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{{向量字體常規}}
{{noteTA
| G1 = 物理學
| 1 = zh-cn:沃尔夫冈·泡利;zh-hk:華夫岡·鮑利;zh-tw:沃夫岡·包立;
| 2 = zh-cn:开普勒;zh-hk:刻卜勒;zh-tw:克卜勒;
}}
在[[經典力學]]裏，'''拉普拉斯-龍格-冷次向量'''（Laplace–Runge–Lenz vector；簡稱為'''LRL向量'''）主要是用來描述，當一個物體環繞著另外一個物體運動時，[[轨道 (力学)|軌道]]的形狀與[[取向]]。典型的例子是行星的環繞著太陽[[公轉]]。在一個物理系統裏，假若兩個物體以[[萬有引力]]相互作用，則LRL向量必定是一個[[運動常數]]，不管在軌道的任何位置，計算出來的LRL向量都一樣<ref name="goldstein_1980">{{cite book | last=Goldstein | first=H.| year=1980 | title=Classical Mechanics | url=https://archive.org/details/classicalmechani00gold_639 | edition=2<sup>nd</sup> edition | publisher=Addison Wesley | pages=[https://archive.org/details/classicalmechani00gold_639/page/102 102]–105,410–422,536–538}}</ref>；也就是說，LRL向量是一個'''保守量'''。更廣義地，在[[克卜勒問題|克卜勒問題]]裏，由於兩個物體以[[連心力]]相互作用，而連心力遵守[[平方反比定律]]，所以，LRL向量是一個保守量<ref>{{cite book | last = 阿諾爾德 | first = 弗拉基米爾 | authorlink =弗拉基米爾·阿諾爾德 | year = 1989 | title = Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed.| publisher = Springer-Verlag | location = New York | pages = 38 | id = ISBN 0-387-96890-3}}</ref>。

[[氫原子]]是由兩個帶電粒子構成的。這兩個帶電粒子以遵守[[庫侖定律]]的[[靜電力]]互相作用．靜電力是一個標準的[[平方反比定律|平方反比]][[連心力]]。所以，[[氫原子]]內部的微觀運動是一個开普勒問題。在[[量子力學]]的發展初期，[[薛丁格]]還在思索他的[[薛丁格方程式]]的時候，[[沃尔夫冈·泡利|沃夫岡·包立]]使用LRL向量，關鍵性地推導出氫原子的[[發射光譜]]<ref name="pauli_1926">{{citation| last = 包立| first = 沃爾夫岡| authorlink = 沃爾夫岡·包立| year = 1926 | title = Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 36 | pages = 336–363}}</ref>。這結果給予物理學家很大的信心，量子力學理論是正確的。

在[[經典力學]]與[[量子力學]]裏，因為物理系統的某一種[[對稱性]]，[[诺特定理|會產生]]一個或多個對應的保守值。LRL向量也不例外。可是，它相對應的對稱性很特別；在數學裏，开普勒問題等價於一個粒子自由地移動於四維空間的[[三維球面]]<ref name="fock_1935" >{{citation| last = Fock | first = V. | authorlink =:en:Vladimir Fock | year = 1935 | title = Zur Theorie des Wasserstoffatoms | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 98 | pages = 145–154}}</ref>；所以，整個問題涉及四維空間的某種旋轉對稱<ref name="bargmann_1936" >{{citation| last = 巴格曼 | first = 華倫泰 | authorlink =華倫泰·巴格曼| year = 1936 | title = Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 99 | pages = 576–582}}</ref>。

拉普拉斯-龍格-冷次向量是因[[皮埃爾-西蒙·拉普拉斯]]、[[卡爾·龍格]]與[[威廉·楞次]]而命名。它又稱為'''拉普拉斯向量'''，'''龍格-冷次向量'''，或'''冷次向量'''。有趣的是，LRL向量並不是這三位先生發現的！這向量曾經被重複地發現過好幾次<ref name="goldstein_1975_1976">{{citation| last=Goldstein | first=H. | year=1975 | title=Prehistory of the Runge–Lenz vector | journal=American Journal of Physics | volume=43 | pages=735–738}}<br />{{citation| last=Goldstein | first=H. | year=1976 | title=More on the prehistory of the Runge–Lenz vector | journal=American Journal of Physics| volume=44 | pages=1123–1124}}</ref>。它等價於[[天體力學]]中無[[因次]]的[[離心率向量]]<ref name="hamilton_1847_quaternions">{{citation| last = 哈密頓 | first = 威廉| authorlink = 威廉·哈密頓| year = 1847 | title = Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions | journal = Proceedings of the Royal Irish Academy | volume = 3 | pages = Appendix III}}</ref>。發展至今，在物理學裏，有許多各種各樣的LRL向量的推廣定義；牽涉到[[狹義相對論]]，或[[電磁場]]，甚至於不同類型的[[連心力]]。

== 概論 ==
在一個物理系統裏，在任意[[保守力|保守]]的[[連心力]]的作用下（參閱[[保守力]]），一個粒子的運動，都會擁有至少四個[[運動常數]]；[[能量]]與[[角動量]]<math>\mathbf{L}</math>的三個[[分量]]皆為運動常數。粒子的軌道被限制於一個平面。粒子的[[動量]]<math>\mathbf{p}</math>和從[[連心力|力中心點]]的位置到粒子位置的位移<math>\mathbf{r}</math>（參閱圖1）。粒子的運動平面垂直於角動量<math>\mathbf{L}</math>。用方程式表示，
:<math>\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}=0</math>。

LRL向量<math>\mathbf{A}</math>，也肯定地包含於粒子的運動平面。可是，只有當連心力遵守[[平方反比定律]]時，<math>\mathbf{A}</math>才是常數向量<ref name="goldstein_1980" />。對於別種連心力，<math>\mathbf{A}</math>不是常數向量，其大小與方向都會改變。假若連心力近似地遵守[[平方反比定律]]，則<math>\mathbf{A}</math>的大小近似常數，而方向會緩慢地轉動。對於所有的連心力，可以[[#其他勢能與狹義相對論的推廣|定義]]一個廣義LRL向量，但是，這廣義向量通常並沒有[[解析解]]，假若有，也會是一個非常複雜的函數<ref name="fradkin_1967">{{citation| last = Fradkin | first = D. M. | year = 1967 | title = Existence of the Dynamic Symmetries O<sub>4</sub> and SU<sub>3</sub> for All Classical Central Potential Problems | journal = Progress of Theoretical Physics | volume = 37 | pages = 798–812}}</ref><ref name="yoshida_1987">{{citation| last = Yoshida | first = T | year = 1987 | title = Two methods of generalisation of the Laplace–Runge–Lenz vector | journal = European Journal of Physics | volume = 8 | pages = 258–259}}</ref>。

== 歷史 ==
在重要的开普勒問題中，LRL向量<math>\mathbf{A}</math>是一個運動常數，時常用來描述[[行星軌道|天文軌道]]，例如行星的運動。然而，物理學家對它並不熟悉，這很可能是因為與動量與角動量相比，它的物理內涵比較難以被直覺地理解。因此，在過去三個世紀裏，它曾被重複地發現過許多次<ref name="goldstein_1975_1976" />。1710年，在一個不著名的義大利學刊裏，[[雅各布·赫爾曼]]最先發表了關於LRL向量的論文。在推導一個軌道方程式的過程中，他計算出LRL向量的大小，  <math>A</math>是保守的<ref>{{citation| last = 赫爾曼 | first = 雅各布| authorlink =雅各布·赫爾曼| year = 1710 | title = Unknown title | journal = Giornale de Letterati D'Italia | volume = 2 | pages = 447–467}}<br />{{citation| last = 赫爾曼| first = 雅各布| authorlink =雅各布·赫爾曼 | year = 1710 | title = Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710 | journal = Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) | volume = 1732 | pages = 519–521}}</ref>；並且推導出此案例與[[橢圓]]軌道[[離心率]]的關係。稍後，赫爾曼把這結果告訴[[约翰·白努利]]，他的恩師。白努利又更進一步地推導出LRL向量的方向。這樣，LRL向量得到了它的現代形式<ref>{{citation| last = 白努利 | first = 約翰 | authorlink = 約翰·白努利| year = 1710 | title = Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710 | journal = Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) | volume = 1732 | pages = 521–544}}</ref>。所以，不容質疑地，LRL向量是赫爾曼和白努利共同發現的。

