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{{dablink|本文考虑微分几何中的拉回操作，特别是光滑流形上[[微分形式]]与[[张量 (内蕴定义)|张量场]]。关于“拉回”在数学中其他含义，参见[[拉回]]。}}

在[[微分几何]]中，'''拉回'''是将一个[[流形]]上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 ''φ'':''M''→ ''N'' 是从光滑流形 ''M'' 到 ''N'' 的[[光滑映射]]；那么伴随有一个从 ''N'' 上 1- 形式（[[余切丛]]的[[截面 (向量丛)|截面]]）到 ''M'' 上 1-形式的[[线性映射]]，这个映射称为由 ''φ'' '''拉回'''，经常记作 ''φ''<sup>*</sup>。更一般地，任何 ''N'' 上[[共变]]张量场——特别是任何微分形式——都可以由 ''φ'' 拉回到 ''M'' 上。

当映射 ''φ'' 是[[微分同胚]]，那么拉回与[[前推 (微分)|前推]]一起，可以将任何 ''N'' 上的张量场变换到 ''M''，或者相反。特别地，如果 ''φ''是 '''R'''<sup>n</sup> 的开集与 '''R'''<sup>n</sup> 之间的微分同胚，视为[[坐标变换]]（也许在流形 ''M'' 上不同的[[流形|坐标卡]]上），那么拉回和前推描述了[[共变]]与[[反变]]张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。

拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的[[拉回|前复合]]。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变[[函子]]。

==光滑函数与光滑映射==

设 φ:''M''→ ''N'' 是光滑流形 ''M'' 与 ''N'' 之间的光滑映射，假设 ''f'':''N''→'''R''' 是 ''N'' 上一个光滑函数。则 ''f'' 通过 φ 的拉回是 ''M'' 上的光滑函数 φ<sup>*</sup>''f''，定义为
(φ<sup>*</sup>''f'')(''x'') = ''f''(φ(''x''))。类似地，如果 ''f'' 是 ''N'' 中[[开集]] ''U'' 上的光滑函数，则相同的公式定义了 ''M'' 中开集  ''φ''<sup>-1</sup>(''U'') 上一个光滑函数。用[[层 (数学)|层]]的语言说，拉回定义了 ''N'' 上[[光滑函数层]]到 φ 的[[直接像层|直接像]]（在 ''M'' 上光滑函数层中）的一个态射。

更一般地，如果 ''f'':''N''→''A'' 是从 ''N'' 到任意其他流形 ''A'' 的光滑映射，则φ<sup>*</sup>''f''(''x'')=''f''(φ(''x'')) 是从 ''M'' 到 ''A'' 的一个光滑映射。

==丛与截面==
如果 ''E'' 是 ''N'' 上一个[[向量丛]]（或任意[[纤维丛]]），''φ'':''M''→''N'' 是光滑映射，那么'''[[拉回丛]]''' ''φ''<sup>*</sup>''E'' 是 ''M'' 上一个向量丛（或更一般地[[纤维丛]]），其 ''M'' 中的点 ''x'' 处的[[向量丛|纤维]]由 (''φ''<sup>*</sup>''E'')<sub>''x''</sub> = ''E''<sub>''φ''(''x'')</sub> 给出。

在此情形，前复合定义了 ''E'' 上截面的一个变换：如果 ''s'' 是 ''N'' 上 ''E'' 的一个[[截面 (纤维丛)|截面]]，那么'''[[拉回丛|拉回截面]]''' <math>\varphi^*s=s\circ\varphi</math> 是 ''M'' 上拉回丛 ''φ''<sup>*</sup>''E''  的一个截面。

== 多重线性形式 ==

设 Φ:''V''→ ''W'' 是向量空间 ''V'' 与 ''W'' 之间的一个[[线性映射]]（即，Φ 是 ''L''(''V'',''W'') 中的元素，也记成 Hom(''V'',''W'')），设

