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'''拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换'''得名于[[皮埃尔-西蒙·拉普拉斯]]与[[汤姆斯·斯蒂尔吉斯]]，是与[[拉普拉斯变换]]相似的[[积分变换]]。对于[[实值函数]]，其是斯蒂尔吉斯量的拉普拉斯变换，但通常是为在[[巴拿赫空间]]中取值的函数定义的。它在许多[[数学]]领域中都有应用，如[[泛函分析]]和[[概率论]]。

==实值函数==
实值函数''g''的拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换由下列形式的[[勒贝格-斯蒂尔切斯积分]]给出：

:<math>\int e^{-sx}\,dg(x)</math>

''s''为[[复数 (数学)|复数]]。与通常的拉普拉斯变换不同，根据积分域不同，得到的变换也不同。而且为了定义积分，还要要求''g''在积分域内[[有界变差]]。最常见的是

* 双边拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换：<math display="block">\{\mathcal{L}^*g\}(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-sx}\,dg(x).</math>
* 单边拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换：<math display="block">\{\mathcal{L}^*g\}(s) = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-\varepsilon}^\infty e^{-sx}\,dg(x).</math>为确保变换能捕捉到{''g''(''x'')}在{''x'' = 0}时可能出现的跃变，就像使[[狄拉克δ函数]]的拉普拉斯变换有意义一样，极限是必要的。
* 更一般的变换可在[[复平面]]上对等值线进行积分得到；参见{{harvnb|Zhavrid|2001}}。

标量值函数的拉普拉斯-斯蒂尔吉斯变换，由此可以定义为斯蒂尔切斯量度的[[拉普拉斯变换]]的特例。即

:<math>\mathcal{L}^*g = \mathcal{L}(dg).</math>

特别是，它与通常的拉普拉斯变换有许多相同的性质。例如，[[卷积定理]]成立：

:<math>\{\mathcal{L}^*(g * h)\}(s) = \{\mathcal{L}^*g\}(s)\{\mathcal{L}^*h\}(s).</math>

通常只考虑''s''的实部，不过如对给定实值{{math|1=''s'' = σ}}，存在适当的[[勒贝格积分]]，则对于{{math|1=re(''s'') ≥ σ}}的所有复数{{math|''s''}}，积分也同样存在。

拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换很自然地出现在下面的情形中。若''X''是[[累积分布函数]]为''F''的[[随机变量]]，则拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换可由[[期望]]给出：

:<math>\{\mathcal{L}^*F\}(s) = \mathrm{E}\left[e^{-sX}\right].</math>

因此，实值随机变量累积分布函数的拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换等于随机变量的[[矩生成函数]]，只是参数的符号相反。

==向量测度==
实值函数的拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换是应用于相关斯蒂尔切斯量的拉普拉斯变换的特例，而传统的拉普拉斯变换不能处理[[向量测度]]：在[[巴拿赫空间]]中取值的测度。然而，在[[偏微分方程]]、[[调和分析]]与[[概率论]]研究中出现的[[半群]]则非常重要。最重要的半群分别是[[热传导方程|热传导半群]]、{{tsl|en|Riemann–Liouville integral|黎曼-刘维尔半群}}和[[布朗运动]]及其他[[无限可分]]过程。

令''g''为[0,∞)到巴拿赫空间''X''的函数，在每个有限区间上都是'''强有界变差'''。这意味着，对于每个固定的子区间[0,''T'']都有

:<math>\sup \sum_i \left \|g(t_i)-g(t_{i+1}) \right \|_X < \infty</math>

其中，上确界取自[0,''T'']的所有部分

:<math>0=t_0 < t_1<\cdots< t_n=T.</math>

关于向量测度''dg''的斯蒂尔切斯积分

:<math>\int_0^T e^{-st}dg(t)</math>

定义为[[黎曼–斯蒂尔切斯积分]]。事实上，若π是区间[0,''T'']的有标部分，划分为{{nowrap|1=0 = ''t''<sub>0</sub> ≤ ''t''<sub>1</sub> ≤ ... ≤ ''t''<sub>''n''</sub> = ''T''}}，分界点<math>\tau_i \in [t_i, t_{i+1}]</math>与网格大小<math>|\pi| = \max \left |t_i - t_{i+1} \right |</math>，则黎曼-斯蒂尔切斯积分定义为极限值

:<math>\lim_{|\pi|\to 0} \sum_{i=0}^{n-1}e^{-s\tau_i} \left [g(t_{i+1})-g(t_i) \right ]</math>