在那個世紀末尾，[[皮埃爾-西蒙·拉普拉斯]]又重新地發現了LRL向量的保守性；稍微不同地，他的導引使用的是分析方法，而不是幾何方法<ref>{{cite book | last = 拉普拉斯 | first = 皮埃爾-西蒙 | authorlink =拉普拉斯| year = 1799 | title = Traité de mécanique celeste | pages = Tome I, Premiere Partie,  Livre II, pp.165ff}}</ref>。十九世紀中葉，[[威廉·哈密頓]]推導出全等的[[離心率向量]]<ref name="hamilton_1847_quaternions" />。他用離心率向量來證明，在平方反比連心力作用下，[[速端曲線]]顯示出，粒子動量向量的頭部呈圓形移動<ref name="hamilton_1847_hodograph">{{citation| last =哈密頓| first = 威廉| authorlink = 威廉·哈密頓| year = 1847 | title = The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction | journal = Proceedings of the Royal Irish Academy | volume = 3 | pages = 344-353 }}</ref>  （參閱圖3）。二十世紀初，[[約西亞·吉布斯]]，應用[[向量分析]]，推導出同樣的向量<ref>{{cite book | last = 吉布斯| first =約西亞 | authorlink =約西亞·吉布斯| coauthors = Wilson E. B. | year = 1901 | title = Vector Analysis | publisher = Scribners | location = New York | pages = p. 135}}</ref>。後來，[[卡爾·龍格]]將吉布斯的導引，納入自己所寫的一本廣受歡迎的，關於向量的，德文教科書內，成為其中的一個例題<ref>{{cite book | last = 龍格 | first = 卡爾 | authorlink =卡爾·龍格| year = 1919 | title = Vektoranalysis | publisher = Hirzel | location = Leipzig | pages = Volume I}}</ref>。1924年，[[威爾漢·冷次|威廉·楞次]]發表了一篇關於[[氫原子]]的[[舊量子論]]的論文。在這篇論文中，他引用龍格所寫的教科書的例題為參考<ref>{{citation| last = 冷次 | first = 威爾漢 | authorlink = 威爾漢·冷次| year = 1924 | title = Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 24 | pages = 197–207}}</ref>。1926年，[[沃爾夫岡·包立]]用LRL向量與[[矩陣力學]]，而不是[[薛丁格方程式]]，來推導[[氫]][[原子]]的[[光譜]]<ref name="pauli_1926" />。這傑作說服了大多數物理學家，使他們覺得量子力學理論是正確的。

== 數學定義 ==
[[File:Laplace_Runge_Lenz_vector.svg|thumb|400px|圖1:在平方反比[[連心力]]的作用下，一個移動中的粒子，在橢圓軌道的四點（標記為1, 2, 3,與4）的LRL向量<math>\mathbf{A}</math>（紅色表示）。[[連心力|力中心點]]表示為一個小黑點；從這黑點，位置向量<math>\mathbf{r}</math>（黑色表示）以徑向方向指出。[[角動量]]<math>\mathbf{L}</math>垂直於軌道的平面。共面的向量<math>\mathbf{p}\times\mathbf{L}</math>與<math>mk\hat{\mathbf{r}}</math>分別用藍色與綠色表示。LRL向量<math>\mathbf{A}</math>是一個運動常數向量]]

[[平方反比定律|平方反比]][[連心力]]<math>\mathbf{F}(r)</math>可以表達為
:<math>\mathbf{F}(r)= - \frac{k}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}}</math>；

其中，<math>k</math>是比例常數，<math>\mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r}</math>是[[單位向量]]，<math>\mathbf{r}</math>是粒子的[[位置向量]]，<math>r</math>是<math>\mathbf{r}</math>的大小。

感受到此力的作用，一個粒子的軌道運動，其LRL向量的數學定義方程式為<ref name="goldstein_1980" />
:<math>\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}}</math>；

其中，<math>m</math>是粒子的[[質量]]，<math>\mathbf{p}</math>是[[動量]]，<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}</math>是[[角動量]]。

由於平方反比連心力為[[保守力]]，[[能量]]<math>E=\frac{p^{2}}{2m} - \frac{k}{r} </math>是[[運動常數]]：
:<math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{p}{m}\dot{p} + \frac{k}{r^2}\dot{r}=0</math>。

再者，角動量<math>\mathbf{L}</math>也是保守的，可以決定粒子移動平面的取向。因為<math>\mathbf{p}\times\mathbf{L}</math>與<math>\mathbf{r}</math>都垂直於<math>\mathbf{L}</math>，所以，LRL向量<math>\mathbf{A}</math>垂直於角動量；<math>\mathbf{A}</math>包含於軌道的平面。

這個單獨粒子的LRL向量定義，也可以延伸至像开普勒問題一類的二體問題，只需要設定質量<math>m</math>為二個物體的[[約化質量]]，設定位置向量<math>\mathbf{r}</math>為二個物體之間的相對位置向量。

同樣的運動常數可以有很多種不同的表述．最常見的一種牽涉到[[離心率向量]]。定義'''離心率向量'''<math>\mathbf{e}</math>為LRL向量與<math>mk</math>的除商<ref name="hamilton_1847_quaternions" /><ref name="taff_1985">{{cite book | last = Taff | first = L. G. | author-link = Laurence G. Taff | date = 1985 | title = Celestial Mechanics: A Computational Guide for the Practitioner | publisher = John Wiley and Sons | location = New York | pages = 42–43}}</ref>：
:<math>\mathbf{e} = \frac{\mathbf{A}}{m k} = \frac{1}{m k}(\mathbf{p} \times \mathbf{L}) - \mathbf{\hat{r}}</math>。

== 开普勒軌道導引 ==
[[File:Laplace_Runge_Lenz_vector2.svg|thumb|350px|圖2：這是圖1的簡化版，角<math>\theta</math>定義為<math>\mathbf{A}</math>與<math>\mathbf{r}</math>之間的夾角]]

开普勒問題的運動軌道，其形狀與[[取向]]，可以用LRL向量決定<ref name="goldstein_1980" />。<math>\mathbf{A}</math>與<math>\mathbf{r}</math>的內積為
:<math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=Ar\cos\theta=\mathbf{r}\cdot\left(\mathbf{p}\times\mathbf{L} \right) - mkr</math>；

其中，<math>\theta</math>為<math>\mathbf{A}</math>與<math>\mathbf{r}</math>之間的夾角。

[[置換]]其[[三重積]]，
:<math>\mathbf{r} \cdot\left(\mathbf{p}\times \mathbf{L}\right) =
\mathbf{L}\cdot\left(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\right) =
\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=L^2</math>。

所以，
:<math>Ar\cos\theta=L^2 - mkr</math>。

編排成[[圓錐曲線]]的方程式形式：
:<math>\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^{2}}\left(1 +\frac{A}{mk}\cos\theta\right)</math>。

[[離心率]]<math>e</math>為
:<math>e = \frac{A}{mk} = \frac{\left|\mathbf{A}\right|}{m k}</math>。

<!-- [[圓錐曲線#極座標|正焦弦]]為 
:<math>\left| 4p \right| = \frac{2L^{2}}{mk}</math>。圓錐曲線的半常軸<math>a</math>可以用離心率與正焦弦來定義為
:<math>a \left( 1 \pm e^{2} \right) = 2p = \frac{L^{2}}{mk}</math>；
這裏，負號表示為[[橢圓]]，正號則表示為[[雙曲線]]。-->
开普勒軌道與能量的關係可以由LRL向量推導出。<math>\mathbf{A}</math>與自己的內積為

:<math>\begin{align}
\mathbf{A}\cdot\mathbf{A} & =(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - mk\mathbf{\hat{r}})\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - mk\mathbf{\hat{r}}) \\
 & =p^2 L^2+m^2k^2 - 2mk\hat{\mathbf{r}}\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L}) \\
 & =\left(2mE+\frac{2mk}{r}\right)L^2+m^2k^2 - \frac{2mk}{r}L^2 \\ \end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>
所以，
:<math>A^2= m^2 k^2 + 2 m E L^2</math>。

稍微編排，離心率的平方<math>e^{2}</math>是能量<math>E</math>的函數：
:<math>e^{2}=1+\frac{2L^{2}}{mk^{2}}E</math>。

假若能量<math>E</math>是負值的（'''束縛軌道'''），則離心率小於1，這軌道是[[橢圓]]形軌道。相反地，假若能量是正值的（'''非束縛軌道'''，又稱為'''散射軌道'''）則離心率大於1，這軌道是[[雙曲線]]軌道。最後，假若能量等於零，則離心率等於1，這軌道是[[拋物線]]軌道。對於所有狀況，LRL向量與圓錐曲線的對稱軸平行，而且從[[連心力|力中心點]]指向[[拱點|近拱點]]。

== 圓形的速端曲線 ==
[[File:Kepler_hodograph3.svg|thumb|280px|圖3 :在平方反比連心力作用下，隨著粒子的軌道運動，使用速端曲線圖，固定動量向量<math>\mathbf{p}</math> (藍色表示)的尾部於原點，則其頭部呈圓形移動。四個標記的點對應於圖1的四點。圓形的中心是在p<sub>y</sub>-軸，p<sub>y</sub>-座標為<math>A/L</math>（以品紅色表示），半徑是<math>mk/L</math>（以綠色表示）]]

