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在[[数学]]分支[[范畴论]]中，'''拉回'''（也称为'''纤维积'''或'''笛卡尔方块'''）是由具有公共[[上域]]的两个[[态射]]''f'' : ''X'' → ''Z''与''g'' : ''Y'' → ''Z''组成的[[图表 (范畴论)|图表]]的[[极限 (范畴论)|极限]]。拉回经常写作

:<math> P = X \times_Z Y.\, </math>

== 泛性质 ==
明确地说，态射''f''和''g''的拉回由一个[[对象 (范畴论)|对象]]''P''和两个态射
''p''<sub>1</sub> : ''P'' → ''X''与''p''<sub>2</sub> : ''P'' → ''Y''组成，使得图表

<div style="text-align: center;">[[File:CategoricalPullback-03.png]]</div>

[[交换图表|交换]]。并且拉回(''P'', ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>)对这个图表必须是[[泛性质|通用的]]。这便是说，任何其它这样的三元组(''Q'', ''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>)一定存在惟一的''u'' : ''Q'' → ''P''使得图表

<div style="text-align: center;">[[File:CategoricalPullback-02.png]]</div>

交换。和所有泛构造一样，拉回如果存在必然在[[同构]]的意义下是惟一的。

==弱拉回 ==

一个[[span (范畴论)|cospan]] ''X'' → ''Z'' ← ''Y''的'''弱拉回'''是在cospan上面的[[锥 (范畴论)|锥]]只须满足[[弱泛性质]]，这就是说中间映射''u'' : ''Q'' → ''P''不必是惟一的。

== 例子 ==
在[[集合范畴]]中，''f''与''g''的拉回是集合

: <math>X\times_Z Y = \{(x, y) \in X \times Y| f(x) = g(y)\},\,</math>

以及[[投影映射]]的限制<math>\pi_1</math>与<math>\pi_2</math>映到''X''×<sub>''Z''</sub> ''Y''。

*这个例子启发另一种方式考虑拉回：作为态射''f'' <small>o</small> ''p''<sub>1</sub>, ''g'' <small>o</small> ''p''<sub>2</sub> : ''X''×''Y'' →  ''Z''的[[等化子]]，这里''X''×''Y''是''X''和''Y''的[[积 (范畴论)|二元积]]
而''p''<sub>1</sub>与''p''<sub>2</sub>是自然投影。这说明拉回在任何具有二元积和等化子的范畴中存在。事实上，由[[极限存在定理]]，在具有有终对象、二元积和等化子的范畴中所有有限极限存在。

拉回的另一个例子来自[[纤维丛]]理论：给定一个纤维映射&pi; : ''E'' → ''B''以及一个[[连续映射]]''f'' : ''X'' → ''B''，拉回  ''X'' ×<sub>''B''</sub> ''E''是''X''上的纤维丛，称为[[拉回丛]]。伴随的交换图表是纤维丛映射。

在任何具有[[终对象]]''Z''的范畴中，拉回''X'' ×<sub>''Z''</sub> ''Y''恰好是普通积''X''×''Y''。

== 性质 ==
* 如果''X'' ×<sub>''Z''</sub>''Y''存在，那么''Y'' ×<sub>''Z''</sub> ''X''也存在，且存在态射''X'' ×<sub>''Z''</sub> ''Y'' <math> \cong</math>  ''Y'' ×<sub>''Z''</sub>''X''。
* [[单态射]]在拉回下不变：如果箭头''f''单，那么它就是箭头''p''<sub>2</sub>。例如，在集合范畴中，如果''X''是''Z''的子集，那么对任何''g'' : ''Y'' → ''Z''，拉回''X'' ×<sub>''Z''</sub> ''Y''是''X''在''g''下的[[逆像]]。
* [[同构态射]]也不变，因此''X'' ×<sub>''X''</sub> ''Y'' <math>\cong</math> ''Y''对任何映射''Y'' → ''X''成立。

== 又见 ==
* 拉回的[[对偶 (范畴论)|范畴对偶]]称为[[推出 (范畴论)|推出]]。
* 微分几何中的[[拉回 (微分几何)|拉回]]。
* [[关系代数 (数据库)|关系代数]]中的[[关系代数 (数据库)#θ-连接和相等连接|相等连接]]。

== 参考文献 ==
* Adámek, Ji&#345;í, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf ''Abstract and Concrete Categories''] {{Wayback|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |date=20150421081851 }} (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
* Cohn, Paul M.; ''Universal Algebra'' (1981), D.Reidel Publishing, Holland, ISBN 90-277-1213-1 ''(Originally published in 1965, by Harper &amp; Row)''.

== 外部链接 ==

*[https://web.archive.org/web/20080916162345/http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php 有趣的网页]给出了有限集合中拉回的例子，作者为[https://web.archive.org/web/20081223001815/http://www.j-paine.org/ Jocelyn Paine]。

[[Category:范畴中的极限|L]]