查看“︁拉格朗日定理 (群論)”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{條目消歧義|拉格朗日定理}}

'''拉格朗日定理'''是[[群論]]中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限[[群]]的結構給出了很多線索。

==定理陳述==
{{Math theorem
| name = 拉格朗日定理{{Sfn|Hungerford|1974|p=39|loc=Corollary 4.6}}
| math_statement = 
如果 <math>H</math> 是群 <math>G</math> 的子群{{NoteTag|沒有假設是有限群}}，那麼 <math display="block">|G| = |H|[G:H]</math> 
而如果 <math>G</math> 是有限群，那麼這個定理可以簡化成—— <math>|H|</math> 是 <math>|G|</math> 的[[因數]]。
}}
{{Math proof
| title = 證明思路
| proof = 
定理的證明利用了[[陪集]]的以下性質：
# 一個子群的所有陪集在集合意義下有相同的大小{{NoteTag|或稱——勢}}（ Cardinality ）{{Sfn|Hungerford|1974|p=38|loc=Theorem 4.2}}。
# 一個子群的所有陪集分割{{NoteTag|意思是每個群元素都位在剛好一個（ exactly one ）陪集之中}}了整個群{{Sfn|Hungerford|1974|p=38|loc=Corollary 4.3}}。
# 根據集合的特性， <math>G</math> 的大小可以寫成是陪集的大小（ <math>|H|</math> ）乘上{{NoteTag|cardinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法}}陪集的數量（ <math>[G:H]</math> ）。
}}

==推論==

# 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 <math>G</math> 中每個元素的[[階 (群論)|階]]（ Order ）都會[[除法|整除]]群 <math>G</math> 的[[階 (群論)|階]]（考慮由這個元素生成的[[循環群]]）。
# 如果 <math>|G|</math> 是[[质数|質數]]，那麽 <math>G</math> 同構於質數[[階 (群論)|階]]的[[循環群]] <math>C_{|G|}</math> （因為質數沒有 <math>1</math> 和自身以外的[[因數]]）{{Sfn|Gallian|2012|p=149|loc=Corollary 3}}。
# [[費馬小定理]]是拉格朗日定理的一個簡單推論{{Sfn|Gallian|2012|p=149|loc=Corollary 5}}。

==逆命題==

拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。 <math>|G|</math> 的因數可能不是任何子群的階。例如[[交错群|交錯群]] <math>A_{4}</math> 的[[階 (群論)|階]]是 <math>12</math> ，但它沒有任何階是 <math>6</math> [[子群]]{{Sfn|Gallian|2012|p=149|loc=Example 5}}。然而[[柯西定理 (群論)|柯西定理]]以及它的推廣——[[西羅定理]]——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階；而如果 <math>G</math> 是[[可解群]]的話，則[[西羅定理]]還可以進一步推廣成{{link-en|霍爾定理|Hall subgroup#Hall's theorem}}。

== 參見 ==

* [[群]]
* [[陪集]]
* [[費馬小定理]]
* [[西羅定理]]
* [[有限群]]
* [[階 (群論)]]

== 註解 ==

{{NoteFoot}}

== 引用 ==

{{reflist}}

== 參考文獻 ==

* {{cite book
| last = Gallian | first = Joseph | ref = harv
| title = ''Contemporary Abstract Algebra'' | year = 2012
| publisher = Cengage Learning | isbn = 978-1133599708 | language = en | url = https://doi.org/10.1201/9781003142331 
| edition = 第八版 | authorlink = :en:Joseph Gallian
}}
* {{cite book
| last = Hungerford | first = Thomas William | ref = harv
| title = ''Algebra''| year = 1974
| publisher = Springer | isbn = 978-1-4612-6101-8 | language = en | url = https://doi.org/10.1007/978-1-4612-6101-8
| edition = 第一版 | authorlink = :en:Thomas W. Hungerford
}}

{{約瑟夫·拉格朗日}}
{{ModernAlgebra}}

[[Category:群論|L]]
[[Category:數學定理|L]]
[[Category:有限群]]