假設一個粒子在做軌道運動。其速度向量的物理行為可以用[[速端曲線]]顯示出來，而動量是速度乘以質量。所以，速端曲線也可以顯示出動量的物理行為。在平方反比連心力作用下，速端曲線（圖3）顯示出，粒子的動量向量的頭部呈圓形移動；這事實可以用LRL向量<math>\mathbf{A}</math>與角動量<math>\mathbf{L}</math>的保守性來證明<ref name="hamilton_1847_hodograph" /><ref name="goldstein_1975_1976" />。計算<math>\mathbf{L}</math>與<math>\mathbf{A}</math>的[[叉積]]：
:<math>L^{2} \mathbf{p} = \mathbf{L} \times \mathbf{A} - mk \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{L}</math>。

設定xyz參考系的圓點在[[連心力|力中心點]]，<math>\mathbf{L}</math>與z-軸同方向，x-軸與[[橢圓|半長軸]]同軸。則

:<math>p_{x}^{2} + \left(p_{y} - A/L \right)^{2} = \left( mk/L \right)^{2}</math>。

換句話說，動量<math>\mathbf{p}</math>的頭部被限制於一個圓圈；圓圈的半徑為<math>mk/L</math>，圓心為<math>(0,\ A/L)</math>。如圖3所示，圓形的動量速端曲線毫無疑問地顯示出[[克卜勒問題|克卜勒問題]]的[[對稱性]]。

夾角<math>\eta</math>的一邊是點2與圓心的連線，另一邊是負p<sub>y</sub>-軸。很顯然地，離心率等於<math>\cos\eta</math>。為了簡化運算，在這裏提出一個很有用的變量<math>p_{0} = \sqrt{2m\left| E \right|}</math>。

== 運動常數與超級可積分性 ==
在克卜勒問題裏，兩個向量<math>\mathbf{A}</math>，<math>\mathbf{L}</math>與一個純量<math>E</math>加起來一共有七個常數純量。它們之間的相關性表達於<math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0</math>與<math>A^2=m^2k^2+2mEL^2</math>這兩個公式。因為<math>\mathbf{A}</math>的大小可以由角動量<math>\mathbf{L}</math>與能量<math>E</math>計算出來。再者，<math>\mathbf{A}</math>必須垂直於<math>\mathbf{L}</math>。所以，<math>\mathbf{A}</math>只能貢獻1個運動常數。

由於有上述兩個關係公式，這物理系統一共有五個獨立的[[運動常數]]。這結果與設定粒子軌道所需的六個初始條件（粒子的初始位置向量與初始速度向量，每一個向量有三個分量）相符合，原因是運動常數不涉及初始時間（視六個初始條件函數的參數為[[自變量]]初始時間。用其中的一個初始條件函數除去這自變量；將此初始條件函數當作一個自變量，則剰餘五個初始條件函數，函數的參數為新自變量）。

因為[[運動方程式]]是二階微分方程，一個擁有<math>d</math> [[自由度 (物理学)|自由度]]的物理系統，需要<math>2d</math>個[[初值問題|初始條件]]來設定解答。由於運動常數不涉及初始時間，這物理系統最多只能擁有<math>2d - 1</math>個[[運動常數]]。一個擁有超過<math>d</math>個運動常數的物理系統稱為'''超級可積分系統'''；而一個擁有<math>2d - 1</math>個運動常數的物理系統稱為'''最大超級可積分系統'''<ref>{{citation| last = Evans | first = N. W. | year = 1990 | title = Superintegrability in classical mechanics | journal = Physical Review A | volume = 41 | pages = 5666–5676}}</ref>。[[哈密頓-亞可比方程式]]的解答，採用任意一種坐標系統，最多只能求得<math>d</math>個運動常數<ref>{{cite book | last = 索末菲 | first =阿諾| authorlink =阿諾·索末菲| year = 1923 | title = Atomic Structure and Spectral Lines | publisher = Methuen | location = London | pages = 118}}</ref>。

克卜勒問題擁有三個自由度（<math>d=3</math>）與五個運動常數；克卜勒問題的系統是最大超級可積分系統；採用[[球坐標]]或[[拋物線坐標系|拋物線坐標]]，哈密頓－亞可比方程式都是可積分的<ref name="landau_lifshitz_1976">{{cite book | last=朗道 |first=列夫 | authorlink=列夫·朗道| coauthors=Lifshitz E. M.| year=1976 | title=Mechanics | edition=3<sup>rd</sup> edition | publisher=Pergamon Press | pages = p. 154 | id= ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover)}}</ref>；這論據，稍後會有詳細的[[#拋物線坐標的哈密頓－亞可比方程式|解釋]]。最大超級可積分系統可以用[[對易關係]]來[[正則量子化|量子化]]，這論據，稍後也會又更明瞭的[[#氫原子量子力學|說明]]<ref>{{citation| last = Evans | first = N. W. | year = 1991 | title = Group theory of the Smorodinsky–Winternitz system | journal = Journal of Mathematical Physics | volume = 32 | pages = 3369–3375}}</ref>。

== 在微擾勢下的系統演化 ==
[[File:Relativistic precession.svg|thumb|260px|图5：橢圓軌道的[[進動#行星軌道的進動|慢進動]]，離心率<math>e=0.667</math>。假若，引性的連心力與平方反比定律稍微有點不同，類似的[[進動]]就會發生]]

只有在一個標準的[[平方反比定律|平方反比]][[連心力]]下，粒子的LRL向量<math>\mathbf{A}</math>是保守的。對於大多數的實際問題，例如行星運動，作用力並不會完全地遵守[[平方反比定律]]，而可能會含有別種[[微擾理論|微擾]]的連心力；稱其負值[[不定積分]]為'''微擾勢'''，標記為<math>h(r)</math>。在這種狀況下，LRL向量會緩慢地轉動於軌道平面，相應於軌道的[[進動#行星軌道的進動|慢進動]]。假若微擾勢<math>h(r)</math>為一個[[保守力|保守的]]連心勢，也就是說，總能量<math>E</math>與角動量<math>\mathbf{L}</math>都是保守的，則粒子的運動仍舊包含於一個垂直於<math>\mathbf{L}</math>的平面，大小<math>A</math>仍舊是保守的。微擾勢<math>h(r)</math>可以是任何形式的函數。但是，微擾值應該顯著地弱於主連心勢。一個典形的微擾勢可以表示為
:<math>h(r)=-\ \frac{h}{r^n}</math>；

其中，<math>h</math>是微擾勢強度，整數<math>n\le 2</math>。

用[[微擾理論|正則微擾理論]]與[[作用量-角度座標]]，可以直接地推導出LRL向量的轉動率是<ref name="goldstein_1980" />
:<math>\begin{align}
\bar{\Omega}=\frac{\partial}{\partial L} \langle h(r) \rangle & = \frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} h(r) \, \mathrm{d}t \right\} \\
& = \frac{\partial}{\partial L}\left\{ \frac{m}{TL} \int_{0}^{2\pi} r^{2} h(r) \, \mathrm{d}\theta \right\} \\ \end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>T</math>是軌道週期，[[恆等式]]<math>Ldt=mr^2 \mathrm{d}\theta</math>轉變時間積分為角積分（如圖5）。角括號表達式<math>\langle h(r)\rangle</math>是週期平均微擾勢；也就是說，物體繞軌道一個公轉的平均微擾勢。取平均值可以減少轉動率的變動。

這方法曾經被用來證實[[愛因斯坦]]的[[廣義相對論]]。廣義相對論在常見的牛頓[[萬有引力]]項目外，又添加了一項小的反立方微擾<ref name="einstein_1915">{{citation| last = 愛因斯坦| first = 阿爾伯特| authorlink = 愛因斯坦| year = 1915 | title = Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie | journal = Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften | volume = 1915 | pages = 831–839}}</ref>。

:<math>h(r) = \frac{kL^{2}}{m^{2}c^{2}} \left( \frac{1}{r^{3}} \right)</math>。

將此函數代入積分。再代入<math>r</math>與<math>\theta</math>的關係公式
:<math>\frac{1}{r} =\frac{mk}{L^{2}}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right)</math>，

就可以計算出這非牛頓微擾所產生的[[拱點|近拱點]]進動率<ref name="einstein_1915" />:
:<math>\bar{\Omega}=\frac{6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}</math>。