:<math>F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbb{R}</math>

是 ''W'' 上一个[[多重线性形式]]（也称为 (0,''s'') 阶[[张量]]——但不要和[[张量场]]混淆——这里 ''s'' 是乘积中 ''W'' 的因子的个数）。则 ''F'' 由 Φ 的拉回 Φ<sup>*</sup>''F'' 是一个 ''V'' 上的多重线性形式，定义为 ''F'' 与 Φ 的前复合。准确地，给定 ''V'' 中向量 ''v''<sub>1</sub>,''v''<sub>2</sub>,...,''v''<sub>''s''</sub>， Φ<sup>*</sup>''F'' 由公式定义

:<math>(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),</math>

这是 ''V'' 上一个多重线性形式。从而  Φ<sup>*</sup> 是一个从 ''W'' 上的多重线性形式到 ''V'' 上的多重线性形式的（线性）算子。作为一个特例，注意到如果 ''F'' 是 ''W'' 上一个线性形式（或 (0,1) -张量），那么 ''F'' 是 ''W'' 的[[对偶空间]] ''W''<sup>*</sup> 中一个元素，则 Φ<sup>*</sup>''F'' 是 ''V''<sup>*</sup> 中一个元素，所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射，作用的方向与线性映射 Φ 自己的方向相反：

:<math>\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.</math>

从张量的观点来看，自然想把来回这种概念推广到任何阶，即 ''W'' 上取值于 ''r'' 个 ''W'' 的[[张量积]] <math> W\otimes W\otimes\cdots\otimes W</math> 的线性映射。但是，这种张量积不能自然的拉回：不过有从
<math> V\otimes V\otimes\cdots\otimes V</math> 到 <math> W\otimes W\otimes\cdots\otimes W</math> 的前推算子，定义为
:<math>\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).</math>

然而，如果 Φ 可逆，拉回可以用逆函数 Φ<sup>-1</sup> 的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起，得到了对任何 (''r'',''s'') 阶张量一个拉回算子。

==余切向量与 1 形式 ==

设 ''φ'' : ''M'' → ''N'' 是[[光滑流形]]间的[[光滑映射]]。那么 ''φ'' 的[[前推 (微分)|前推]]：''φ''<sub>*</sub> = d''φ'' （或 ''Dφ''），是从 ''M'' 的[[切丛]] ''TM'' 到[[拉回丛]] ''φ''<sup>*</sup>''TN'' 的（在 ''M'' 上）[[向量丛同态]]。从而 ''φ''<sub>*</sub> 的[[对偶空间|转置]]是从 ''φ''<sup>*</sup>''T''<sup>*</sup>''N'' 到 ''M'' 的[[余切丛]] ''T''<sup>*</sup>''M'' 的丛映射。

现在假设 ''α'' 是 ''T''<sup>*</sup>''N'' 的一个[[截面 (纤维丛)|截面]]（''N'' 上一个 [[微分形式|1-形式]]），将 ''α'' 与 ''φ'' 前复合得到 ''φ''<sup>*</sup>''T''<sup>*</sup>''N'' 的一个[[拉回丛|拉回截面]]。将上述（逐点）丛映射应用到截面导致 ''α'' 由 ''φ'' 的'''拉回'''，是 ''M'' 上一个 1-形式，定义为：
:<math> (\varphi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X))</math>
对 ''x'' 属于 ''M''  与 ''X'' 属于 ''T''<sub>''x''</sub>''M''。

==（共变）张量场 ==
对任何自然数 ''s''，上述构造马上可推广到 (0,''s'') 阶[[张量|张量丛]]上。流形 ''N'' 上 (0,''s'') [[张量场]]  是 ''N'' 上张量丛的一个截面，在 ''N'' 中 ''y'' 点的截面是多重线性 ''s''-形式空间
:<math> F\colon T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.</math>
取 Φ 等于从 ''M'' 到 ''N'' 的一个光滑映射的微分（逐点的），多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 ''M'' 上 (0,''s'') 张量场的拉回。更确切地，如果 ''S''  是 ''N'' 上一个 (0,''s'')-张量场，那么 ''S'' 由 ''φ'' 的'''拉回''' 是 ''M'' 上 (0,''s'')-张量场 ''φ''<sup>*</sup>''S''，定义为
:<math> (\varphi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X_1),\ldots \mathrm d\varphi_x(X_s))\ ,</math>
对 ''x'' 属于 ''M'' 与 ''X''<sub>''j''</sub> 属于 ''T''<sub>''x''</sub>''M''。

