j^{''})=0 </math>，存在[[作用量]]<math>\mathcal{S}\ =\  \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\,dt</math>使得其欧拉-拉格朗日方程为方程组<math> F_{i} </math>的充分必要条件为：

<math>
\frac{\partial F_i}{\partial q_j^{''}} = \frac{\partial F_j}{\partial q_i^{''}} 
</math>

<math>
\frac{\partial F_i}{\partial q_j} - \frac{\partial F_j}{\partial q_i} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\frac{\partial F_i}{\partial q_j^'}-\frac{\partial F_j}{\partial q_i^'}) 
</math>

<math>
\frac{\partial F_i}{\partial q_j^'} + \frac{\partial F_j}{\partial q_i^'} = 2 \frac{d}{dt} (\frac{\partial F_j}{\partial q_i^{''}})
</math>

这一条件又称为亥姆霍兹条件。需要注意的是，这里<math>\mathcal{L}=T - V</math>不一定成立，[[作用量]]中的<math>\mathcal{L}</math>可以是经典拉格朗日的变形。例如：方程<math>x^{''} + bx^{'}+\omega^2 x=0</math>，对应的拉格朗日量为<math>\mathcal{L} = e^{bt}(\frac{x^{'2}}{2}-\frac{\omega^2 x^2}{2})</math><ref>{{Cite journal |author= Kushagra Nigam |author2=Kinjal Banerjee |url=
https://doi.org/10.48550/arXiv.1602.01563 |title=A Brief Review of Helmholtz Conditions |journal=arxiv |year=2016}}</ref>

==拉格朗日表述==
===重要性===
拉格朗日表述是[[经典力学]]的一种重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因为它可以广泛应用在经典力学；而更是因为它能够帮助物理学家更深刻地了解一个物理系统的物理行为。雖然拉格朗日只是在尋找一種表述經典力學的方法，他用來推導拉格朗日方程式的[[平穩作用量原理]]，現在已被學術界公認為在[[量子力學]]也極具功用。

===优点===
*拉格朗日表述不会被任何坐标系统捆绑住。拉格朗日表述使用[[广义坐标]]来描述系统的空间参数。它所涉及的[[物理量]]是动能与势能，这些物理量的值不会随广义坐标的选择而改变。因此，對於系统的种种[[約束]]，可以选择一组最合适的广义坐标，来计算问题的解答。

*拉格朗日表述能够简易地延伸至其他学术領域。[[电路学]]、[[量子力学]]、[[粒子物理学]]、等等，都可以用拉格朗日表述来分析。

*如果用同样的表述可以分析不同学术領域的物理系统，这些系统必定有結构上的类推。在一个学术領域的新发现，意味著很可能在另一个学术領域会有类似的现象。

===可略坐標和守恆定律===

拉格朗日量有一個優良的性質，那就是[[守恆定律]]可以很容易地從它的表達式讀出來。例如，假設拉格朗日量<math>\mathcal{L}</math>跟某[[廣義速度]]<math>\dot{q}_2</math>有關，而跟[[廣義坐標]]<math>q_2</math>無關，則對應的廣義動量<math>p_2</math>是一個[[守恆量]]。這種坐標稱為「可略坐標」，或「循環坐標」。更詳細地說，拉格朗日量的形式為
:<math>\mathcal{L}(q_1,q_3,q_4, \dots; \dot q_1,\dot q_2,\dot q_3,\dot q_4, \dots;t)</math>。

直接檢視，就可以發覺<math>\mathcal{L}</math>跟<math>q_2</math>無關，因此可以推斷<math>p_2</math>是一個守恆量。

以此類推，假設，時間<math>t</math>不在<math>\mathcal{L}</math>的表達式裏面，則[[哈密頓量]]守恆，即能量守恆。這種物理行為是[[諾特定理]]的一個特別案例。關於能量守恆問題，稍後會有更詳細解說。

==经典力学实例==
假设，在三维空间裏，一個運動中的粒子的動能為<math>T=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2=\frac{1}{2}m(\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2+\dot{x_3}^2)</math>，勢能為<math>V (r)</math>，則拉格朗日量是
:<math>\mathcal{L}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}})= \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2  - V (r)</math>；

其中，<math>m</math>是粒子質量，<math>\mathbf{r}</math>是位置向量，<math>v</math>是粒子的速度。

===直角坐标系===
採用[[直角坐标系]]。那麼，拉格朗日方程式就是
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\right) -  \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}= 0\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3</math>；