計算出的答案準確地符合實驗觀測到的[[水星]][[進動]]數據<ref>{{citation| last = Le Verrier|  authorlink =于尔班·勒威耶| year = 1859 | title = Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la Théorie de Mercure et sur le Mouvement du Périhélie de cette Planète | journal = Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paris) | volume = 49 | pages = 379–383}}</ref>和[[雙星系統|雙重]][[脈衝星]]數據<ref>{{cite book | last = Will | first = C. M. | year = 1979 | title = General Relativity, an Einstein Century Survey | edition = SW Hawking and W Israel, eds. | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge | pages = Chapter 2}}</ref>。這與實驗數據一致的結果被認為是[[廣義相對論]]的強證<ref>{{cite book | last = 派斯 | first = 亞伯拉罕| authorlink = 亞伯拉罕·派斯 | year = 1982 | title = Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein | publisher = Oxford University Press }}</ref><ref>{{cite book | last = Roseveare | first = N. T. | year = 1982 | title = Mercury's Perihelion from Le Verrier to Einstein | publisher = Oxford University Press}}</ref>。

== 帕松括號 ==
角動量<math>\mathbf{L}</math>的三個分量<math>L_i</math>的[[帕松括號]]是<ref name="goldstein_1980" />

:<math>\{ L_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}</math>；

其中，指標<math>i,\ j=1,\ 2,\ 3</math>代表[[直角座標系]]的三個座標<math>(x,\ y,\ z)</math>，<math> \epsilon_{ijs}</math>是[[列維-奇維塔符號]]；在這裏，為了避免與力強度的標記<math>k</math>發生混淆，採用<math>s</math>為連加運算的指標。

定義一個與LRL向量成比例的向量<math>\mathbf{D}</math>為
:<math>\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{\sqrt{2m\left|E\right|}}</math>。

向量<math>\mathbf{D}</math>與角動量<math>\mathbf{L}</math>的單位相同。<math>\mathbf{D}</math>與<math>\mathbf{L}</math>的帕松括號為<ref name="bohm_1986">{{cite book | last=Bohm | first=A. | year=1986 | title=Quantum Mechanics: Foundations and Applications | url=https://archive.org/details/quantummechanics00bohm_203 | edition= 2<sup>nd</sup> edition | publisher=Springer Verlag | pages=[https://archive.org/details/quantummechanics00bohm_203/page/n222 208]–222}}</ref>
:<math>\{ D_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s}</math>。

向量<math>\mathbf{D}</math>與自己的帕松括號跟總能量<math>E</math>的正負號有關；也就是說，跟是否總能量<math>E</math>是正值（在平方反比連心力作用下，產生開放的[[雙曲線]]軌道），或負值（在平方反比連心力作用下，產生閉合地[[橢圓]]軌道）有關。假若總能量<math>E</math>是正值，帕松括號是
:<math>\{ D_{i}, D_{j}\} = -\sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}</math>。

反之，假若總能量<math>E</math>是負值，帕松括號是
:<math>\{ D_{i}, D_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}</math>。

由於以下這三個帕松括號方程式，
:<math>\{ L_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}</math>，
:<math>\{ D_{i}, L_{j}\}= \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s}</math>，
:<math>\{ D_{i}, D_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}</math>，

如果總能量<math>E</math>是負值，則可確定克卜勒問題的對稱群是四維的[[旋轉群]]SO(4)。

假若總能量<math>E</math>是負值，[[卡西米爾不變量]]<math>C_1,\ C_2</math>定義為
:<math>C_{1} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{L} \cdot \mathbf{L} = \frac{mk^{2}}{2\left|E\right|}</math>，
:<math>C_{2} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{L} = 0</math>。

而且，卡西米爾不變量與<math>\mathbf{D}</math>的每一個分量的帕松括號皆為零：
:<math>\{ C_{1}, D_{i} \}=\{ C_{2}, D_{i} \}=0</math>。

還有，卡西米爾不變量與<math>\mathbf{L}</math>的每一個分量的帕松括號皆為零：
:<math>\{ C_{1}, L_{i} \}=\{ C_{2}, L_{i} \}=0</math>。

既然兩個向量<math>\mathbf{D}</math>與<math>\mathbf{L}</math>永遠是互相垂直的，<math>C_{2}</math>明顯地是零。可是，另外一個不變量<math>C_1</math>只跟質量<math>m</math>、力強度<math>k</math>、總能量<math>E</math>有關。不變量<math>C_1</math>分別與<math>D_{i}</math>，<math>L_{i}</math>的帕松括號等於零的導引並不明顯。這不變量<math>C_1</math>使得只用到[[量子力學]]的[[正則對易關係]]，就可以推導出[[類氫原子]]的[[原子能級]]，而不必用到的[[薛丁格方程式]]。

== 氫原子量子力學 ==
[[File:Hydrogen_energy_levels.png|thumb|300px|圖6：從LRL向量算符與角動量算符的對易關係，預測出來的氫原子的原子能級。各種實驗都準確地證實這些能級正確無誤。]]

帕松括號提供了一個簡易的方法來[[正則量子化]]經典系統。兩個量子[[算符]]的[[對易關係]]等於<math>i\hbar</math>乘以對應的經典變量<ref>{{cite book | last = 狄拉克| first = 保羅 | authorlink = 保羅·狄拉克| year = 1958 | title = Principles of Quantum Mechanics, 4th revised edition | publisher = Oxford University Press}}</ref>。經過這量子化程序，計算克卜勒問題的[[卡西米爾算符]]<math>C_{1}</math>的[[本徵值]]，[[沃尔夫冈·泡利|沃爾夫岡·包利]]成功地推導出[[類氫原子]]的[[原子能級]]（參閱圖6），以及其[[發射光譜]]<ref name="pauli_1926" />。早在[[薛丁格方程式]]成立之前<ref>{{citation| last = 薛丁格 | first = 埃爾文| authorlink = 薛丁格| year = 1926 | title = Quantisierung als Eigenwertproblem | journal = Annalen der Physik | volume = 384 | pages = 361–376}}</ref>，包利就研究出這重要的結果！

LRL向量<math>\mathbf{A}</math>的量子算符有一個奧妙之處，那就是動量算符與角動量算符並不對易。動量與角動量的[[叉積]]必須仔細地加以定義<ref name="bohm_1986" />。LRL向量的直角座標分量典型地定義為

:<math>A_{k}\equiv - m_e \alpha \hat{r}_{k} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \epsilon_{ijk} \left( p_{i} l_{j} + l_{j} p_{i} \right) </math>；

其中，<math>m_e</math>是電子的質量，常數<math>\alpha=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}</math>，<math>e</math>是[[單位電荷量]]，<math>\epsilon_0</math>是[[真空電容率]]。

這定義有一個特性：指標<math>i,\ j</math>是對稱的，指標<math>i,\ j</math>的互換不會改變<math>A_k</math>的數值。表示為向量形式，
:<math>\mathbf{A}=- m_e \alpha \hat{r}+\frac{1}{2}(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - \mathbf{L}\times\mathbf{p})</math>。

那麼，其對應的[[哈密頓算符]]是
:<math>H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m_e} - \frac{\alpha }{r}</math>。

與<math>\mathbf{A}</math>向量成正比的<math>\mathbf{D}</math>向量則是
:<math>\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{\sqrt{ - 2m_eH}}</math>。

請注意，由於哈密頓算符的本徵值是負值，所以公式內的平方根是個實數。

經過一番繁冗的運算，可以求得對易關係：
:<math>\{L_{i},\,L_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} L_{k}</math>、
:<math>\{L_{i},\,D_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} D_{k}</math>、
:<math>\{D_{i},\,D_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} L_{k}</math>、
:<math>\{H,\,D_{i}\} =0</math>。

定義[[張量|第一階張量]][[算符]]為
:<math>J_{0}\equiv D_3</math>、
:<math>J_{\pm 1}\equiv \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \left( D_{1} \pm i D_{2} \right)</math>。

一個[[歸一化]]的第一卡西米爾算符可以同樣地定義為
:<math>C_1\equiv \mathbf{D}^2+\mathbf{L}^2=\frac{m_e\alpha^2}{ - 2H} - \hbar^2</math>。

注意到<math>J_{+1}</math>和<math>J_{ - 1}</math>的對易關係是
:<math>\{J_{+1},J_{ - 1}\}=i\{D_{1},\,D_{2}\} = -\hbar L_{3}</math>。

應用[[維格納-埃卡特定理]]（{{lang|en|Wigner-Eckart theorem}}），
:<math>J_0|l,\,m\rangle =i\sqrt{l^2 - m^2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m\rangle - i\sqrt{(l+1)^2 - m^2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m\rangle</math>、
:<math>J_{+1}|l,\,m\rangle = - i\sqrt{(l - m)(l - m - 1)/2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m+1\rangle - i\sqrt{(l+m+1)(l+m+2)/2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m+1\rangle</math>、
:<math>J_{ - 1}|l,\,m\rangle = - i\sqrt{(l+m)(l+m - 1)/2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m - 1\rangle - i\sqrt{(l - m+1)(l - m+2)/2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m - 1\rangle</math>；

