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'''拉格朗日括号'''是一种与[[泊松括号]]关系密切的运算，1808年至1810年间由[[约瑟夫·拉格朗日]]最早用于[[经典力学]]之中。不过与泊松括号相比，拉格朗日括号在今日已不常使用。

== 定义 ==
令(''q''<sub>1</sub>, &hellip;, ''q''<sub>''n''</sub>, ''p''<sub>1</sub>, &hellip;, ''p''<sub>''n''</sub>)为[[相空间]]中的[[正则坐标]]，且每一个坐标都可表示为两个变量''u''与''v''的函数，则''u''和''v''的拉格朗日括号为：

:<math>
[ u, v ]_{p,q} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial q_i}{\partial u} \frac{\partial p_i}{\partial v} - \frac{\partial p_i}{\partial u} \frac{\partial q_i}{\partial v} \right).
</math>

== 性质 ==
* 拉格朗日括号与特定的正则坐标无关(''q'', ''p'')。如取另一组正则坐标(''Q'',''P'')&nbsp;=&nbsp;(''Q''<sub>1</sub>, &hellip;, ''Q''<sub>''n''</sub>, ''P''<sub>1</sub>, &hellip;, ''P''<sub>''n''</sub>)，满足[[正则变换]]

::<math> Q=Q(q,p), P=P(q,p) </math>

此时拉格朗日括号不变，即

:: <math> [ u, v]_{q,p} = [u , v]_{Q,P}</math>

因而通常情况下会省略下标。

* 如果''2n''维相空间''W''上有[[辛形式]]''&Omega;''，''u''<sub>''1''</sub>,&hellip;,''u''<sub>''2n''</sub>是''W''上的一个坐标系，那么正则坐标(''q'',''p'')可表示为''u''的函数，而拉格朗日括号所组成的[[矩阵]]

:: <math> [ u_i, u_j ]_{p,q}, \quad 1\leq i,j\leq 2n </math>

表示在]''&Omega;''在坐标系''u''下的分量，可看作一个[[张量]]。这个矩阵是由泊松括号所组成的矩阵

:: <math> \{u_i, u_j\}, \quad 1\leq i,j\leq 2n </math>

的[[逆矩阵]]。

* 由上述性质可以得到，相空间上的坐标(''Q''<sub>1</sub>, &hellip;, ''Q''<sub>''n''</sub>, ''P''<sub>1</sub>, &hellip;, ''P''<sub>''n''</sub>)是正则的，当且仅当它们之间的拉格朗日括号有如下形式：

:: <math> [Q_i, Q_j]_{p,q}=0, \quad [P_i,P_j]_{p,q}=0,\quad [Q_i, P_j]_{p,q}=-[P_j, Q_i]_{p,q}=\delta_{ij}. </math>

== 参见 ==
* [[拉格朗日力学]]
* [[哈密顿力学]]

== 参考文献 ==
* Cornelius Lanczos, ''The Variational Principles of Mechanics'', Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
* Iglesias, Patrick, ''Les origines du calcul symplectique chez Lagrange'' [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277. {{MathSciNet|id=1659212}}

{{約瑟夫·拉格朗日}}
[[Category:双线性算子]]
[[Category:二元运算]]
[[Category:哈密顿力学]]