其中，<math>x_i</math>是位置向量<math>\mathbf{r}</math>的第<math>i</math>個直角坐标分量。

那麼，
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{x}_i}\right) =m\ddot{x}_i</math>、
:<math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}= - \ \frac{\partial V}{\partial x_i}</math>。

这物理系统的运动方程式为
:<math>m\ddot{\mathbf{r}}+\boldsymbol{\nabla} V=0</math>。

由於势能對於位置的負梯度是作用力：<math>\mathbf{F}= - \boldsymbol{\nabla} V (r)</math>，所以，
:<math>\mathbf{F}=m\ddot{\mathbf{r}}</math>。

这方程式与[[牛顿第二定律]]方程式完全相同。由此可以观察出，拉格朗日表述与牛顿表述的功能相等。

能量函數<math>\mathit{h}</math>為
:<math>\mathit{h}=\sum_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\dot{x}_i - \mathcal{L}=m\sum_i \dot{x}_i^2 - \mathcal{L}=\frac{1}{2}m\sum_i \dot{x}_i^2 +V(\mathbf{r})=T+V=E</math>，

由於拉格朗日量顯性地與時間無關，能量函數<math>\mathit{h}</math>是個常數<math>E</math>。

===球坐标系===
假設選擇[[球坐标系]]，則拉格朗日量是
:<math>\mathcal{L}(r,\ \theta,\ \varphi,\ \dot{r},\ \dot{\theta},\ \dot{\varphi})
=\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) - V (r)</math>；
其中，<math>r</math>是径向距离，<math>\theta</math>是[[天顶角]]，<math>\varphi</math>是[[方位角]]。

稍加运算，得到运动方程式为：
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r}}\right) -  \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r}
=m\ddot{r} - mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+\frac{d V}{dr} =0</math>、
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}\right) -  \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta}
=\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) - mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0</math>、
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}}\right) -  \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi}=\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0</math>。

特別注意，<math>\mathcal{L}</math>跟<math>\varphi</math>無關。所以，<math>\varphi</math>是可略坐标，角動量的z-分量<math>L_z=mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi}</math>是常数。

==檢驗粒子的拉格朗日量==
假定檢驗粒子的質量和[[電荷]]超小，其對於外在系統的影響可以忽略。檢驗粒子時常可以想像為簡單的質點粒子，只擁有質量和電荷性質。像[[電子]]或[[上夸克]]一類的真實粒子具有更複雜的性質，它們的拉格朗日量含有更多項目。

===狹義相對論裏的拉格朗日量===
在[[狹義相對論]]的[[四維空間]]裏，一個移動中的粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為<ref name="Herb1980"/>
:<math>\mathcal{L}= - mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} - V</math>；

其中，<math>m</math>是粒子的[[靜質量]]，<math>c</math>是[[光速]]，<math>v</math>是粒子的速度。

其拉格朗日方程式為
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}
=\frac{d}{dt}(\gamma m\dot{x}_i)+\frac{\partial V}{\partial x_i}=0</math>；

其中，<math>\gamma=1/\sqrt{1 - v^2/c^2}</math>是[[勞侖茲因子]]。

注意到動量<math>p_i=\gamma m\dot{x}_i</math>、作用力<math>F_i= - \ \frac{\partial V}{\partial x_i}</math>。將這些公式代入拉格朗日方程式，就可複製牛頓第二定律的方程式：
:<math>\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}</math>。

因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。

這粒子的[[廣義動量]]<math>p_i</math>定義為
:<math>p_i\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}=\gamma m\dot{x}_i</math>。

*假設這物理系統的勢能為零，這粒子是[[自由粒子]]，則此系統的能量函數<math>h</math>為
::<math>h=\sum_{i=1}^3 \gamma m\dot{x}_i^2 - \mathcal{L}=\gamma mv^2+mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}
=\gamma mc^2</math>。

:這是[[質能方程式]]：粒子的總能量等於其質量乘以光速平方

*假設粒子速度遠小於光速，則拉格朗日量的動能部分可以近似為
::<math> - mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\approx - mc^2\left(1 - \frac{v^2}{2c^2}\right)
= - mc^2+\frac{1}{2}mv^2= - mc^2+T</math>。

:靜質量的能量<math>mc^2</math>是個常數，可以忽略（其[[變分法|變分]]等於零）。相對論性拉格朗日量又變回經典拉格朗日量：
::<math>\mathcal{L}=T - V</math>。

===電動力學裏的相對論性拉格朗日量===
一個移動於[[電磁場]]的[[帶電粒子]]的相對論性拉格朗日量可以寫為
:<math>\mathcal{L}= - mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} - q\phi(\mathbf{r})+ q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r},t)</math>；