其中，<math>|l,\,m\rangle</math>是[[角量子數]]為<math>l</math>、[[磁量子數]]為<math>l</math>的[[本徵態]]，<math>\mathfrak{C}_l</math>是常數係數。

經過一番運算，<math>J_{+1}</math>和<math>J_{ - 1}</math>的對易算符作用於<math>|l,\,m\rangle</math>的結果是
:<math>\begin{align}\{J_{+1},\,J_{ - 1}\}|l,\,m\rangle & = - m[(2l-1)\mathfrak{C}_l^2-(2l+3)\mathfrak{C}_{l+1}^2]|l,\,m\rangle \\
 & = - \hbar L_3|l,\,m\rangle= - m\hbar^2 \\
\end{align} </math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

所以，<math>\mathfrak{C}_l</math>的[[遞迴關係]]是
:<math>(2l - 1)\mathfrak{C}_l^2 - (2l+3)\mathfrak{C}_{l+1}^2= \hbar^2</math>。

假設<math>\mathfrak{C}_l^2</math>是非負值，則為了滿足上述公式，<math>l>0</math>。再假設<math>l</math>的最大值是<math>l_{max}</math>。由於態向量<math>|l_{max}+1,\,\ \rangle</math>不存在，<math>\mathfrak{C}_{l_{max}+1}=0</math>。因此，<math>\mathfrak{C}_{l_{max}}=\frac{\hbar^2}{2l_{max} - 1}</math>。設定<math>n=l_{max} - 1</math>，稍加計算，<math>\mathfrak{C}_l</math>的一般方程式為
:<math>\mathfrak{C}_l=\sqrt{\frac{n^2 - l^2}{4l^2 - 1}}\ \hbar</math>。

這個<math>n</math>就是跟能級有關的[[主量子數]]。先計算<math>D^2</math>：
:<math>\begin{align}D^2|n,\,l,\,m\rangle & =[J_{+1}J_{ - 1}+J_{ - 1}J_{+1}+J_0^2]|n,\,l,\,m\rangle \\
 & =(n^2 - l^2 - l - 1)\hbar^2|n,\,l,\,m\rangle \\
\end{align} </math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

所以，第一卡西米爾算符<math>C_1</math>作用於態向量<math>|n,\,l,\,m\rangle</math>可以得到
:<math>C_1|n,\,l,\,m\rangle=(D^2+L^2)|n,\,l,\,m\rangle=(n^2 - 1)\hbar^2|n,\,l,\,m\rangle</math>。

第一卡西米爾算符<math>C_{1}</math>的本徵值是<math>(n^2 - 1)\hbar^2</math>。重點是，這些本徵值跟量子數<math>l</math>、<math>m</math>無關，這造成了[[原子能階]]的[[簡併]]<ref name="bohm_1986" />：

:<math>E_{n} = - \frac{m_e \alpha^{2}}{2\hbar^{2} n^{2}}= - \frac{m_e e^4}{2n^2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}</math>。

這就是著名的[[氫原子]][[玻尔模型#结果|波耳公式]]。

== 保守性與對稱性 ==
在克卜勒問題裏，LRL向量的保守性對應於系統的一種微妙的[[對稱|對稱性]]。在[[經典力學]]裏，對稱性可以由連續運算顯示出來；這連續運算可以將一個軌道[[映射]]至另外一個軌道，而同時保持系統的能量不變。在[[量子力學]]裏，連續運算將同[[能級]][[原子軌域]]混合在一起，也就是說，（[[簡併|簡併原子能級]]）。

通常，對於每一個對稱性都會存在有一個保守量<ref name="goldstein_1980" />。例如，[[連心力]]系統必對稱於[[旋轉群]][[SO(3)]]；因而指引出角動量<math>\mathbf{L}</math>的保守性。在[[經典力學]]裏，整個系統的旋轉不會影響軌道的能量。在[[量子力學]]裏，假若旋轉只混合[[角量子數]]相同的[[球諧函數]]，則系統的能量不會改變。

[[File:Kepler_hodograph_family.png|thumb|圖7：同能量的動量的速端曲線家族。每一個圓圈都經過在p<sub>x</sub>-軸上，同樣的兩點<math>\pm p_{0} = \pm \sqrt{2m\left| E \right|}</math>。這一家族的速端曲線對應於一個家族的[[阿波羅尼奧斯圓]]，和[[雙極坐標系|雙極坐標]]的<math>\sigma</math> [[坐標曲面]]。]]

平方反比連心力系統的對稱性是更高維與更微妙的。這奇特的對稱性是由角動量<math>\mathbf{L}</math>與LRL向量<math>\mathbf{A}</math>的雙重保守性造成的；這保證了[[氫原子]]的能級跟角量子數<math>l</math>、磁量子數<math>m</math>無關。由於對稱性運算必須發生於[[維度|更高維空間]]，使得這對稱性更加的微妙；這類的對稱性常稱為'''隱祕對稱性'''<ref name="prince_eliezer_1981" />。在經典力學裏，克卜勒問題的高維對稱性容許連續的改變軌道．只要保持能量不變，而角動量可以改變；換句話說，同能量，不同角動量（離心率）的軌道可以互相的連續變換。在量子力學裏，這對應著不同角量子數<math>l</math>與磁量子數<math>m</math>的軌域的混合，例如<math>s (l=0)</math>與<math>p (l=1)</math> [[原子軌域]]的混合。這種混合是不能用普通的三維平移運算或旋轉運算達成的。可是，這種混合等價於高維度空間的旋轉。

在一個束縛（bounded）系統裏，能量是負值的，這高維[[對稱群]]是SO(4)；特性是四維向量的長度保持不變：
:<math>\left| \mathbf{e} \right|^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2</math>。

1935年，[[弗拉基米尔·福克]]表明，在量子力學裏，束縛的克卜勒問題等價於一個粒子自由地移動於四維空間的[[三維球面|三維單位球]]<ref name="fock_1935" />。更具體地，佛克表明，在克卜勒問題的動量空間，[[薛丁格方程式|薛丁格]][[波函數]]是[[球諧函數]]的[[球極平面投影]]。圓球的旋轉與重複射影造成了橢圓軌域的連續[[映射]]，同時維持能量不變；這對應於主量子數<math>n</math>相同的軌域的混合。隨後，[[華倫泰·巴格曼]]注意到，跟LRL向量成比例的向量<math>\mathbf{D}</math>與角動量<math>\mathbf{L}</math>的[[帕松括號]]形成SO(4)的[[李代數]]<ref name="bargmann_1936" />。簡單地說，<math>\mathbf{D}</math>與<math>\mathbf{L}</math>的六個物理量對應於在四維空間裏的六個保守的角動量分量，相伴於在四維空間裏的六個合法的簡單旋轉（從四個軸中，選兩個軸為旋轉軸。一共有六種可能）。這結論並不意示宇宙是一個三維球面；而只是說，這個特別的物理問題（克卜勒問題），在數學上，等價於移動於三維球面的一個自由粒子。

在一個非束縛（unbound），[[散射]]系統裏，能量是正值的，對應的高維[[對稱群]]是SO(3,1)；其特性是保持[[四維矢量]]的[[閔可夫斯基時空|閔考斯基長度]]不變：

:<math>ds^{2} = e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2} - e_{4}^{2}</math>。

連心力系統（包括克卜勒問題的那些系統）的軌道對於[[反射 (數學)|反射]]也具有對稱性。所以，軌道的完全對稱群並不是前面所提的[[SO(3)]]、SO(4)、SO(3,1)群；而分別是[[正交群|O(3)]]、[[正交群|O(4)]]、O(3,1)。然而，只需要[[連通空間|連通]][[子群]]SO(3)、SO(4)、SO(3,1)來展示出角動量與LRL向量的保守性；反射對稱性與保守性不相關。保守性可以由群的[[李代數]]推導出來<ref name="bander_itzykson_1966">{{citation| last = Bander | first = M | coauthors = Itzykson C | year = 1966 | title = Group Theory and the Hydrogen Atom (I) | journal = Reviews of Modern Physics | volume = 38 | pages = 330–345}}</ref><ref>{{citation| last = Bander | first = M | coauthors = Itzykson C | year = 1966 | title = Group Theory and the Hydrogen Atom (II) | journal = Reviews of Modern Physics | volume = 38 | pages = 346–358}}</ref>。