取自''X''上的拓扑。强约束变化假设保证了收敛。

若在''X''的拓扑中，极限

:<math>\lim_{T\to\infty} \int_0^T e^{-st}dg(t)</math>

存在，则极限值就是''g''的拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换。

==相关变换==
拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换与很多[[积分变换]]密切相关，如[[傅里叶变换]]和[[拉普拉斯变换]]。特别注意：

* 若''g''可导，则''g''的拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换就是''g'''的拉普拉斯变换<math display="block">\{\mathcal{L}^*g\}(s) = \{\mathcal{L}g'\}(s),</math>
* 可用以下方法得到''g''的'''傅立叶–斯蒂尔切斯变换'''（根据上面的注释，还可得到''g'''的傅立叶变换）<math display="block">\{\mathcal{F}^*g\}(s) = \{\mathcal{L}^*g\}(is), \qquad s \in \R.</math>
<!--
Something does need to be done about the mish-mash of transform articles. Some attempts have been made, but often these are from an applied perspective, e.g. [[Frequency transform]]. Perhaps an article on [[Integral transform]]s needs to be constructed to unify much of this? -->

==概率分布==
若''X''是连续[[随机变量]]，[[累积分布函数]]为''F''(''t'')，则''X''[[矩 (数学)|矩]]的可用下式来计算<ref>{{Cite book | last1 = Harchol-Balter | first1 = M.|author1-link=Mor Harchol-Balter | chapter = Transform Analysis | doi = 10.1017/CBO9781139226424.032 | title = Performance Modeling and Design of Computer Systems | pages = 433–449 | year = 2012 | isbn = 9781139226424 }}</ref>

:<math>\operatorname{E}[X^n] = (-1)^n \left.\frac{d^n \{\mathcal{L}^*F\}(s)}{ds^n} \right|_{s=0}.</math>

===指数分布===
对于比例参数为''λ''的指数分布随机变量''Y''，LST为

:<math>\widetilde Y(s) = \{\mathcal{L}^*F_Y\}(s) = \int_0^\infty e^{-st} \lambda e^{-\lambda t} dt = \frac{\lambda}{\lambda+s}</math>

由此可算出前三阶矩分别为1/''λ''、2/''λ''<sup>2</sup>、6/''λ''<sup>3</sup>。

===爱尔朗分布===
对于符合[[爱尔朗分布]]（即n个指数分布之和）的''Z''，可以利用独立随机变量之和的[[概率分布]]等于概率分布的卷积这一事实。因此，若
:<math>Z = Y_1 + \cdots + Y_n</math>

其中''Y<sub>i</sub>''互相独立，则
:<math>\widetilde Z(s) = \widetilde Y_1(s) \cdots \widetilde Y_n(s)</math>
因此若''Z''服从爱尔朗分布，
:<math>\widetilde Z(s) = \left( \frac{\lambda}{\lambda+s} \right)^n.</math>

===均匀分布===
对于在(''a'',''b'')上服从[[均匀分布]]的''U''，变换为

:<math>\widetilde U(s) = \int_a^b e^{-st} \frac{1}{b-a} dt = \frac{e^{-sa}-e^{-sb}}{s(b-a)}.</math>

==参考文献==
{{Reflist}}
*{{citation|last=Apostol|first=T.M.|year=1957|title=Mathematical Analysis|publisher=Addison-Wesley|publication-place=Reading, MA|edition=1st}}; 2nd ed (1974) {{ISBN|0-201-00288-4}}.
*{{citation|last=Apostol|first=T.M.|year=1997|title=Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|publication-place=New York|isbn=0-387-97127-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/modularfunctions0000apos}}.
*{{citation|last1=Grimmett|first1=G.R.|last2=Stirzaker|first2=D.R.|year=2001|title=Probability and Random Processes|edition=3rd|publisher=Oxford University Press|publication-place=Oxford|isbn=0-19-857222-0}}.
*{{citation|last1=Hille|first1=Einar|author-link1=Einar Hille | last2=Phillips | first2=Ralph S. | author-link2=Ralph Phillips (mathematician) | title= Functional analysis and semi-groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | mr=0423094 | year=1974}}.
*{{springer|first=N.S.|last=Zhavrid|title=Laplace transform|id=l/l057540}}.

{{DEFAULTSORT:Laplace-Stieltjes Transform}}
[[Category:积分变换]]