查看“︁拉普拉斯-德拉姆算子”︁的源代码

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{{See|微分几何中的拉普拉斯算子#霍奇拉普拉斯算子}}
{{See|拉普拉斯－贝尔特拉米算子#拉普拉斯－德拉姆算子}}
我们可以在[[微分流形]]的[[外代数]]上定义一个拉普拉斯[[微分算子]]。在黎曼流形上它是一个[[椭圆型算子]]，而在[[洛伦兹流形]]上是[[双曲型算子|双曲型]]的。拉普拉斯–德拉姆算子（{{lang|en|Laplace-de Rham operator}}）定义为

:<math>\Delta= \mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d} = (\mathrm{d}+\delta)^2,\;</math>

这里 d 是[[外导数]]而 δ 是[[余微分]]。当作用在数量函数上，余微分可以定义为 δ = −<math>*</math>d<math>*</math>，这里 <math>*</math> 是[[霍奇星算子]]；更一般地，余微分可能包含与所作用的 ''k''-形式的阶数有关的一个符号。

可以证明拉普拉斯–德拉姆算子作用在数量函数 ''f'' 上时与前面的拉普拉斯–贝尔特拉米算子定义相同；细节参见[[拉普拉斯–贝尔特拉米算子/证明|证明]]。注意拉普拉斯–德拉姆算子事实上是负拉普拉斯–贝尔特拉米算子；这个符号来自定义余微分的习惯。不幸的是，两者都用 Δ 表示，经常成为混乱之源。

== 性质 ==
给定数量函数 ''f'' 与 ''h''，以及一个实数 ''a''，拉普拉斯–德拉姆算子有如下性质：
# <math>\Delta(af + h) = a\,\Delta f + \Delta h\!</math>
# <math>\Delta(fh) = f \,\Delta h + 2 (\partial_i f) (\partial^i h) + h\, \Delta f</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<font size="smaller" align="right">[[拉普拉斯–贝尔特拉米算子/证明|（证明）]]</font>
[[Category:微分算子]]
[[Category:微分几何]]
[[Category:黎曼几何]]

[[en:Laplace-de Rham operator]]
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