== 旋轉對稱性在四維空間 ==
[[File:Kepler_Fock_projection.svg|thumb|300px|圖8：圖7的動量的速端曲線對應於<math>\eta</math> [[三維球面|三維單位球]]的[[大圓線]]的[[球極平面投影]]。每一個大圓線都與<math>\eta_x</math>-軸相交，後者垂直於頁面。投影是從北極（<math>w</math>單位向量）到<math>\eta_x</math><math>\eta_x</math>-平面，如同這裏的虛黑線表示於品紅色速端曲線。在緯度<math>\alpha</math>的大圓線對應於[[離心率]]<math>e=sin\ \alpha</math>。在這圖裏的大圓線的顏色對應於它們在圖7的速端曲線。]]
  
[[克卜勒問題|克卜勒問題]]與四維旋轉對稱性SO(4)的關聯可以很容易地觀察出來<ref name="bander_itzykson_1966" /><ref name="rogers_1973">{{citation| last = Rogers | first = HH | year = 1973 | title = Symmetry transformations of the classical Kepler problem | journal = Journal of Mathematical Physics | volume = 14 | pages = 1125–1129}}</ref><ref>{{cite book | last = Guillemin | first = V | coauthors = Sternberg S | year = 1990 | title = Variations on a Theme by Kepler | url = https://archive.org/details/variationsonthem0042guil | publisher = American Mathematical Society Colloquium Publications, volume 42 | id = ISBN 0-8218-1042-1}}</ref>。標記四維[[直角坐標係|直角座標]]為<math>(w,\ x,\ y,\ z)</math>；其中，<math>(x,\ y,\ z)</math>代表三維位置向量<math>\mathbf{r}</math>的直角座標。三維動量<math>\mathbf{p}</math>與[[三維球面|三維單位球]]的四維向量<math>\boldsymbol\eta</math>的關係為
:<math>\boldsymbol\eta =\displaystyle \frac{p^{2} - p_{0}^{2}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{\hat{w}} + \frac{2 p_{0}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{p}</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>\mathbf{\hat{w}}</math>是新的w-軸的單位向量。

很簡單地，可以核對<math>\boldsymbol\eta</math>也是一個單位向量：
:<math>\boldsymbol\eta=\hat{\boldsymbol\eta}</math>。

從<math>\mathbf{p}</math>至<math>\hat{\boldsymbol\eta}</math>的[[映射]]有一個獨特唯一的逆反；例如，動量<math>\mathbf{p}</math>的x-軸分量是
:<math>p_{x} = p_{0} \frac{\eta_{x}}{1 - \eta_{w}} </math>。

<math>p_y</math>與<math>p_z</math>也有類似的公式。換句話說，三維動量向量<math>\mathbf{p}</math>是四維單位向量<math>\hat{\boldsymbol\eta}</math>的[[球極平面投影]]，其比例因子為<math>p_0</math>。

選擇一個合適的直角座標，使z-軸與角動量<math>\mathbf{L}</math>同直線，使動量的速端曲線的[[取向]]如同圖7，圓心包含於y-軸。這樣，不失廣義性，就可以觀察到這旋轉對稱性。由於粒子的運動包含於一個平面，<math>\mathbf{p}</math>與<math>\mathbf{L}</math>互相垂直，而且，<math>p_z=\eta_z=0</math>。因此，只需要專注於三維向量<math>\hat{\boldsymbol\eta}=(\eta_w,\ \eta_x,\ \eta_y)</math>。圖7速端曲線的[[阿波羅尼奧斯圓]]家族對應於在[[三維球面|三維單位球]]<math>\boldsymbol\eta</math>的[[大圓線]]家族。每一個大圓線與<math>\eta_x</math>相交於兩個交點<math>\eta_x=\pm 1</math>。這兩個交點相對於速端曲線圖的兩點<math>p_x=\pm p_0</math>。這兩個交點也是這些大圓線的共同交點。所以，這些大圓線的互相關係是一個環繞著<math>\eta_x</math>-軸的簡單旋轉（參閱圖8）。以<math>\eta_x</math>-軸為轉軸，每一個大圓線的位置是從<math>\eta_x\eta_y</math>-平面旋轉<math>\alpha</math>角。

取任意一個大圓線<math>\eta_y</math>最大值的一點，其坐標為<math>(\eta_w,\ 0,\ \eta_y,\ 0)</math>。那麼，
:<math>p_x=0</math>、
:<math>p_y=p=(A+mk)/L</math>、
:<math>\eta_y = \cos(\alpha)=\frac{2p_0 p_y}{p_y^2+p_0^2}</math>。

經過一番運算，代入<math>p_0</math>的值，可以得到
:<math>\begin{align} \sin(\alpha) & =\frac{p_y^2 - p_0^2}{p_y^2+p_0^2} \\
 & =\frac{(A+mk)^2 - 2m|E|L^2}{(A+mk)^2+2m|E|L^2} \\
\end{align} </math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

給予一個束縛軌道，能量是負值的：
:<math>\begin{align} \sin(\alpha) & =\frac{(A+mk)^2+2mEL^2}{(A+mk)^2 - 2mEL^2} \\
 & =\frac{A}{mk}=e \\
\end{align} </math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

所以，[[離心率]]<math>e = \sin(\alpha)</math>是緯度<math>\alpha</math>的[[正弦函數]]。

由於圖7的動量的速端曲線對應於<math>\eta</math>三維單位球的大圓線的球極平面投影，而這速端曲線家族的成員都擁有相同的能量。所以，這旋轉的對稱性使所有能量相同的軌道都能夠互相變換。但是，這旋轉正交於通常的三維旋轉，因為它涉及了第四維<math>\eta_w</math>。高維度的對稱性是克卜勒問題對應於LRL向量的一個特徵。

採用[[橢圓柱坐標系|橢圓柱坐標]]<math>\chi,\ \psi,\ \phi</math>來代替四維座標<math>\boldsymbol\eta</math>，克卜勒問題有一個精緻的[[作用量-角度座標]]解答<ref>{{citation| last = Lakshmanan | first = M | coauthors = Hasegawa H | title = On the canonical equivalence of the Kepler problem in coordinate and momentum spaces | journal = Journal of Physics A | volume = 17 | pages = L889–L893}}</ref>：
:<math>\eta_{w} = \mathrm{cn}\, \chi \  \mathrm{cn}\, \psi</math>，
:<math>\eta_{x} = \mathrm{sn}\, \chi \  \mathrm{dn}\, \psi \  \cos \phi</math>，
:<math>\eta_{y} = \mathrm{sn}\, \chi \  \mathrm{dn}\, \psi \  \sin \phi</math>，
:<math>\eta_{z} = \mathrm{dn}\, \chi \  \mathrm{sn}\, \psi</math>；

其中，<math>\mathrm{sn},\,\mathrm{cn},\,\mathrm{dn}</math>是[[雅可比橢圓函數]]。

== 克卜勒問題LRL向量恆定的證明 ==
以下幾種導引可以証明，在平方反比連心力下，LRL向量守恆。

=== 直接證明 ===
假設，一個連心力<math>f(\mathbf{r})\hat{\mathbf{r}}</math>作用於一個粒子。根據[[牛頓第二定律]]，運動方程式為
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=f(\mathbf{r}) \hat{\mathbf{r}}</math>；

其中，<math>f(\mathbf{r})</math>是函數，<math>\mathbf{r}</math>為粒子的位置，<math>\mathbf{p}</math>是動量，<math>t</math>是時間。

由於在連心力下，[[角動量]]<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}</math>是恆定的，
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{L} = 0</math>。

所以，
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \mathbf{p}\times\mathbf{L} \right)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{L} = f(\mathbf{r}) \mathbf{\hat{r}} \times \left( \mathbf{r} \times m \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right) = f(\mathbf{r}) \frac{m}{r} \left[ \mathbf{r} \left(\mathbf{r} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right) - r^{2} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right]</math>。

代入以下[[恆等式]]：
:<math>\mathbf{r}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}\right) =\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^{2}\right)=r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}</math>，

可以得到方程式，
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) =
- m f(\mathbf{r}) r^{2} \left[ \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathbf{r}}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right] = - m f(\mathbf{r}) r^{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right)</math>。

代入平方反比連心力的方程式<math>f(\mathbf{r})=\frac{ - k}{r^{2}}</math>，
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) =
m k \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right) =
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right)</math>。

所以，在平方反比連心力下，<math>\mathbf{A}</math>是恆定的：
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right) = 0</math>。

=== 哈密頓-雅可比方程式 ===
[[哈密頓-雅可比方程式]]的可分性也可以用推導出LRL向量的恆定性<ref name="landau_lifshitz_1976" /><ref>{{citation| last = Dulock | first = VA | coauthors = McIntosh HV | year = 1966 | title = On the Degeneracy of the Kepler Problem | journal = Pacific Journal of Mathematics | volume = 19 | pages = 39–55}}</ref>。採用[[拋物線座標系#第二種表述|拋物線座標]]<math>(\xi,\ \eta)</math>，定義
:<math>\xi =r+x</math>、
:<math>\eta =r - x</math>；

