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'''抽象解析数论'''（abstract analytic number theory）是数学的一个分支，把传统的[[解析数论]]的观点和方法应用于各种不同的数学领域中。以经典的[[質數定理|素数定理]]为原型，重点关注抽象渐进分布的结果。该理论由数学家John Knopfmacher，Arne Beurling等人提出。

== 算术半群 ==
该理论涉及到一个基本概念，'''算术半群'''，是满足以下性质的交换[[幺半群]]G：

* G有一个可数子集P，使得G中的每个元素<math>a \neq 1</math>有唯一分解<math>a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_r}</math>，其中<math>p_i</math>是P中不同的元素，<math>\alpha_i</math>是正整数，并且不考虑顺序。P的元素称为G的'''素元'''（prime）。
* 存在G上的实值映射<math>|\cdot|:G\to\mathbb{R}</math>，称为'''范数'''（norm），使得
*# <math>|1|=1</math>
*# 对任意<math>p\in P</math>，<math>|p|>1</math>
*# 对任意<math>a,b\in G</math>，<math>|ab|=|a||b|</math>
*# 对任意实数<math>x>0</math>，G中范数不超过x的元素的总个数是有限的。即<math>N_G(x)=\#\{a\in G:|a|\le x\}</math>

=== 加法数系 ===
若算术半群的底部幺半群G是自由的，则称为'''加法数系'''（additive number system）。

若范数是整数值的，则可以在G上定义计数函数<math>a(n)</math>和<math>p(n)</math>，其中<math>p(n)</math>是P中范数为n的元素的个数，<math>a(n)</math>是G中范数为n的元素的个数。令<math>A(x)=\sum_n{a(n)x^n}, \quad P(x)=\sum_n{p(n)x^n}</math>为对应的[[形式幂级数]]。可得'''基本恒等式'''

<math>A(x)=\prod_n{(1-x^n)^{-p(n)}}</math>

G的'''收敛半径'''定义为幂级数A(x)的[[收敛半径]]。

基本恒等式还有另一种形式

<math>A(x)=\exp\left({\sum_{m\ge 1}{\frac{P(x^m)}m}}\right)</math>

== 例子 ==

* 算术半群的原型是正整数的乘法半群<math>\mathbb{Z}_+=\{1,2,3,\cdots\}</math>，素元就是通常的素数<math>P=\{2,3,5,\cdots\}</math>。范数就是<math>|n|=n</math>，因此<math>N_G(x)=\lfloor x \rfloor</math>，即不超过x的最大整数。
* 设K是一个[[代数数域]]，即有理数域<math>\mathbb{Q} </math>的有限扩张，K中的整数组成环<math>O_K </math>，则<math>O_K </math>的所有非零理想组成的集合G是算术半群，单位元是<math>O_K </math>，理想<math>I </math>的范数等于商环<math>O_K/I </math>的基数。这种情况下，与素数定理对应的推广就是{{le|兰道素理想定理|Landau prime ideal theorem}}，描述了<math>O_K </math>中的理想的渐进分布。

== 方法与技巧 ==
[[算術函數|算术函数]]与ζ函数的用处十分广泛。可以將传统的解析数论中算术函数与ζ函数的各种方法和技巧，推广到任意的算术半群上（可能还要满足几个附加的公理）。例如下面公理：

* '''A公理'''：存在正数A与<math>\delta </math>，以及常数<math>\nu \ (0\le \nu <\delta) </math>，使得<math>N_G(x)=Ax^\delta+O(x^\nu),\ x\to\infty </math>。

对任何满足A公理的算术半群，有以下'''抽象素数定理'''：

<math>\pi_G(x)\sim\frac{x^\delta}{\delta \log{x}},\ x\to\infty </math>

其中<math>\pi_G(x) </math>是P中满足<math>|p|\le x </math>的元素p的总个数。

== 另见 ==
* [[A公理]]，动力系统的一种性质

== 参考文献 ==

* Burris, Stanley N. (2001). ''Number theoretic density and logical limit laws''. Mathematical Surveys and Monographs. '''86'''. Providence, RI: American Mathematical Society. <nowiki>ISBN 0-8218-2666-2</nowiki>. Zbl 0995.11001.
* Knopfmacher, John (1990) [1975]. ''Abstract Analytic Number Theory'' (2nd ed.). New York, NY: Dover Publishing. <nowiki>ISBN 0-486-66344-2</nowiki>. Zbl 0743.11002.
* Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). ''Multiplicative number theory I. Classical theory''. Cambridge studies in advanced mathematics. '''97'''. p. 278. <nowiki>ISBN 0-521-84903-9</nowiki>. Zbl 1142.11001.
[[Category:代數數論]]
[[Category:解析数论]]