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[[数学]]上，'''拉回丛'''（pullback bundle）或'''导出丛'''（induced bundle）是[[纤维丛]]理论中的常见构造。令 &pi; : ''E'' &rarr; ''B''为以''F''为纤维的纤维丛，并令''f'' : ''B''&prime; &rarr; ''B''为任意[[连续函数 (拓扑学)|连续映射]]。则，''f''自然地诱导出一个纤维丛 &pi;&prime; : ''f''*''E'' &rarr; ''B''&prime;，它也以''F''为纤维。大致来讲，只需要说在点''x''的纤维是在点''f''(''x'')的纤维就可以了；然后用[[不交并]]将所有纤维合起来。

如果要更形式化一些，可以定义
:<math>f^{*}E = \{(x,e) \in B' \times E \mid f(x) = \pi(e)\}</math>
投影映射&pi;&prime; : ''f''*''E'' &rarr; ''B''&prime;由下式给出
:<math>\pi'(x,e) = x.\,</math>
到第二个因子的投影给出了一个映射<math>\tilde f \colon f^{*}E \to E</math>满足如下[[交换图]]:
[[File:PullbackBundle-01.png|center]]
若{''U''<sub>''i''</sub>, &phi;<sub>''i''</sub>)为一''E''的[[局部平凡化]]，则(''f''<sup>&minus;1</sup>''U''<sub>''i''</sub>, &psi;<sub>''i''</sub>)是''f''*''E''的局部平凡化，其中
:<math>\psi_i(x,e) = (x, \mbox{proj}_2(\phi_i(e))).\,</math>
然后，''f''*''E''就是''B''&prime;上以''F''为纤维的纤维丛了。''f''*''E''称为'''拉回丛'''或'''由''f''诱导的丛'''。映射<math>\tilde f</math>是覆盖''f''的丛的一个态射。

若丛''E'' &rarr; ''B''有[[结构群]] ''G''，其变换函数为''t''<sub>''ij''</sub>，则拉回丛''f''*''E''也有结构群''G''。''f''*''E''中的变换函数为
:<math>f^{*}t_{ij} = t_{ij} \circ f.</math>

若''E'' &rarr; ''B''是[[向量丛]]或[[主丛]]则拉回丛''f''*''E''也是同类的丛。在主丛的情况，''G''在''f''*''E''上的[[群作用|作用]]为
:<math>(x,e)\cdot g = (x,e\cdot g)</math>
因此，映射<math>\tilde f</math>是右[[等变]]的，并定义了一个主丛间的态射。

用[[范畴论]]的语言，拉回丛的构造是更一般的[[拉回 (范畴论)|范畴拉回]]的一个例子。因此，它满足相应的[[泛性质]]。

==丛和层==

丛的拉回是很直接的，所以丛是本质上[[逆变]]的。与此形成对比的是，一个[[层 (数学)|层]]是本质上[[协变]]的：其直接的构造是[[层的直接像]]。虽然每个丛都有一个截面的层，其变化是相反的。这个分歧在很多领域是一个好处。但是必须注意层的直接像相对于丛而言没有一个闭属性。取层的直接像经常可能导致产生一个不是'丛的截面'类型的新层。

因此，丛的[[前推]]的概念虽然不是没有，而且实际上很重要，但这个概念产生的对象可能在一般情况下不是丛。

==参考==
* R.W. Sharpe, ''Differential Geometry'', Springer-Verlag (1997). ISBN 0-387-94732-9
* [http://planetmath.org/encyclopedia/InducedBundle.html 诱导丛（英文）] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/InducedBundle.html |date=20160307083043 }}, PlanetMath


[[Category:纤维丛|L]]