其中，<math>(x,\ y)</math>是[[直角座標系|直角座標]]，<math>r</math>是軌道的徑向距離：
:<math>r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}</math>。

逆反過來， 
:<math>x = \frac{1}{2} \left( \xi - \eta \right)</math>、
:<math>y = \sqrt{\xi\eta}</math>。

則克卜勒問題的[[哈密頓量]]為
:<math>\begin{align}H & = \frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{y}^2-\frac{k}{r} \\
  & =\frac{2\xi p_{\xi}^2}{m(\xi+\eta)}+\frac{2\eta p_{\eta}^2}{m(\xi+\eta)} - \frac{2k}{\xi+\eta} \\  \end{align} </math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>p_{\xi},\ p_{\eta}</math>分別是[[廣義座標]]<math>\xi,\ \eta</math>的共軛動量。

由於克卜勒問題的勢函數只跟廣義座標有關，哈密頓量是個能量運動常數，<math>H=E</math>。稍加編排，可以得到
:<math>2\xi p_{\xi}^2 - mk - mE\xi= - 2\eta p_{\eta}^2+mk+mE\eta</math>。

這公式的左手邊與右手邊分別跟不同的廣義座標有關，所以，兩邊都相等於一個[[運動常數]]，標記為<math>\Gamma</math>：

:<math>2\xi p_{\xi}^{2} - mk - mE\xi = - \Gamma</math>、
:<math>2\eta p_{\eta}^{2} - mk - mE\eta = \Gamma</math>。

思考LRL向量的<math>x</math>分量，
:<math>\begin{align} A_{x} & = p_{y}(xp_{y} - yp_{x}) - mk\frac{x}{r} \\
  & = xp_{y}^2 - yp_{x}p_y - mk+m\eta\frac{k}{r} \\ \end{align} </math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

代入能量方程式<math>E=\frac{1}{2}mv^2 - \frac{k}{r}</math>，則
:<math>A_{x}=xp_{y}^2 - yp_{x}p_y+\frac{1}{2}m^2 v^2 \eta - mk - mE\eta</math>。

這公式右手邊，前三個項目，經過一番計算，可以得到
:<math>xp_{y}^2 - yp_{x}p_y+\frac{1}{2}m^2 v^2 \eta =\frac{m^2}{8}\dot{\eta}^2\frac{(\eta+\xi)^2}{\eta}=2\eta p_{\eta}^2</math>。

所以，<math>A_x</math>也是運動常數：
:<math>A_x=\Gamma</math>。

=== 諾特定理 ===
LRL向量的保守性與前面所提的旋轉對稱性，兩者之間的關係，可以用[[諾特定理]]來做連結分析。諾特定理也可以用來辨明LRL向量是[[運動常數]]。諾特定理表明<ref>{{citation| last = Lévy-Leblond | first = JM | year = 1971 | title = Conservation Laws for Gauge-Invariant Lagrangians in Classical Mechanics | journal = American Journal of Physics | volume = 39 | pages = 502–506}}</ref>：在一個物理系統裏，對於[[廣義坐標]]<math>q_{i}</math>的微小變分<math>\delta q_{i} = \epsilon g_{i}(\mathbf{q},\ \mathbf{\dot{q}},\ t)</math>，假若，取至微小參數<math>\epsilon</math>的一階，[[拉格朗日量]]<math>\mathcal{L}</math>的[[變分法|變分]]<math>\delta \mathcal{L}</math>是
:<math>\delta \mathcal{L} = \epsilon \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} G(\mathbf{q},\ t)</math>，

則必存在保守量<math>\Gamma</math>滿足方程式
:<math>\Gamma = - G+\sum_{i}g_i\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\right)</math>；

其中，<math>g_i(\mathbf{q},\ \mathbf{\dot{q}},\ t)</math>、<math>G(\mathbf{q},\ t)</math>都是函數。

更具體地，在一個克卜勒問題裏，試設定坐標<math>x_{i}</math>的微小變分為
:<math>\delta x_i=\frac{\epsilon}{2} \left[ 2p_{i}x_{s} - x_{i}p_{s} - (\mathbf{r}\cdot \mathbf{p})\delta_{is} \right]</math>；

其中，<math>i=1,\ 2,\ 3</math>，<math>x_i</math>與<math>p_i</math>分別為位置<math>\mathbf{r}</math>與動量<math>\mathbf{p}</math>的<math>i</math>-軸分量，<math>\delta_{is}</math>是[[克羅內克爾δ]]，<math>s</math>是固定的下標。

由於克卜勒問題的拉格朗日量是
:<math>\mathcal{L}=\sum_{i}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}_i\dot{x}_i\right)+\frac{k}{r}</math>。

其[[運動方程式]]為
:<math>m\ddot{x}_i+k\frac{x_i}{r^3}=0</math>。

對應於坐標<math>x_{i}</math>的變分，速度<math>\dot{x}_{i}</math>的變分為
:<math>\begin{align} \delta \dot{x}_{i} & = \frac{\epsilon}{2} \left[2\dot{p}_{i} x_{s}-x_{i}\dot{p}_{s}+p_{i}\dot{x}_{s} - \frac{p^2}{m}\delta_{is} - (\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{p}})\delta_{is} \right] \\
 & = \frac{\epsilon}{2}  \left[ - \frac{k}{r^3}x_i x_s+p_{i}\dot{x}_{s} - \frac{p^2}{m}\delta_{is} +\frac{k}{r}\delta_{is} \right] \\  \end{align} </math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

拉格朗日量取至一階的變分是
:<math>\begin{align}  \delta \mathcal{L} & =\sum_{i}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}\delta x_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\delta \dot{x}_i\right)  \\
 & =\sum_{i}\left( - \frac{kx_i}{r^3}\delta x_i+m\dot{x}_i\delta\dot{x}_i\right)  \\ 
\end{align} </math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

代入<math>\delta x_i</math>和<math>\delta\dot{x}_i</math>的公式，經過一番繁瑣的運算，可以得到
:<math>\delta\mathcal{L}=\epsilon mk\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{x_{s}}{r} \right)</math>。

再代入保守量<math>\Gamma</math>的公式，則會得到
:<math>\Gamma=p^{2} x_{s} - p_{s}\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}\right) - \frac{mkx_{s}}{r}=\left[\mathbf{p}\times \mathbf{L} - mk\hat{\mathbf{r}}\right]_{s}</math>；

而這正是LRL向量的<math>s</math>-軸分量<math>A_s</math>。

=== 李變換 ===
[[File:Scaled_ellipses.png|thumb|350px|圖9:推導出LRL向量保守性的李變換。當這比例參數<math>\lambda</math>改變時，能量與角動量的大小也一起改變，可是離心率<math>e</math>與LRL向量<math>\mathbf{A}</math>的大小與方向不變。]]

[[諾特定理]]精緻地推導出LRL向量的保守性。美中不足地，這導引有一個弱點：坐標變分<math>\delta x_{i}</math>不只涉及了位置<math>\mathbf{r}</math>，而且還涉及了動量<math>\mathbf{p}</math> <ref>{{citation| last = Gonzalez-Gascon | first = F | year = 1977 | title = Notes on the symmetries of systems of differential equations | journal = Journal of Mathematical Physics | volume = 18 | pages = 1763–1767}}</ref>。假若，使用數學家[[索菲斯·李]]創建的方法來推導，可以除去這弱點<ref>{{cite book | last = 李 | first =索菲斯| authorlink = 索菲斯·李 | year = 1891 | title = Vorlesungen über Differentialgleichungen | publisher = Teubner | location = Leipzig}}</ref><ref>{{cite book | last = Ince | first = EL | year = 1926 | title = Ordinary Differential Equations | publisher = Dover (1956 reprint) | location = New York | pages = 93–113}}</ref>。具體地，定義一個[[連續對稱|李變換]]<ref name="prince_eliezer_1981" >{{citation| last = Prince | first = GE | coauthors = Eliezer CJ | year = 1981 | title = On the Lie symmetries of the classical Kepler problem | journal = Journal of Physics A: Mathematical and General | volume = 14 | pages = 587–596}}</ref>，座標<math>\mathbf{r}</math>與時間<math>t</math>都按照比例變換，比例是參數<math>\lambda</math>的不同羃數：

:<math>t \rightarrow \lambda^{3}t, \ 
\mathbf{r} \rightarrow \lambda^{2}\mathbf{r}, \ 
\mathbf{p} \rightarrow \frac{1}{\lambda}\mathbf{p} </math>。

