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在[[数学]]中，'''拉格朗日力学的逆问题'''是这样一个问题：给定的[[常微分方程]]组是否是一个[[拉格朗日力学|拉格朗日函数]]的[[歐拉-拉格朗日方程|欧拉-拉格朗日方程]]。

{{专家|subject=微分几何|subject2=变分法}}

自 20 世纪初以来，已开展了大量的活动来研究这一问题。1941年美国数学家[[杰西·道格拉斯]]发表了一篇论文，他在文中给出了拉格朗日力学逆问题有解的[[充分必要条件|充要条件]]，这是这一领域的一个显著进步。这些条件现在被冠名于[[赫尔曼·冯·亥姆霍兹]]，称为'''亥姆霍兹条件'''。

== 问题的背景和表述 ==
{{主条目|拉格朗日力学}}<math>n</math> 维[[欧几里得空间]] <math>\mathbb R^n</math> 上的[[拉格朗日力学]]的通常表述如下。考虑一条[[可微函数|可微]][[道路 (拓扑学)|路径]] <math>u:[0,T]\to\mathbb R^n</math> ，用于表示力学系统在[[位形空间|坐标空间]] <math>\mathbb R^n</math> 中的轨迹。定义路径 <math>u</math> 的一个[[泛函]] <math>S</math> 如下：

: <math>S(u) = \int_{0}^{T} L(t, u(t), \dot{u}(t)) \, \mathrm{d} t,</math>

称为[[作用量]]。其中 <math>L</math> 是时间、位置和速度的函数，称为[[拉格朗日函数]]。对于给定的 <math>\mathbb R^n</math> 中的初态 <math>x_0</math> 和末态 <math>x_1</math> ，[[最小作用量原理|平稳作用量原理]]指出，在这两个点之间连成的曲线（或者说，满足边界条件 <math>u(0)=x_0,u(T)=x_1</math> 的曲线 <math>u</math> ）中，只有使得作用量取泛函意义上的[[驻点|驻值]]的才是力学上可实际发生的运动轨迹。严格来说，这就是要求各方向的[[泛函导数]]为零，物理上通常记作

<math display="block">\delta S=0.</math>通过[[变分法]]可以知道满足该条件的曲线 <math>u</math> 必须满足[[歐拉-拉格朗日方程|欧拉-拉格朗日方程]]：

: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{u}^{i}} - \frac{\partial L}{\partial u^{i}} = 0 \quad \text{for } 1 \leq i \leq n,</math>

其中上标 <math>i</math> 标记 <math>u=(u^1,\dots,u^n)</math> 的分量。

在典型的情况中，拉格朗日函数有如下的形式

:: <math>T(\dot{u}) = \frac{1}{2} m | \dot{u} |^{2},</math>
:: <math>V : [0, T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R},</math>
:: <math>L(t, u, \dot{u}) = T(\dot{u}) - V(t, u),</math>

这时欧拉&#x2013;拉格朗日方程就是被称为[[牛顿运动定律]]的二阶常微分方程组：

:: <math>m \ddot{u}^{i} = - \frac{\partial V(t, u)}{\partial u^{i}} \quad \text{for } 1 \leq i \leq n,</math>
:: <math>\mbox{i.e. }m \ddot{u} = - \nabla_{u} V(t, u).</math>

给定一个二阶常微分方程组

: <math>\ddot{u}^{i} = f^{i} (u^{j}, \dot{u}^{j}) \quad \text{for } 1 \leq i, j \leq n, \quad \mbox{(E)}</math>

其对时间 <math>t\in[0,T]</math> 成立。是否存在拉格朗日函数 <math>L:[0,T]\times\mathbb R\times\mathbb R\to \mathbb R</math> ，其欧拉-拉格朗日方程就是 (E) ？

更一般地，这个问题不必局限于欧几里得空间 <math>\mathbb R^n</math> ，所考虑的曲线可以是 <math>n</math> 维[[流形]] <math>M</math> 上的，而这时拉格朗日是函数 <math>L:[0,T]\times TM\to \mathbb R</math> ，其中 <math>TM</math> 表示 <math>M</math> 的[[切丛]]。

== 道格拉斯定理和亥姆霍兹条件 ==
为了简化记号记号，设

: <math>v^{i} = \dot{u}^{i}</math>

并定义<math>n^2</math> 个函数 <math>\Phi_{j}^i</math> 如下：

: <math>\Phi_{j}^{i} = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial f^{i}}{\partial v^{j}} - \frac{\partial f^{i}}{\partial u^{j}} - \frac{1}{4} \frac{\partial f^{i}}{\partial v^{k}} \frac{\partial f^{k}}{\partial v^{j}}.</math>

'''定理''' (Douglas 1941) 存在拉格朗日函数 <math>L:[0,T]\times TM\to \mathbb R</math> 使得方程 (E) 为其欧拉&#x2013;拉格朗日方程[[当且仅当]]存在一个[[非奇异方阵|非奇异]][[對稱矩陣|对称矩阵]] <math>g</math> ，其矩阵元 <math>g_{ij}</math> 依赖于 <math>u</math> 和 <math>v</math> 且满足以下三条'''亥姆霍兹条件'''：

