查看“︁拉普拉斯方程”︁的源代码

{{微積分學}}
[[File:Pierre-Simon Laplace.jpg|200px|thumb|皮埃尔-西蒙·拉普拉斯]]
'''拉普拉斯方程'''，又名'''调和方程'''、'''位势方程'''，是一种[[偏微分方程]]。因为由法国数学家[[皮埃尔-西蒙·拉普拉斯]]首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是[[电磁学]]、[[天文学]]、[[熱力學]]和[[流体力学]]等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以[[位勢論|势函数]]的形式描写[[电場]]、[[引力場]]和[[流速|流场]]等物理对象（一般统称为“[[保守向量场|保守场]]”或“有势场”）的性质。<ref name=Boas>{{cite book | last =Boas | first =Mary | title =Mathematical Methods in the Physical Sciences | publisher =Wiley | edition =3rd. | date =2005 | isbn =978-0471198260}}</ref>{{rp|619ff}}

==定義==
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量''x''、''y''、''z''二阶[[可微]]的实函数φ：

使用[[笛卡尔坐标]]，

: <math> \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2 } = 0</math>。

使用[[柱坐标]]，

:<math>\Delta f=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} =0</math>

使用[[球面坐标系|球面坐标]]，

: <math> \Delta f = \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho^2 \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\rho^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} =0</math>。

使用[[曲线坐标系|曲线坐标]]，

: <math> \Delta f =\frac{\partial}{\partial \xi^j}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi^k}g^{ki}\right) + \frac{\partial f}{\partial \xi^j} g^{jm}\Gamma^n_{mn} =0,</math>
或 
: <math> \Delta f = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial \xi^i}\!\left(\sqrt{|g|}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial \xi^j}\right) =0, \qquad (g=\mathrm{det}\{g_{ij}\})</math>。

這組方程又经常写為
: <math>\nabla^2 \varphi = 0 </math>

或者
: <math>\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = 0 </math>；

其中，div表示[[矢量场]]的[[散度]]（结果是一个[[标量场]]），grad表示标量场的[[梯度]]（结果是一个[[矢量场]]）。

這方程又可写為
:<math>\Delta \varphi = 0</math>；

其中，Δ称为[[拉普拉斯算子]]。

拉普拉斯方程的解称为[[调和函数]]。<ref name=Boas/>{{rp|671-672}}
如果等号右边是一个给定的函数''f''(''x'', ''y'', ''z'')，即
: <math>\Delta \varphi = f</math>，

则该方程称为[[泊松方程]]。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的[[椭圆型微分方程]]。偏微分算子<math>\nabla^2</math>或<math>\Delta</math>（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为[[拉普拉斯算子]]。

==边界条件==
[[File:Laplace's equation on an annulus.jpg|thumb|250px|對於二維[[環形]]（內半徑r=2、外半徑R=4），滿足[[狄利克雷边界条件]]（u(r=2)=0、u(R=4)=4sin(5*θ)）的拉普拉斯方程的電腦繪图。]]
拉普拉斯方程的[[狄利克雷问题]]可归结为求解在区域<math>D</math>内定义的函数<math>\varphi</math>，使得<math>\varphi</math>在<math>D</math>的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——[[熱傳導方程式|热传导问题]]作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。<ref name=Jackson1999>{{citation|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>{{rp|37-38}}

拉普拉斯方程的[[诺伊曼边界条件]]不直接给出区域<math>D</math>边界处的温度函数φ本身，而是φ沿<math>D</math>的边界法向的[[导数]]。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。<ref name=Jackson1999/>{{rp|37-38}}

拉普拉斯方程的解称为[[调和函数]]，此函数在方程成立的区域内是[[解析函数|解析的]]。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数的任意[[线性组合]]同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为[[叠加原理]]。可以根据该原理將各種通解線性组合起来，以滿足所有邊界條件。<ref name=Boas/>{{rp|124-130}}

==二维拉普拉斯方程==
两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：
:<math>\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} \equiv \psi_{xx} + \psi_{yy} = 0.</math>

===解析函数===
'''解析函数'''的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若 ''z'' = ''x'' + ''iy''，并且

:<math>f(z) = u(x,y) + iv(x,y)</math>，

那么 ''f''(''z'') 是解析函数的[[充要条件]]是 u(x,y)，v(x,y) 可微，且满足下列[[柯西-黎曼方程]]：<ref name=Boas/>{{rp|671-672}}

:<math>u_x = v_y, \quad v_x = -u_y</math>。

上述方程继续求导就得到

:<math>u_{yy} = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x</math>。

所以 ''u'' 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得 ''v'' 同样满足拉普拉斯方程。