其中，<math>q</math>是帶電粒子的[[電荷量]]，<math>\phi</math>是[[電勢]]，<math>\mathbf{A}</math>是[[磁向量勢]]。

其拉格朗日方程式為
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}
=\frac{d}{dt}(\gamma m\dot{x}_i)+q\frac{d A_i}{d t} - q\frac{\partial \phi}{\partial x_i} - q\sum_{j=1}^3 v_j \frac{\partial A_j}{\partial x_i}=0</math>。

所以，
:<math>\frac{d}{dt}(\gamma m\dot{x}_i)= - q\frac{d A_i}{d t}+q\frac{\partial \phi}{\partial x_i}+q\sum_{j=1}^3 v_j \frac{\partial A_j}{\partial x_i}</math>。

注意到作用力<math>\mathbf{F}=\frac{d}{dt}(\gamma m\dot{x}_i)</math>，[[電場]]<math>\mathbf{E}= - \nabla\phi</math>，[[磁場]]<math>\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}</math>。將這些公式代入上述方程式，經過一番運算，就可以得到[[勞侖茲力|勞侖茲力方程式]]：
:<math>\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})</math>。

這拉格朗日量可以複製出勞侖茲力方程式。因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。

===協變的拉格朗日量===
前面這些拉格朗日量都不具有[[協變]]形式，當變換[[坐標系]]時，拉格朗日量的形式可能會有所改變。為了確保這形式不會改變，必須將拉格朗日量寫為協變形式。

對於[[自由粒子]]，作用量<math>\mathcal{A}</math>為
:<math>\mathcal{A}=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt=\int_{t_1}^{t_2} - mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\ dt </math>；

其中，<math>t_1</math>和<math>t_2</math>分別是初始時間和終結時間。

為了要使得拉格朗日量具有協變形式，必須引用[[張量]]來表達。採用[[愛因斯坦求和約定]]，注意到[[四維速度]]與自己的[[內積]]：
:<math>U^{\alpha}U_{\alpha}=\gamma^2(c^2 - v^2)=\gamma^2c^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)</math>；

其中，<math>U^{\alpha}=X^{\prime\mu}=\frac{dX^{\alpha}}{d\tau}
=\gamma(c,v_1,v_2,v_3)</math>是[[四維速度]]，是[[四維坐標]]<math>X^{\alpha}=(ct,x_1,x_2,x_3)</math>對於[[固有時]]<math>\tau</math>的導數（撇號表示對於[[固有時]]<math>\tau</math>的導數）。

將積分元素從微小時間元素<math>dt</math>改變為微小固有時元素<math>d\tau</math>，由於<math>dt=\gamma d\tau</math>，協變的作用量可以寫為
:<math>\mathcal{A}=\int_{\tau_1}^{\tau_2}  - \frac{mc}{\gamma}\sqrt{U^{\alpha}U_{\alpha}}\ \gamma d\tau
=\int_{\tau_1}^{\tau_2}  - mc\sqrt{U^{\alpha}U_{\alpha}}\ d\tau</math>。

協變的拉格朗日量<math>\bar{\mathcal{L}}</math>變為<ref name="Herb1980"/>
:<math>\bar{\mathcal{L}}=\gamma\mathcal{L}=  - mc\sqrt{U^{\alpha}U_{\alpha}}
= -  mc\sqrt{g_{\alpha\beta}U^{\alpha}U^{\beta}}</math>；

其中，<math>g_{\alpha\beta}</math>是[[閔可夫斯基度規]]。

其拉格朗日方程式為
:<math>\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial \bar{\mathcal{L}}}{\partial {X}^{\prime\mu}}\right) - \frac{\partial \bar{\mathcal{L}}}{\partial X^{\mu}}
= -\ \frac{d}{d\tau}\left(\frac{mc{X}_{\mu}^{\prime}}{\sqrt{g_{\alpha\beta}U^{\alpha}U^{\beta}}}\right)
=0</math>。

注意到[[約束]]<math>U^{\alpha}U_{\alpha}=\gamma^2(c^2 - v^2)=c^2</math>，這粒子只能運動於四維速度空間內的特定的三維曲面。將這約束代入上述方程式，可以正確地複製自由粒子的運動方程式。
:<math>\frac{d}{d\tau}(m{X}_{\mu}^{\prime})=m{X}_{\mu}^{\prime\prime}=0</math>。

===電動力學裏的相對論性拉格朗日量的協變表述===
現在假設這粒子是移動於電磁場的帶電粒子。電磁場的協變位勢可以寫為
:<math>q\phi(\mathbf{r}) -  q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r},t)
=qU^{\alpha}\mathbb{A}_{\alpha}(X^{\beta})/\gamma</math>；

