查看“︁拉普拉斯分布”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
|1=zh-hans:皮埃尔;zh-hk:皮耶爾;zh-tw:皮耶;
|2=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數
|3=zh-cn:尺度参数;zh-tw:比例母數;zh-hant:尺度參數
}}
{{Infobox 機率分佈 |
  name       =拉普拉斯分布|
  type       =密度|
  pdf_image  =[[File:Laplace distribution pdf.png|325px|拉普拉斯分布概率密度图]]|
  cdf_image  =[[File:Laplace distribution cdf.png|325px|拉普拉斯分布累积概率密度图]]|
  parameters =<math>\mu\,</math> [[位置参数]]（[[实数]]）<br /><math>b > 0\,</math> [[尺度参数]]（实数）|
  support    =<math>x \in (-\infty; +\infty)\,</math>|
  pdf        =<math>\frac{1}{2\,b} \exp \left(-\frac{|x-\mu|}b \right) \,</math>|
  cdf        =''参见正文部分''|
  mean       =<math>\mu\,</math>|
  median     =<math>\mu\,</math>|
  mode       =<math>\mu\,</math>|
  variance   =<math>2\,b^2</math>|
  skewness   =<math>0\,</math>|
  kurtosis   =<math>3\,</math>|
  entropy    =<math>1 + \ln(2\,b)</math>|
  mgf        =<math>\frac{\exp(\mu\,t)}{1-b^2\,t^2}\,\!</math> for <math>|t|<1/b\,</math>|
  char       =<math>\frac{\exp(\mu\,i\,t)}{1+b^2\,t^2}\,\!</math>|
}}
在[[概率论]]与[[统计学]]中，'''拉普拉斯分布''' (Laplace distribution) 是以[[皮埃尔-西蒙·拉普拉斯]]的名字命名的一种连续[[概率分布]]。由于它可看作两平移[[指数分布]]背靠背拼接在一起，因此又稱'''双指数分布''' (Double exponential distribution)。两个[[独立同分布|相互独立同概率分布]]指数[[随机变量]]之间的差别是按照指数分布的随机时间[[布朗运动]]，所以它遵循拉普拉斯分布。

==概率分布、概率密度以及分位数函数==

如果随机变量的[[概率密度函数]]分布为

:<math>f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{b} \right) \,\!</math>
::<math>    = \frac{1}{2b}
    \left\{\begin{matrix}
      \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{if }x < \mu
      \\[8pt]
      \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{if }x \geq \mu
    \end{matrix}\right.
  </math>

那么它就是拉普拉斯分布。其中，''&mu;'' 是[[位置参数]]，''b'' &gt; 0 是[[尺度参数]]。如果 ''&mu;'' = 0，b=1, 那么，正半部分恰好是1/2倍 ''&lambda;'' = 1的指数分布。

拉普拉斯分布的概率密度函数让我们联想到[[正态分布]]，但是，'''正态分布'''是用相对于 ''&mu;'' '''[[平均值]]的差的平方'''来表示，而'''拉普拉斯概率密度'''用相对于'''平均值的差的[[绝对值]]'''来表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比正态分布更加平坦。

根据[[绝对值]]函数，如果将一个拉普拉斯分布分成两个对称的情形，那么很容易对拉普拉斯分布进行[[积分]]。它的[[累积分布函数]]为：
{|-
 |<math>F(x)\,</math>
 |<math>= \int_{-\infty}^x \!\!f(u)\,\mathrm{d}u</math>
 |-
 |
 |<math>
   = \left\{\begin{matrix}
             &\frac12 \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{if }x < \mu
             \\[8pt]
             1-\!\!\!\!&\frac12 \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{if }x \geq \mu
            \end{matrix}\right.
  </math>
 |-
 |
 |<math>=0.5\,[1 + \sgn(x-\mu)\,(1-\exp(-|x-\mu|/b))]</math>
 |}
逆累积分布函数为

:<math>F^{-1}(p) = \mu - b\,\sgn(p-0.5)\,\ln(1 - 2|p-0.5|)</math>

==生成拉普拉斯变量==

已知区间 <nowiki>(-1/2,&nbsp;1/2]</nowiki> 中[[连续型均匀分布|均匀分布]]上的随机变量 ''U''，随机变量
:<math>X=\mu - b\,\sgn(U)\,\ln(1 - 2|U|)</math>

为参数 &mu; 与 ''b'' 的拉普拉斯分布。根据上面的逆累计分布函数可以得到这样的结果。

当两个[[相互独立同分布随机变量|相互独立同分布]]指数(1/''b'')变化的时候也可以得到 Laplace(0, ''b'') 变量。同样，当两个[[相互独立同分布随机变量|相互独立同分布]]一致变量的比值变化的时候也可以得到 Laplace(0, 1) 变量。

==相关分布==
* 如果 <math>Y = |X-\mu|</math> 并且 <math>X \sim \mathrm{Laplace}</math>，则 <math>Y \sim \mathrm{Exponential}</math> 是[[指数分布]]。
* 如果 <math>Y = X_1 - X_2</math> 与 <math>X_1,\, X_2 \sim \mathrm{Exponential}</math>，则 <math>Y \sim \mathrm{Laplace}</math>。

== 统计推断 ==

=== 参数估计 ===
给定N个独立同分布的样本<math>x_1,x_2,...,x_N</math>，<math>\mu</math>的极大似然估计<math>\hat{\mu}</math>为样本的中位数，<math>b</math>的极大似然估计<math>\hat{b}</math>为样本与样本中位数<math>\hat{\mu}</math>的平均绝对偏差，即

<math>\hat{b}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left\vert x_i-\hat{\mu} \right\vert</math>

（揭示了拉普拉斯分布和最小绝对偏差（LAD）之间的联系）。

在回归分析中，如果误差具有拉普拉斯分布，则最小绝对偏差估计（LADE）将作为最大似然估计（MLE）出现。{{概率分布类型列表|拉普拉斯分布}}
[[Category:皮埃尔-西蒙·拉普拉斯]]
[[Category:连续分布]]