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{{NoteTA
|G1=Math
|G2=IT
}}

在[[数学]]中，[[函数]]<math>F(s)</math>的'''拉普拉斯逆变换'''是一个分段[[连续函数|连续]]的[[实数|实]]函数<math>f(t)</math>，满足如下性质：

: <math>\mathcal{L}\{f\}(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s),</math>

其中，<math>\mathcal{L}</math>表示[[拉普拉斯变换]]。

可以证明：如果函数<math>F(s)</math>具有拉普拉斯逆变换<math>f(t)</math>，则<math>f(t)</math>唯一（考虑在[[勒贝格测度]]为零的点集上彼此不同的函数）。这个定理由马提亚·莱奇于1903年首先证明，因而称之为莱奇定理。<ref>{{Cite book|doi=10.1007/978-0-387-68855-8_2|title=Numerical Methods for Laplace Transform Inversion|volume=5|pages=23–44|series=Numerical Methods and Algorithms|year=2007|last=Cohen|first=A. M.|isbn=978-0-387-28261-9}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Lerch |first=M. |author-link=Mathias Lerch |year=1903 |title=Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel |journal=Acta Mathematica |volume=27 |page=339–351 |doi=10.1007/BF02421315 |doi-access=free}}</ref>

因其具有的许多性质，正反[[拉普拉斯变换]]在[[线性动态系统]]的分析中颇有可为。

== 梅林反演公式 ==
[[拉普拉斯变换|拉普拉斯逆变换]]的积分形式，称为梅林反演公式（{{lang-en|Mellin's inverse formula}}）、布罗米奇积分或[[约瑟夫·傅里叶|傅里叶]]-[[亚尔马·梅林|梅林]]积分，由[[曲线积分|线积分]]定义：

: <math>f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\}(t) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}e^{st}F(s)\,ds</math>

积分路径是[[复平面]]中的垂线<math>Re(s) = \gamma</math>，其中<math>\gamma</math>大于<math>F(s)</math>所有[[奇点 (数学)|奇点]]的实部，且<math>F(s)</math>在积分路径上有界（例如积分路径位于<math>F(s)</math>[[收敛半径|收敛域]]内）。当所有奇点位于左半平面内，或<math>F(s)</math>是[[整函数]]时，可以将<math>\gamma</math>置零，此时上述积分退化为傅立叶逆变换。

在实践中，复积分的计算可以通过[[留数定理|柯西留数定理]]完成。

== 珀斯特反演公式 ==
[[拉普拉斯变换|拉普拉斯逆变换]]的微分形式，称为珀斯特反演公式（{{lang-en|Post's inversion formula}}），以数学家[[埃米尔·珀斯特]] (Emil Post)命名， <ref name="Post1930">{{Cite journal |last=Post |first=Emil L. |year=1930 |title=Generalized differentiation |journal=Transactions of the American Mathematical Society |volume=32 |issue=4 |page=723–781 |doi=10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X |issn=0002-9947 |doi-access=free}}</ref>是一个看似简便但并不常用的拉普拉斯逆变换计算公式。

公式表述如下：设<math>f(t)</math>为区间[0, +∞) 的指数阶函数，存在实数''b'' ，使<math>f(t)</math>满足：

: <math>\sup_{t>0} \frac{f(t)}{e^{bt}} < \infty</math>

则对于任意<math>s > b</math>，<math>f(t)</math>的拉普拉斯变换均存在且对于''s''无限可微。设<math>F(s)</math>是<math>f(t)</math>的拉普拉斯变换，则<math>f(t)</math>可由下式定义：

: <math>f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F\}(t)
 = \lim_{k \to \infty} \frac{(-1)^k}{k!} \left( \frac{k}{t} \right) ^{k+1} F^{(k)} \left( \frac{k}{t} \right)</math>

其中<math>t > 0</math>，<math>F^{(x )}</math>是<math>F</math>对<math>s</math>的''k''阶导数。