反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）''f''(''z'') 的实部确定的调和函数，若写成下列形式：

:<math>f(z) = \varphi(x,y) + i \psi(x,y)</math>，

则等式

:<math>\psi_x = -\varphi_y, \quad \psi_y = \varphi_x</math>。

成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：

:<math>d \psi = -\varphi_y\, dx + \varphi_x\, dy</math>。

φ 满足拉普拉斯方程意味着 ψ 满足可积条件：

:<math>\psi_{xy} = \psi_{yx}</math>。

所以可以通过一个线积分来定义 ψ。可积条件和[[斯托克斯定理]]的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过[[复变函数]]方法得到了 φ 和 ψ 这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对'''共轭调和函数'''。这种构造解的方法只在局部（复变函数 ''f''(''z'')） 的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有 ''f''(''z'') 的[[奇点 (几何)|奇点]]。譬如，在[[极坐标]]平面 (''r'',''θ'') 上定义函数

:<math>\varphi = \log r</math>，

那么相应的解析函数为

:<math>f(z) = \log z = \log r + i\theta</math>。

在这里需要注意的是，极角 ''θ'' 仅在不包含原点的区域内才是单值的。

拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成[[幂级数]]形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与[[波动方程]]的解形成鲜明对照，后者包含''任意''函数，其中一些的可微分阶数是很小的。

幂级数和[[傅里叶级数]]之间存在着密切的关系。如果我们将函数 ''f'' 在复平面上以原点为中心，''R'' 为半径的圆域内展开成幂级数，即

:<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n</math>，

将每一项系数适当地分离出实部和虚部

:<math>c_n = a_n + i b_n</math>。

那么

:<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n r^n \cos n \theta - b_n r^n \sin n \theta\right] + i \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n r^n \sin n\theta + b_n r^n \cos n \theta\right]</math>，

这便是 ''f'' 的傅里叶级数。这些三角函数自身也可以用[[倍角公式]]展开。

===流體動力學===

设 <math>u</math>、<math>v</math> 分别为满足[[定常流动|定常]]、[[不可压缩流|不可压缩]]和[[无旋场|无旋]]条件的流体速度场的 <math>x</math> 和 <math>y</math> 方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：<ref>{{cite book | last =Batchelor | first =George | title =An Introduction to Fluid Dynamics  | year =1999 | url =https://archive.org/details/introductiontofl0000batc | publisher =Cambridge University Press  | isbn =978-0521663960}}</ref>{{rp|99-101}}
:<math>u_x + v_y=0</math>，

无旋条件为：

:<math>v_x - u_y =0</math>。

若定义一个标量函数 <math>\psi</math>，使其微分满足：

:<math>d \psi = -v\, dx + u\, dy</math>，

那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数 <math>\psi</math> 称为[[流函数]]，因为它在同一条[[流线]]上各点的值是相同的。<math>\psi</math> 的一阶偏导为：

:<math>\psi_x = -v, \quad \psi_y=u</math>，

无旋条件即令 <math>\psi</math> 满足拉普拉斯方程。<math>\psi</math> 的共轭调和函数 <math>\varphi</math> 称为[[速度势]]。柯西-黎曼方程要求
:<math>\varphi_x=u, \quad \varphi_y=v</math>。

所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。

===靜電學===

根据[[麦克斯韦方程组]]，二维空间中不随时间变化的电场 (''u'',''v'') 满足：<ref name=Griffiths1998>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|isbn=0-13-805326-X}}</ref>{{rp|83}}
:<math>\nabla \times (u,v) = v_x -u_y =0</math>，

和
:<math>\nabla \cdot (u,v) = \rho</math>，

其中 ρ 为[[电荷密度]]。第一个麦克斯韦方程便是下列微分式的可积条件：

:<math>d \varphi = -u\, dx -v\, dy</math>，

所以可以构造电势函数 φ 使其满足

:<math>\varphi_x = -u, \quad \varphi_y = -v</math>。

第二个麦克斯韦方程即：

:<math>\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = -\rho</math>，

这是一个[[泊松方程]]，当空间不包含自由电荷时，方程等号右边变为0，方程变为拉普拉斯方程。

==三维拉普拉斯方程==

===基本解===

拉普拉斯方程的基本解满足

:<math> \nabla \cdot \nabla u = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = -\delta(x-x',y-y',z-z')</math>，

其中的三维[[狄拉克δ函数|δ函数]]代表位于<math> (x',\, y', \, z')</math>的一个点源。

由基本解的定义，若对''u''作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么

:<math> \iiint_V \nabla \cdot \nabla u dV =-1</math>。

由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离''r''相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为''a''的球形域作为积分域，那么根据[[高斯散度定理]]<ref name=Boas/>{{rp|318-322}}

