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在[[数学]]中，'''拉普拉斯展开'''（{{lang-en|Laplace expansion}}，或称'''拉普拉斯公式'''）是一个关于[[行列式]]的展开式。将一个<math>n\times n</math>[[矩阵]]<math>B</math>的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵<math>B</math>的某一行（或某一列）的<math>n</math>个元素的<math>(n-1)\times (n-1)</math>[[子式和余子式|余子式]]的[[和]]。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式'''按某一行'''（或'''按某一列'''）'''的展开'''。由于矩阵<math>B</math>有<math>n</math>行<math>n</math>列，它的拉普拉斯展开一共有<math>2n</math>种。拉普拉斯展开的推广称为'''拉普拉斯定理'''，是将一行的元素推广为关于<math>k</math>行的一切[[子式]]。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是<math>B</math>的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵<math>B</math>之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。

==公式==
设'''B''' = (''b''<sub>''ij''</sub>)是一个''n'' × ''n''矩阵。'''B'''关于第''i''行第''j''列的[[余子式]]'''M'''<sub>''ij''</sub>是指'''B'''中去掉第''i''行第''j''列后得到的''n''−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为'''B'''的（''i''，''j''）[[余子式]]。'''B'''的（''i''，''j''）'''代数余子式'''：'''C'''<sub>''ij''</sub>是指'''B'''的（''i''，''j''）余子式'''M'''<sub>''ij''</sub>与(−1)<sup>''i'' + ''j''</sup>的乘积：'''C'''<sub>''ij''</sub> = (−1)<sup>''i'' + ''j''</sup> ''M''<sub>''ij''</sub>

拉普拉斯展开最初由[[范德蒙德]]给出，为如下公式：对于任意''i'',''j'' ∈ {1, 2, ...,''n''}：
:<math>\begin{align}|B| & {} = b_{i1} C_{i1} + b_{i2} C_{i2} + \cdots + b_{in} C_{in} \\ & {} = b_{1j} C_{1j} + b_{2j} C_{2j} + \cdots + b_{nj} C_{nj} \end{align}</math>

==例子==
考虑以下的矩阵：
:<math> B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}</math>。
这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：
:<math> |B| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} </math>
:::<math> {} = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = 0</math>。
也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：
:<math> |B| = -2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} - 8 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} </math>
:::<math> {} = -2 \cdot (-6) + 5 \cdot (-12) - 8 \cdot (-6) = 0</math>。
很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是[[可逆矩阵|奇异]]的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。

==证明==
设<math>B</math>是一个<math>n\times n</math> 的矩阵，<math> i, j \in \{1, 2, ..., n\}</math>。为了明确起见，将<math>M_{ij}</math>的系数记为<math>(a_{st})</math>，其中<math>1 \leq s,t\leq n - 1</math>.

考虑'''<math>B</math>'''的行列式''<math>|B|</math>''中的每个含有<math>b_{ij}</math>的项，它的形式为： 

: <math>\sgn \tau\,b_{1,\tau(1)} \cdots b_{i,j} \cdots b_{n,\tau(n)}
 = \sgn \tau\,b_{ij} a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n-1,\sigma(n-1)}</math>

其中的[[奇置换和偶置换|置换]]<math>\tau \in S_n</math>使得<math>\tau(i) = j</math>，而<math>\sigma \in S_{n-1}</math>是唯一的将除了<math>i</math>以外的其他元素都映射到与<math>\tau</math>相同的像上去的置换。显然，每个<math>\tau</math>都对应着唯一的<math>\sigma</math>，每一个<math>\sigma</math>也对应着唯一的<math>\tau</math>。因此我们创建了''S''<sub>''n'' − 1</sub>与{τ ∈ ''S''<sub>''n''</sub> : τ(''i'') = ''j''}之间的一个[[双射]]。置换τ可以经过如下方式从σ得到：

定义σ' ∈ ''S''<sub>n</sub>使得对于1 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1，σ'(''k'') = σ(''k'')并且σ'(''n'') = ''n''，于是sgn σ' = sgn σ。然后

: <math>\tau\,= (n,n-1,\ldots,i)\,\sigma'\,(j,j+1,\ldots,n)</math>。

由于两个[[轮换]]分别可以被写成''n'' − ''i''和''n'' − ''j''个[[对换]]，因此

: <math>\sgn\tau\,= (-1)^{2n-(i+j)} \sgn\sigma'\,= (-1)^{i+j} \sgn\sigma</math>。

因此映射σ ↔ τ是双射。由此，
:{|
|-
|<math>\sum_{\tau \in S_n:\tau(i)=j}</math>
|<math>\sgn \tau\,b_{1,\tau(1)} \cdots b_{n,\tau(n)}</math>
|-
|
|<math>= \sum_{\sigma \in S_{n-1}} (-1)^{i+j}\sgn\sigma\, b_{ij}
a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n-1,\sigma(n-1)}</math>
|-
|
|<math>=\ b_{ij} (-1)^{i+j} |M_{ij}|,</math>
|}
从而拉普拉斯展开成立。

==拉普拉斯定理==
拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在[[子式和余子式]]的基础上，说明了如果将'''B'''关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是'''B'''的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。

==参考来源==
*[http://210.40.216.235/jpkc/hb/jiaoxuejiaoan/jxja/dierzhang/%C2%A72.8%20%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF_Laplace_%E5%AE%9A%E7%90%86.%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E7%9A%84%E4%B9%98%E6%B3%95%E8%A7%84%E5%88%99.pdf 拉普拉斯定理]{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
*[http://jpkc.zhbit.com/shuxue/sourse/xgzy/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2/new/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%8F%91%E5%B1%95%E5%8F%B2.pdf 线性代数发展史]{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
*[http://58.59.176.43/gxnujpkc/gddsyjxjh/UpLoadFiles/jiaoxueziyuan/jiao_an/chap02/2%5B1%5D.4%E8%8A%82.pdf 行列式的展开定理]{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
*戴立辉，线性代数，同济大学出版社，2007.


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[[de:Determinante#Laplacescher Entwicklungssatz]]