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{{no footnotes|time=2015-03-28T06:02:36+00:00}}
[[數學]]的[[測度論]]中，'''拉東（Radon）測度'''，是在[[豪斯多夫空間]]上的[[博雷爾測度]]，且具有[[局部有限測度|局部有限]]及[[內部正則測度|內部正則]]性質。

==定義==
設''m''是[[豪斯多夫空間]]''X''的[[博雷爾集]]的[[σ-代數]]上的[[測度]]。''m''稱為

*'''[[內部正則測度|內部正則]]'''，若對任何博雷爾集''B''，其測度''m''(''B'')等於''B''的所有[[緊緻]]子集''K''的測度''m''(''K'')的[[最小上界]]；
*'''[[外部正則測度|外部正則]]'''，若對任何博雷爾集''B''，其測度''m''(''B'')等於所有包含''B''的開集''U''的測度''m''(''U'')的[[最大下界]]；
*'''[[局部有限測度|局部有限]]'''，若''X''中任一點都有鄰域''U''，使得''m''(''U'')為有限。
*'''拉東測度'''，若''m''是內部正則及局部有限。

==例子==
*[[歐氏空間]]'''R'''<sup>''n''</sup>上的[[勒貝格測度]]（限制到[[博雷爾集]]的[[σ-代數]]上）；
*[[局部緊拓撲群]]上的[[哈爾測度]]；
*任何[[波蘭空間]]的博雷爾集的σ-代數上的[[概率測度]]。這例子包括了很多在非局部緊空間上的測度，比如在區間[0,1]上的實值連續函數空間上的[[維納過程|維納測度]]。
以下不是拉東測度：
*[[歐氏空間]]上的[[計數測度]]，因為這測度不是局部有限。

==性質==
===對偶性===
在一個[[局部緊空間|局部緊]]豪斯多夫空間上，拉東測度對應到在[[緊緻|緊]][[支集]]連續函數空間上的正[[線性泛函]]。這個性質是提出拉東測度的定義的主要原因。

===度量空間結構===

在<math>X</math>上的所有（正）拉東測度組成的[[錐 (線性代數)|帶點錐]] <math>\mathcal{M}_{+} (X)</math>，可以用下述度量使成為[[完備空間|完備]][[度量空間]]。定義兩個測度<math>m_1, m_2 \in \mathcal{M}_{+} (X)</math>間的'''拉東距離'''為
:<math>\rho (m_{1}, m_{2}) := \sup \left\{ \left. \int_{X} f(x) \, d (m_1 - m_2) (x) \ \right| f\in C(X), f : X \to [-1, 1] \subset \mathbb{R} \right\}.</math>
其中[[最小上界]]是對所有連續函數''f'': ''X'' → [-1, 1]取的。

這個度量有一些限制。例如<math>X</math>上的[[概率測度]]
:<math>\mathcal{P} (X) := \{ m \in \mathcal{M}_{+} (X) \mid m (X) = 1 \}</math>
關於拉東度量不是[[緊空間|序列緊緻]]，即是概率測度序列未必有收斂子序列。這個性質在一些應用中會造成困難。另一方面，若<math>X</math>是緊緻[[度量空間]]，那麼
[[Wasserstein度量]]使<math>\mathcal{P} (X)</math>成為緊緻度量空間。

在拉東度量收斂意味著[[測度收斂|測度的弱收斂]]：
:<math>\rho (m_{n}, m) \to 0 \Rightarrow m_{n} \rightharpoonup m,</math>
但反之則不必然。在拉東度量收斂有時稱為'''強收斂'''，以便和弱收斂對比。

==其他==
* [[约翰·拉东]]

==外部連結==
* {{springer|author=R.A Minlos|id=r/r077170|title=Radon measure}}
[[分類:測度論]]