這變換改變了角動量<math>L</math>的大小與能量<math>E</math>：

:<math>L \rightarrow \lambda L, \ E \rightarrow \frac{1}{\lambda^{2}} E</math>。

可是，仍舊保持乘積<math>EL^2</math>不變。所以，離心率<math>e</math>與LRL向量<math>\mathbf{A}</math>的大小不變。這可以從<math>A^2</math>的公式觀察出：

:<math>A^2 = m^2 k^2 e^{2} = m^2 k^2 + 2 m E L^2</math>。

由於[[半短軸]]與[[半長軸]]的取向不因整體的比例變換而改變，LRL向量<math>\mathbf{A}</math>的方向也會保持不變。在李變換下，[[克卜勒第三定律|克卜勒第三定律]]也仍舊成立：半長軸<math>a</math>與週期<math>T</math>形成常數<math>{T^2}/{a^3}</math>。

== 推廣至別種位勢和相對論 ==
LRL向量可以推廣至其他狀況；可以用來辨認在其他狀況下的保守值。

假設，一個物理系統裏，存在著[[電場]]<math>\mathbf{E}</math>，保守的廣義LRL向量<math>\mathcal{A}</math>是<ref name="landau_lifshitz_1976" /><ref>{{citation| last = Redmond | first = P. J. | year = 1964 | title = Generalization of the Runge–Lenz Vector in the Presence of an Electric Field | journal = Physical Review | volume = 133 | pages = B1352–B1353}}</ref>
:<math>\mathcal{A} = \mathbf{A} + \frac{mq}{2} \left[ \left( \mathbf{r} \times \mathbf{E} \right) \times \mathbf{r} \right] </math>；

其中，<math>q</math>是粒子的[[電荷量]]。

最廣義的LRL向量的形式可以表達為<ref name="fradkin_1967" />
:<math>\mathcal{A}=\left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right) \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right)+\left[\xi - u \left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right)\right] L^{2}  \mathbf{\hat{r}}</math>；

其中，<math>u=\frac{1}{r}</math>（參閱[[伯特蘭定理]]），<math>\xi=\cos\theta</math>，角<math>\theta</math>定義為
:<math>\theta = L \int^{u} \frac{du}{\sqrt{m^{2} c^{2} \left(\gamma^{2} - 1 \right) - L^{2} u^{2}}}</math>；

其中，<math>\gamma</math>是[[勞侖茲因子]]。

如同前面所提，計算<math>\mathbf{L}</math>與<math>\mathcal{A}</math>的叉積，可以得到一個保守的[[平移运动#曲线坐标系|副法線向量]]<math>\mathcal{B}</math>：
:<math>\mathcal{B}=\mathbf{L}\times\mathcal{A}</math>。

綜和兩個向量成為一個保守的[[並矢張量]]<math>\mathcal{W}</math>：
:<math>\mathcal{W} = \alpha \mathcal{A} \otimes \mathcal{A} + \beta \, \mathcal{B} \otimes \mathcal{B}</math>。

舉例說明，計算一個非相對論性，均向性[[諧振子]]的LRL向量。由於作用力是[[連心力]]，<math>\mathbf{F}(r)= -k \mathbf{r}</math>，力子的角動量是保守的，粒子的運動包含於一個平面。請注意，<math>\mathbf{P}</math>與<math>\mathbf{L}</math>不是一定互相垂直的。保守的[[並矢張量]]可以表達為一個簡單的形式：
:<math>\mathcal{W} = \frac{1}{2m} \mathbf{p} \otimes \mathbf{p} + \frac{k}{2} \, \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}</math>。

其相應的LRL向量必較複雜
:<math>\mathcal{A} = \frac{1}{\sqrt{mr^{2}\omega_{0} A - mr^{2}E + L^{2}}} \left\{ \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) + \left(mr\omega_{0} A - mrE \right) \mathbf{\hat{r}} \right\}</math>；
其中，<math>\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>是自然振率。

== 別種比例與表述 ==
不同於動量與角動量，並沒有學術界一致認同的LRL向量定義；在科學文獻裏，存在有幾種不同的比例因子與符號。前面所述的定義是最普遍的定義。另外一種常見的定義，將<math>\mathbf{A}</math>除以常數<math>mk</math>；這樣，可以得到一個無因次的[[離心率向量]]<math> \mathbf{e}</math>：

:<math> \mathbf{e}=\frac{1}{mk} \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \mathbf{\hat{r}} = \frac{m}{k} \left(\mathbf{v} \times \mathbf{L}\right) - \mathbf{\hat{r}}</math>；

其中，<math>\mathbf{v}</math>是速度。

離心率向量<math> \mathbf{e}</math>的方向與<math>\mathbf{A}</math>相同，大小是軌道的[[離心率]]。

別種比例的版本也可能會用到。例如，將<math>\mathbf{A}</math>除以<math>m</math>：
:<math> \mathbf{M} = \mathbf{v} \times \mathbf{L} - k\mathbf{\hat{r}}</math>，

或者，將<math>\mathbf{A}</math>除以<math>P_0</math>：
:<math>\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{P_{0}}=\frac{1}{\sqrt{2m\left| E \right|}} 
\left\{ \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}} \right\}</math>。

<math>\mathbf{D}</math>與角動量<math>\mathbf{L}</math>的單位相同。在非常稀有的狀況，LRL向量的正負號會改變。這些，都不會影響它是[[運動常數]]的事實。

[[File:Kepler_trivector.svg|thumb|250px|圖4:角動量<math>\mathbf{L}</math>，LRL向量<math>\mathbf{A}</math>，與副法線向量<math>\mathbf{B}</math>都互相垂直。<math>\mathbf{A}</math>與<math>\mathbf{B}</math>分別和橢圓的半長軸與半短軸的指向相同]]

另外一個保守的向量是[[平移运动#曲线坐标系|副法線向量]]<math>\mathbf{B}</math>。[[威廉·哈密頓]]曾經研究過這向量<ref name="hamilton_1847_quaternions" />。

:<math>\mathbf{B} = \mathbf{p} - \left(\frac{mk}{L^{2}r} \right) \  \left( \mathbf{L} \times \mathbf{r} \right)</math>。

這保守的向量與橢圓的半短軸同直線。<math>\mathbf{A}</math>是<math>\mathbf{B}</math> [[叉積]]<math>\mathbf{L}</math>（參閱圖4）。兩個向量<math>\mathbf{A}</math>與<math>\mathbf{B}</math>可以結合起來形成一個保守的[[並矢張量]]<math>\mathcal{W}</math> <ref name="fradkin_1967" />：
:<math>\mathcal{W} = \alpha \mathbf{A} \otimes \mathbf{A} + \beta \, \mathbf{B} \otimes \mathbf{B}</math>；

其中，<math>\alpha</math>與<math>\beta</math>是任意比例常數，符號  <math>\otimes</math>表示[[張量積]]。展開這公式為

:<math>\mathcal{W}_{ij} = \alpha A_{i} A_{j} + \beta B_{i} B_{j}</math>。

由於兩個向量互相垂直，<math>\mathbf{A}</math>與<math>\mathbf{B}</math>可以視為保守的張量<math>\mathcal{W}</math>的[[轉動慣量#主慣性矩|主軸]]，也就是說，按比例的[[特徵向量]]。由於<math>\mathbf{A}</math>與<math>\mathbf{B}</math>都垂直於<math>\mathbf{L}</math>，張量<math>\mathcal{W}</math>垂直於角動量<math>\mathbf{L}</math>：

:<math>\mathbf{L} \cdot \mathcal{W} =
\alpha \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{A} \right) \mathbf{A} + \beta \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{B} \right) \mathbf{B} = 0</math>。

== 參閱 ==
*[[二體問題]]
*[[伯特蘭定理]]
*[[量子力學]]
*[[航天動力學]]：[[轨道 (力学)|軌道]]，[[離心率向量]]，[[軌道根數]]

== 參考文獻 ==
{{reflist|2}}
* {{citation| first=P.G.L. |last=Leach | coauthors=G.P. Flessas | title=Generalisations of the Laplace–Runge–Lenz vector | journal=J. Nonlinear Math. Phys. | volume=10 | year=2003 | pages=340–423 | id={{arxiv|archive=math-ph|id=0403028}} }}

== 外部連結 ==
<small>
*加利福尼亞大學河濱分校物理網頁：{{cite web | first=John | last=Baez | url=http://math.ucr.edu/home/baez/gravitational.html | title=Mysteries of the gravitational 2-body problem | access-date=2008-01-12 | archive-url=https://web.archive.org/web/20081021082335/http://math.ucr.edu/home/baez/gravitational.html | archive-date=2008-10-21 | dead-url=yes }}
</small>

[[Category:經典力學|L]]
[[Category:天體力學|L]]
[[Category:物理量|L]]
[[Category:向量|L]]
{{Good article}}