其中，<math>\mathbb{A}_{\alpha}=(\phi/c,  - A_1, - A_2, - A_3)</math>是[[電磁四維勢]]。

協變的拉格朗日量<math>\bar{\mathcal{L}}</math>是<ref name="Herb1980"/>
:<math>\bar{\mathcal{L}}=\gamma\mathcal{L}= -  mc\sqrt{g_{\alpha\beta}U^{\alpha}U^{\beta}}  - qU^{\alpha}\mathbb{A}_{\alpha}(X^{\beta})</math>。

其拉格朗日方程式為
:<math>\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial \bar{\mathcal{L}}}{\partial {X}^{\prime\mu}}\right) - \frac{\partial \bar{\mathcal{L}}}{\partial X^{\mu}}
= - \frac{d}{d\tau}(m{X}_{\mu}^{\prime}+q\mathbb{A}_{\mu})+qU^{\alpha}\frac{\partial \mathbb{A}_{\alpha}}{\partial X^{\mu}}
=0</math>。

經過一番運算，可以得到
:<math>\begin{align}m{X}_{\mu}^{\prime\prime}  & = - q\frac{d}{d\tau}(\mathbb{A}_{\mu})+qU^{\alpha}\frac{\partial \mathbb{A}_{\alpha}}{\partial X^{\mu}} \\
 & = - q\frac{dX^{\alpha}}{d\tau}\frac{\partial(\mathbb{A}_{\mu})}{\partial X^{\alpha}}+qU^{\alpha}\frac{\partial \mathbb{A}_{\alpha}}{\partial X^{\mu}} \\
 & =qU^{\alpha}\left(\frac{\partial \mathbb{A}_{\alpha}}{\partial X^{\mu}} -  \frac{\partial (\mathbb{A}_{\mu})}{\partial X^{\alpha}}\right) \\
 & =qU^{\alpha}F_{\mu\alpha} \\
\end{align}</math>

其中，<math>F_{\mu\alpha}</math>是[[電磁張量]]。

這正是勞侖茲力方程式的協變形式。總結，協變的拉格朗日方程式可以複製出協變的勞侖茲力方程式。

== 场论例子 ==

=== 电磁学 ===
<math>\mathcal S[\mathbf{A}] = \int_{\mathcal{M}} \left(-\frac{1}{2}\,\mathbf{F} \wedge \star\mathbf{F} + \mathbf{A} \wedge \star \mathbf{J}\right)</math>

<math>\mathrm{d} {\star}\mathbf{F} = \mathbf{J}</math>

<math>\mathrm{d}\mathbf{F} = 0</math>

=== 量子电动力学 ===
<math>\mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = i\hbar c \bar \psi {D}\!\!\!\!/\ \psi - mc^2 \bar\psi \psi - {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}</math>

=== 量子色动力学 ===
<math>\mathcal{L}_{\mathrm{QCD}} = \sum_n \left ( i\hbar c\bar\psi_n{D}\!\!\!\!/\ \psi_n - m_n c^2 \bar\psi_n \psi_n \right) - {1\over 4} G^\alpha {}_{\mu\nu} G_\alpha {}^{\mu\nu}</math>

=== [[杨-米尔斯场论]] ===
包括QED、量子色动力学、等

=== [[陈-西蒙斯理论]] ===

=== 广义相对论 ===
{{main|爱因斯坦-希尔伯特作用量}}

广义相对论中拉格朗日量密度为：

<math>\mathcal{L}_\text{GR}=\mathcal{L}_\text{EH}+\mathcal{L}_\text{matter}=\frac{c^4}{16\pi G}\left(R-2\Lambda\right)+\mathcal{L}_\text{matter}</math>

其中，<math>\Lambda</math>为[[宇宙学常数]]，<math>R</math>是[[里奇张量|里奇曲率张量]]和[[度规张量]]的缩并。<math>L_{EH}</math>被称为[[爱因斯坦-希尔伯特作用量]]。广义相对论的拉格朗日量可以写成类似于杨-米尔斯方程的形式，这被称为[[爱因斯坦-杨-米尔斯作用量]]。这是注意到大多数微分几何在具有[[仿射联络]]和[[李群]]的纤维丛上表现得很好后得到的结果。通过加入对称群<math>SO(3,1)</math>就可以得到上面的结果<ref name="Bleecker"/><ref name="jost">Jurgen Jost, (1995) "Riemannian Geometry and Geometric Analysis", Springer</ref>。