: <math>g \Phi = (g \Phi)^{\top}, \quad \mbox{(H1)}</math>
: <math>\frac{\mathrm{d} g_{ij}}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{2} \frac{\partial f^{k}}{\partial v^{i}} g_{kj} + \frac{1}{2} \frac{\partial f^{k}}{\partial v^{j}} g_{ki} = 0 \mbox{ for } 1 \leq i, j \leq n, \quad \mbox{(H2)}</math>
: <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial v^{k}} = \frac{\partial g_{ik}}{\partial v^{j}} \mbox{ for } 1 \leq i, j, k \leq n. \quad \mbox{(H3)}</math>

（使用了重复指标的[[爱因斯坦求和约定]]。）

=== 应用道格拉斯定理 ===
乍一看，求解亥姆霍兹方程 (H1) &#x2013; (H3) 似乎是一项极其困难的任务。条件 (H1) 是最容易解决的：总是可以找到一个 <math>u</math> 满足 (H1) ，且单从它并不能推出拉格朗日函数的奇异性。方程 (H2) 是一个常微分方程组，而常微分方程解的存在性和唯一性的[[柯西-利普希茨定理]]意味着 (H2) 在原则上是可以求解的。直接积分并不会直接得到积分常数，而是会给出[[首次积分]]，因此这一步一般来说在实践上很难完成。在某些良好的状况下， (E) 具有足够多的显式首次积分（如[[李群]]上[[规范形|典范]][[联络]]的[[测地线|测地流]]），从而得以完成这一步。

最后也是最困难的一步是求解方程 (H3) 。 (H3) 实际上就是使各[[微分形式|微分 1-形式]] <math>g_i</math> 成为一个[[闭形式和恰当形式|闭形式]]的一个必要条件，所以这些方程称作'''闭条件'''（closure conditions）。它之所以如此可怕，是因为 (H3) 构成了一个大型的耦合偏微分方程组：若自由度为 <math>n</math> ， (H3) 中就有<math>2 \left( \begin{matrix} n + 1 \\ 3 \end{matrix} \right)</math>条方程（上式括号表示[[二项式系数]]），其中有 <math>2n</math> 个自变量（即 <math>g</math> 的分量 ''<math>g_{ij}</math>'' ）。

:

要构造最一般的拉格朗日函数，必须求解这个庞大的方程组！

幸运的是，可以施加一些辅助条件来帮助求解亥姆霍兹条件。首先， (H1) 是未知矩阵 <math>g</math> 上的纯代数条件。 <math>g</math> 的辅助代数条件可以如下给出： 定义函数

: <math>\Psi_{jk}^{i} = \frac{1}{3} \left( \frac{\partial \Phi_{j}^{i}}{\partial v^{k}} - \frac{\partial \Phi_{k}^{i}}{\partial v^{j}} \right).</math>

于是可给出 <math>g</math> 的辅助条件：

<math>g_{mi} \Psi_{jk}^{m} + g_{mk} \Psi_{ij}^{m} + g_{mj} \Psi_{ki}^{m} = 0 \mbox{ for } 1 \leq i, j \leq n. \quad \mbox{(A)}</math>

:

事实上，类似的代数条件可构成无穷多个层次，而方程 (H2) 和 (A) 只是其中的第一层。在[[可平行化流形|平行联络]]的情况下（例如李群上的典范联络），高阶条件这时会得到自动满足，因此只需关心 (H2) 和 (A) 。注意 (A) 包括<math>\left( \begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix} \right)</math>个条件而 (H1) 包括<math>\left( \begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix} \right)</math>个条件。因此，(H1) 和 (A) 可能蕴含了拉格朗日函数的奇异性。截至 2006 年，还没有一般性的定理可以在任意维度上规避这一困难，尽管某些特殊情况已经得到解决。

攻击的第二个途径是研究 (E) 是否可以[[浸没 (数学)|浸没]]到一个低维系统中，再尝试将低维系统的拉格朗日函数“提升”到高维。这并不算是在求解亥姆霍兹条件，而是在尝试构造拉格朗日方程，然后证明其欧拉&#x2013;拉格朗日方程确实是 (E) 。

== 参考文献 ==

* {{Cite journal |last=Douglas |first=Jesse |year=1941 |title=Solution of the inverse problem in the calculus of variations |journal=Transactions of the American Mathematical Society |volume=50 |issue=1 |page=71&ndash;128 |doi=10.2307/1989912 |issn=0002-9947 |jstor=1989912 |pmc=1077987 |doi-access=free}}
* {{Cite journal |last=Rawashdeh, M., & Thompson, G. |year=2006 |title=The inverse problem for six-dimensional codimension two nilradical Lie algebras |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=47 |issue=11 |page=112901 |bibcode=2006JMP....47k2901R |doi=10.1063/1.2378620 |issn=0022-2488}}
[[Category:拉格朗日力學]]
[[Category:变分法]]