== 微分形式 ==
共变张量场拉回的一个特别重要的例子是[[微分形式]]的拉回。如果 α 是一个微分 ''k''-形式，即 ''TN''（逐点）反交换 ''k''-形式组成的[[微分形式|外丛]] Λ<sup>''k''</sup>''T''*''N'' 的一个截面，则 α 的拉回是 ''M'' 上一个微分 ''k''-形式，定义与上一节相同：

:<math> (\varphi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X_1),\ldots \mathrm d\varphi_x(X_k))\ ,</math>
对 ''x'' 属于 ''M'' 与 ''X''<sub>''j''</sub> 属于 ''T''<sub>''x''</sub>''M''。

微分形式的拉回有两个性质，使其非常有用。

1. 和[[楔积]]相容：假设同上，对 ''N'' 上的微分形式 α 与 β，
:<math>\varphi^*(\alpha \wedge \beta)=\varphi^*\alpha \wedge \varphi^*\beta\ .</math>
2. 和[[外导数]] d 相容：如果 α 是 ''N'' 上一个微分形式，则
:<math>\varphi^*(\mathrm d\alpha) = \mathrm d(\varphi^*\alpha)\ .</math>

== 由微分同胚拉回 ==
当流形之间的映射 ''φ'' 是[[微分同胚]]，即有一个光滑[[逆函数]]，则在[[向量场]]上也像 1-形式一样定义拉回，从而通过扩张，对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射

:<math>\Phi=\mathrm d\varphi_x\in GL(T_xM,T_{\varphi(x)}N)</math>
可逆，给出
:<math>\Phi^{-1}={\mathrm d\varphi_x}^{-1} \in GL(T_{\varphi(x)}N, T_xM).</math>

一个一般的混合型张量场通过[[张量积]]分解为 ''TN'' 与 ''T<sup>*</sup>N'' 两部分，分别用  Φ 与 Φ<sup>-1</sup> 变换。当 ''M'' = ''N'' 时，则拉回和[[前推 (微分)|前推]]刻画了流形 ''M'' 上张量场的变换性质。用传统术语说，拉回描述了张量[[共变]]指标的变换性质；相对地，[[反变]]指标的变换性质由[[前推 (微分)|前推]]给出。

==由自同构拉回==
上一节的构造有一个代表性特例，若 ''φ'' 是流形 ''M'' 到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 d''φ'' 是 ''GL''(''TM'',''φ''<sup>*</sup>''TM'') 的一个截面。这样便在通过一个[[一般线性群]]  ''GL''(''m'') (''m'' = dim ''M'') 相配于 ''M'' 的标架丛 ''GL''(''M'') 的任何丛的截面上导出了拉回作用。

== 拉回与李导数 ==
{{see|李导数}}
将上述想法应用到由向量场 ''M'' 定义的微分同胚[[单参数群]]，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。

== 联络（共变导数）==
如果 <math>\nabla</math> 是 ''N'' 上向量丛 ''E'' 的[[联络 (向量丛)|联络]]（或[[共变导数]]），''φ'' 是从 ''M'' 到 ''N'' 的光滑映射，那么在 ''M'' 上的向量丛 ''φ''<sup>*</sup>''E'' 上有'''拉回联络''' <math>\varphi^*\nabla</math>，由等式

:<math>(\varphi^*\nabla)_X(\varphi^*s) = \varphi^*(\nabla_{\mathrm d\varphi(X)} s)</math>

惟一确定。

==另见==
* [[前推 (微分)]]
* [[拉回丛]]
* [[拉回 (范畴论)]]

==参考文献==
* Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin  ISBN 3-540-42627-2 ''See sections 1.5 and 1.6''.
* Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X ''See section 1.7 and 2.3''.
* B. A. Dubrovin, et al., ''Modern Geometry Methods and Applications''(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 ''See section 22''.

[[Category:张量|Z]]
[[Category:微分几何|Z]]