分析公式可以看出，该方法需要计算函数<math>F(s)</math>的任意高阶导数，这在大多数应用场景下并不现实。

随着个人计算机的出现，该公式主要用于处理拉普拉斯逆变换的近似或[[渐近分析]]，及通过格伦瓦尔德-莱特尼科夫（Grünwald-Letnikov）微积分计算导数。

随着计算科学的进步，珀斯特反演公式引起了人们兴趣，由于其不需要<math>F(s)</math>的具体极点坐标，通过数次逆[[梅林变换]]，可能实现对[[黎曼猜想]]的[[渐近分析]]。

== 软件工具 ==

* [http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/InverseLaplaceTransform.html InverseLaplaceTransform] {{Wayback|url=http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/InverseLaplaceTransform.html |date=20140320053844 }}：在[[Wolfram Mathematica|Mathematica]]中求拉普拉斯逆变换的解析解
* [http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/5026/ 使用 Mathematica 中的复数域对拉普拉斯变换进行多精度数值反演] {{Wayback|url=http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/5026/ |date=20231110072505 }}<ref>{{Cite journal |last=Abate |first=J. |last2=Valkó |first2=P. P. |year=2004 |title=Multi-precision Laplace transform inversion |journal=International Journal for Numerical Methods in Engineering |volume=60 |issue=5 |page=979 |bibcode=2004IJNME..60..979A |doi=10.1002/nme.995 |s2cid=119889438}}</ref>
* [http://www.mathworks.co.uk/help/symbolic/ilaplace.html ilaplace] {{Wayback|url=http://www.mathworks.co.uk/help/symbolic/ilaplace.html |date=20140903152047 }}：在[[MATLAB]]中求拉普拉斯逆变换的解析解
* [http://www.mathworks.co.uk/matlabcentral/fileexchange/32824-numerical-inversion-of-laplace-transforms-in-matlab Matlab 中拉普拉斯变换的数值反演]
* Matlab中[https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/71511-a-cme-based-numerical-inverse-laplace-transformation-method 基于集中矩阵指数函数的拉普拉斯变换数值反演] {{Wayback|url=https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/71511-a-cme-based-numerical-inverse-laplace-transformation-method |date=20231110162158 }}

== 相关条目 ==

* [[傅里叶变换]]
* [[泊松求和公式]]

== 参考链接 ==
{{Reflist}}

== 相关书目 ==

* {{Citation|last=Davies|first=B. J.|title=Integral transforms and their applications|publisher=[[Springer-Verlag]]|place=Berlin, New York|edition=3rd|isbn=978-0-387-95314-4|year=2002}}
* {{Citation|last=Manzhirov|first=A. V.|last2=Polyanin|first2=Andrei D.|title=Handbook of integral equations|publisher=[[CRC Press]]|place=London|isbn=978-0-8493-2876-3|year=1998}}
* {{Citation | last1=Boas | first1=Mary | year=1983 | title=Mathematical Methods in the physical sciences | publisher=[[John Wiley & Sons]] | isbn=0-471-04409-1 | page=[https://archive.org/details/mathematicalmeth00boas/page/662 662] | url-access=registration | url=https://archive.org/details/mathematicalmeth00boas/page/662 }} (p.&nbsp;662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform)
* {{Citation|last=Widder|first=D. V.|title=The Laplace Transform|publisher=[[Princeton University Press]]|year=1946}}
* [http://www.rose-hulman.edu/~bryan/invlap.pdf Elementary inversion of the Laplace transform] {{Wayback|url=http://www.rose-hulman.edu/~bryan/invlap.pdf |date=20231110072505 }}. Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006.

== 外部链接 ==

* EqWorld 的[http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm 积分变换表] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm |date=20070630081426 }}

{{PlanetMath attribution|title=Mellin's inverse formula}}

{{DSP}}
[[Category:积分变换]]
[[Category:复分析]]
[[Category:變換]]