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{{refimprove|time=2015-11-04T01:33:44+00:00}}
{{noteTA
|G1=物理學
|G2= Math
|1=zh-hans: 欧拉;zh-tw:尤拉;zh-hant:歐拉
}}
[[File:Joseph Louis Lagrange2.jpg|thumb|200px|約瑟夫·拉格朗日]]
'''拉格朗日方程式'''（{{lang|en|Lagrange equation}}），-{因}-數學物理學家[[约瑟夫·拉格朗日]]而命名，是[[分析力學]]的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於[[牛頓力學]]中的[[牛頓第二定律]]。

==定義==
假設一個物理系統符合[[完整系統]]的要求，即所有[[廣義座標]]都互相獨立，則拉格朗日方程式成立：
:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\!</math>；

其中，<math>\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!</math>是[[拉格朗日量]]，<math>\mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right)\,\!</math>是廣義座標，是時間<math>t\,\!</math>的函數，<math>\dot{\mathbf{q}} = \left( \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{N} \right)\,\!</math>是[[廣義速度]]。

==導引==
在[[分析力學]]裏，有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式（參閱[[達朗貝爾原理#拉格朗日方程式|達朗貝爾原理]]）；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式（參閱[[哈密頓原理#拉格朗日方程式導引|哈密頓原理]]）；最簡明地，可以借用數學[[變分法]]的[[歐拉-拉格朗日方程式]]來推導：

設定函數<math>\mathbf{y}(x)\,\!</math>和<math>f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!</math>： 
:<math>\mathbf{y}(x)=(y_1(x),\ y_2 (x),\ \ldots, y_N (x))\,\!</math>、
:<math>\dot{\mathbf{y}}(x)=(\dot{y}_1(x),\ \dot{y}_2 (x),\ \ldots,\ \dot{y}_N (x))\,\!</math>、
: <math>f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=f(y_1(x),\ y_2 (x),\ \ldots,\ y_N (x),\ \dot{y}_1 (x),\ \dot{y}_2 (x),\ \ldots,\ \dot{y}_N (x),\ x)\,\!</math>；

其中，<math>x\,\!</math>是[[自變數]]（{{lang|en|independent variable}}）。

若<math>\mathbf{y}(x)\in(C^1[a,\ b])^N\,\!</math>使[[泛函]]<math> J(\mathbf{y})=\int_a^bf(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)dx\,\!</math>取得局部[[平穩值]]，則在區間<math>(a,\ b)\,\!</math>內，歐拉-拉格朗日方程式成立：

:<math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{y}_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\right) - \frac{\partial}{\partial y_i}f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)=0\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ \ldots,\ N\!</math>。

現在，執行下述轉換：
*設定獨立變數<math>x\,\!</math>為時間<math>t\,\!</math>、
*設定函數<math>y_i\,\!</math>為廣義坐標<math>q_i\,\!</math>、
*設定泛函<math>f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!</math>為拉格朗日量<math>\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!</math>，

則可得到拉格朗日方程式
:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\!</math>。

*為了滿足這轉換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，這系統必須是完整系統。
*拉格朗日量是[[動能]]減去[[位勢]]，而位勢必須是[[廣義位勢]]。所以，這系統必須是單演系統。

==半完整系統==
:主項目：參閱[[非完整系統#半完整系統|半完整系統]]
一個不是完整系統的物理系統是[[非完整系統]]，不能用上述形式論來分析。假若，一個非完整系統的[[約束]]可以以方程式表示為
:<math>g_i(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}})=0\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!</math>；
則稱此系統為'''半完整系統'''<ref name="Herb1980">{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en| pages=pp. 46-47}}</ref>。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到[[拉格朗日乘數|拉格朗日乘子]]<math>\lambda_i\,\!</math>：
:<math>\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i=0\,\!</math>；

其中，<math>\lambda_i=\lambda_i(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!</math>是未知函數。

由於這<math>N\,\!</math>個廣義坐標中，有<math>n\,\!</math>個相依的廣義坐標，泛函<math>f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!</math>不能直接被轉換為拉格朗日量<math>\mathcal{L}\,\!</math>；必須加入拉格朗日乘子，將泛函<math>f(\mathbf{y},\ \dot{\mathbf{y}},\ x)\,\!</math>轉換為<math>\mathcal{L}+\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\,\!</math>。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程式：
:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} = \boldsymbol{\mathcal{F}}\,\!</math>；