通过对<math>g_{\mu\nu}</math>变分得到相应的欧拉-拉格朗日方程：

<math> R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+g_{\mu\nu}\Lambda=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}</math>

这也被称为爱因斯坦场方程。

<math>T_{\mu\nu}</math>是[[能动张量]]，定义如下：

<math>T_{\mu\nu} \equiv \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\mathcal{L}_{\mathrm{matter}} \sqrt{-g}) }{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{matter}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{matter}</math>

其中，<math>g</math>为[[度规张量]]的[[行列式]]。在广义相对论中，拉格朗日密度积分时的提及元变为<math>\sqrt{-g}d^4x</math>。这使得积分和坐标无关，因为这个平方根就是[[雅可比行列式]]。负号是为了使根号下为正。

=== 相对论 ===
{{main|弯曲时空中的麦克斯韦方程组}}
在广义相对论下，包含[[爱因斯坦-希尔伯特作用量]]电磁场的拉格朗日密度为：
<math>\begin{align}\mathcal{L}(x) &= j^\mu (x) A_\mu (x)
- {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu}(x) F_{\rho\sigma}(x) g^{\mu\rho}(x) g^{\nu\sigma}(x) + \frac{c^4}{16\pi G}R(x)
\\ &= \mathcal{L}_\text{Maxwell} + \mathcal{L}_\text{Einstein-Hilbert}\end{align}</math>
纯的电磁场拉格朗日密度正是物质的拉格朗日量<math>\mathcal{L}_{matter}</math>。将弯曲时空<math>g_{\mu\nu}(x)</math>替换[[闵可夫斯基时空|闵氏时空]]拉格朗日量中的闵可夫斯基矩阵可以简单得到这个形式。我们可以得到在电磁场中的爱因斯坦场方程。[[能动张量]]为：

<math>  T^{\mu\nu}(x)
=\frac{2}{\sqrt{-g(x)}}\frac{\delta}{\delta g_{\mu\nu}(x)}\mathcal{S}_\text{Maxwell}
=\frac{1}{\mu_{0}}\left(F^{\mu}_{\text{ }\lambda}(x)F^{\nu\lambda}(x)-\frac{1}{4}g^{\mu\nu}(x)F_{\rho\sigma}(x)F^{\rho\sigma}(x)\right) </math>
[[能动张量]]是无迹的：

<math>  T=g_{\mu\nu}T^{\mu\nu}=0 </math>

如果同时对[[爱因斯坦场方程]]两边同时缩并：

<math>  R=-\frac{8\pi G}{c^4}T </math>

这意味着曲率张量也是无迹的，方程可以化简为：

<math> R^{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\frac{1}{\mu_{0}}\left(F^{\mu}_{\text{ }\lambda}(x)F^{\nu\lambda}(x)-\frac{1}{4}g^{\mu\nu}(x)F_{\rho\sigma}(x)F^{\rho\sigma}(x)\right) </math>

另外，弯曲时空的麦克斯韦方程组为：

<math> D_{\mu}F^{\mu\nu}=-\mu_0 j^\nu</math>

其中，<math> D_{\mu}</math>为[[共变导数|协变导数]]。对于四维时空来说，我们可以假设四维电流为0, <math> j^{\mu} = 0 </math>。在自由空间球对称物质分布条件下同时解这两个方程，得到的解是[[赖斯纳-努德斯特伦度规黑洞|赖斯纳-努德斯特伦度规]]，在[[自然单位制]]下带有电荷量为<math>Q</math>的黑洞度规可以写成下面的形式：

<math> ds^2=\left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)dt^2- \left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)^{-1}dr^2 -r^2d\Omega^2</math>

一个可能的统一电磁场和引力场的理论是[[卡鲁扎-克莱因理论]]。<ref name="Bleecker">David Bleecker, (1981) "Gauge Theory and Variational Principles" Addison-Wesley</ref>[[卡鲁扎-克莱因理论]]考虑了一个类似于杨-米尔斯方程的仿射丛，作用量可以分为4维部分和1维部分。不幸的是该理论未能包含全部的标准模型。

==参见==
*[[哈密顿量]]
*[[哈密顿原理]]
*[[拉格朗日力学]]
*[[拉格朗日方程式]]
*[[哈密顿力学]]
*[[最小作用量原理]]
*[[变分法]]
*[[诺特定理]]
*[[泛函导数]]
*泛函积分（[[路径积分表述]]）

==参考文献==
{{reflist}}

{{約瑟夫·拉格朗日}}
{{經典力學}}
[[Category:力學|L]]
[[Category:经典力學|L]]
[[Category:拉格朗日力學|L]]
[[Category:哈密顿力學|L]]