:<math> -1= \iiint_V \nabla \cdot \nabla u \, dV = \iint_S u_r dS = 4\pi a^2 u_r(a)</math>。

求得在以点源为中心，半径为''r''的球面上有
:<math>  u_r(r) = -\frac{1}{4\pi r^2}</math>，

所以

:<math> u = \frac{1}{4\pi r}</math>。

经过类似的推导同样可求得二维形式的解

:<math> u = \frac{-\ln r}{2\pi}</math>。

===格林函数===

[[格林函数]]是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域''V''的边界''S''上还满足一定的边界条件的基本解。譬如，<math> G(x,y,z;x',y',z')\,</math>可以满足

:<math> \nabla \cdot \nabla G = -\delta(x-x',y-y',z-z') \quad \hbox{in} \quad V</math>，

:<math> G = 0 \quad \hbox{if} \quad (x,y,z) \quad \hbox{on} \quad S</math>。

现设''u''为在''V''内满足泊松方程的任意解：

:<math> \nabla \cdot \nabla u = -f</math>，

且''u''在边界''S''上取值为''g''，那么我们可以应用[[格林定理]]（是高斯散度定理的一个推论），得到<ref name=Boas/>{{rp|652-659}}
:<math> \iiint_V \left[ G \, \nabla \cdot \nabla u - u \, \nabla \cdot \nabla G \right]\, dV = \iiint_V \nabla \cdot \left[ G \nabla u - u \nabla G \right]\, dV = \iint_S \left[ G u_n -u G_n \right] \, dS</math>。

''u<sub>n</sub>''和''G<sub>n</sub>''分别代表两个函数在边界''S''上的-{法向}-导数。考虑到''u''和''G''满足的条件，可将這滿足狄利克雷边界条件的公式化简为
:<math> u(x',y',z') =  \iiint_V G f \, dV - \iint_S G_n g \, dS</math>。

所以格林函数描述了量''f''和''g''对<math> (x',y',z')</math>点函数值的影响。

===圓球殼案例===
格林函数在半径为''a''的球面内的点上得值可以通过[[镜像法]]求得：距球心ρ的源点''P''的通过球面的“反射镜像”''P' ''距球心
:<math> \rho' = \frac{a^2}{\rho}</math>。

需要注意的是，如果''P''在球内，那么''P'''将在球外。于是可得格林函数为

:<math>G= \frac{1}{4 \pi R} - \frac{a}{4 \pi \rho R'}</math>；

其中，''R''表示距源点''P''的距离，''R' ''表示距镜像点''P' ''的距离。从格林函数上面的表示式可以推出'''泊松积分公式'''。设ρ、θ和φ为源点''P''的三个[[球坐标]]分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（''z''轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为：<ref name=Jackson1999/>{{rp|64-65}}
:<math> u(P) = \frac{1}{4\pi} a^3\left( 1 - \frac{\rho^2}{a^2} \right) \iint \frac{g(\theta',\varphi') \sin \theta' \, d\theta' \, d\varphi'}{(a^2 + \rho^2 - 2 a \rho \cos \Theta)^{3/2} }</math>；

其中，<math> \cos \Theta = \cos \theta \cos \theta' + \sin\theta \sin\theta'\cos(\theta -\theta')</math>。

这个公式的一个显见的结论是：若''u''是调和函数，那么''u''在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。

==参见==
* [[球面调和函数]]
* [[势流理论]]
* [[電势]]
==参考文献==
{{reflist}}
* 严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，ISBN 978-7-312-00799-6/O•177
* L.C. Evans, ''Partial Differential Equations'', American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 978-0-8218-0772-9
* I. G. Petrovsky, ''Partial Differential Equations'', W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 978-1-58488-299-2
*A. Sommerfeld, ''Partial Differential Equations in Physics'', Academic Press, New York, 1949.
* Pijush K.Kundu, Fluid Mechanics, Academic Press, 2002.

==外部链接==
{{refbegin}}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde301.pdf 拉普拉斯方程（特解和边值问题）] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde301.pdf |date=20050825143955 }}在EqWorld网站上的介绍（专门介绍数学方程的网站，英文）。
* [https://web.archive.org/web/20170703044238/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/PDE:Laplaces_Equation 初始值问题举例]exampleproblems.com网站上使用拉普拉斯方程解题的例子（英文）。

{{refend}}
[[Category:皮埃尔-西蒙·拉普拉斯]]
[[Category:偏微分方程]]
[[Category:橢圓型偏微分方程]]
[[Category:调和函数]]