其中，<math>\boldsymbol{\mathcal{F}}\,\!</math>是[[廣義力]]，<math>\boldsymbol{\mathcal{F}}=\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}\left(\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\right) - \frac{d}{dt}\left[\frac{\partial}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\left(\sum_{i=1}^n\ \lambda_i g_i\right)\right]\,\!</math>。

這<math>N\,\!</math>個廣義力運動方程式加上<math>n\,\!</math>個約束方程式，給出<math>N+n\,\!</math>個方程式來解<math>N\,\!</math>個未知廣義坐標與<math>n\,\!</math>個拉格朗日乘子。

==實例==
這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出，用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

===自由落體===
思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於[[重力]]<math>F=mg\,\!</math>作用於此粒子，應用[[牛頓第二定律]]，可以得到運動方程式
:<math>\ddot x = g\,\!</math>；

其中，x-坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能<math>T\,\!</math>是
:<math>T = \frac{1}{2} m v^2\,\!</math>，

位勢<math>V\,\!</math>是
:<math>V = - m g x\,\!</math>；

所以，拉格朗日量<math>\mathcal{L}\,\!</math>是
:<math>\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m g x\,\!</math>  。

將<math>\mathcal{L}\,\!</math>代入拉格朗日方程式，
:<math>0 =  \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}= m\frac{d \dot x}{dt} - mg\,\!</math>。

運動方程式是
:<math>\ddot x = g\,\!</math>；
與牛頓方法的運動方程式相同。

===具有質量的移動支撐點的簡單擺===
[[File:PendulumWithMovingSupport.JPG|frame|right]]

思考一個[[擺|簡單擺]]系統。系統的x-軸平行於地面，y-軸垂直於x-軸，指向地面。擺錘P的質量是<math>m\,\!</math>，位置是<math>(x,\ y)\,\!</math>。擺繩的長度是<math>l\,\!</math>。擺的支撐點Q的質量是<math>M\,\!</math>。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是<math>(X,\ 0)\,\!</math>。擺繩與y-軸的夾角是<math>\theta\,\!</math>。那麼，動能是
:<math>T = \frac{1}{2} M \dot{X}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)\,\!</math>，

位勢為
:<math>V= - mgy\,\!</math>。

所以，拉格朗日量是
:<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{X}^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)+mgy\,\!</math>。

兩個約束方程式為
:<math>x=X+l\sin\theta\,\!</math>、
:<math>y=l\cos\theta\,\!</math>。

將約束方程式代入拉格朗日量方程式,
:<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2} M \dot{X}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot{X} + l \dot\theta\cos\theta\right)^2 + \left( l \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right]+ mgl\cos\theta\,\!</math>。

特別注意，在這裏，廣義坐標是<math>X\,\!</math>與<math>\theta\,\!</math>。應用拉格朗日方程式，經過微分運算，對於<math>X\,\!</math>坐標，可以得到
:<math>\frac{d}{dt}\left[(M+m) \dot{X}+ml\dot{\theta}\cos\theta\right]=0\,\!</math>。

運動方程式為
:<math>(M+m)\ddot{X}+ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^2\sin\theta = 0 \,\!</math>。

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標<math>X\,\!</math>，稱<math>X\,\!</math>為'''可略坐標'''，而其相對應的[[廣義動量]]<math>p_X\,\!</math>是常數<math>K_1\,\!</math>：
:<math>p_X=(M+m)\dot{X}+ml\dot{\theta}\cos\theta=K_1\,\!</math>。

對於<math>\theta\,\!</math>坐標，可以得到
:<math>\frac{d}{dt}\left[m(l^2 \dot{\theta}+\dot{X}l\cos\theta)\right]+m(\dot{X}l\dot{\theta}+gl) \sin\theta=0\,\!</math>；

所以，運動方程式為
:<math>\ddot{\theta}+\frac{\ddot{X}}{l}\cos\theta+\frac{g}{l}\sin\theta=0\,\!</math>。

假如用牛頓第二定律，則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。

== 相關條目 ==
{{portal box|物理學}}
* [[拉格朗日量]]
* [[拉格朗日力學]]
* [[哈密頓力學]]
* [[牛頓力學]]
* [[變分法]]

==參考文獻==
{{reflist}}

{{約瑟夫·拉格朗日}}
[[Category:經典力學|L]]
[[Category:動力學|L]]
[[Category:拉格朗日力學|L]]
[[Category:偏微分方程|L]]

[[en:Lagrangian equation]]