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[[File:Parabolic cylinder function U 01.gif|thumb|Parabolic cylinder function U]]
[[File:Parabolic cylinder function V.gif|thumb|Parabolic cylinder function V]]
'''抛物柱面函数'''是满足下列微分方程的[[特殊函数]]:


:<math>\frac{d^2f}{dz^2} + \left(\tilde{a}z^2+\tilde{b}z+\tilde{c}\right)f=0.</math>

在利用[[分离变数法]]处理在[[抛物柱面坐标]]在的[[拉普拉斯方程]]时，自然出现上列方程

通过解二次代数方程和变数代换可以将上列方程表示为两种标准形式:
:<math>\frac{d^2f}{dz^2} - \left(\tfrac14z^2+a\right)f=0</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(A)

及

:<math>\frac{d^2f}{dz^2} + \left(\tfrac14z^2-a\right)f=0.</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(B)

如果 

:<math>f(a,z)\,</math>是一个解，则


:<math>f(a,-z), f(-a,iz)\text{ and  }f(-a,-iz).\,</math> 也是解。

==解析解==
上列方程有奇数解和偶数解两类

;偶数解

:<math>y_1(a;z) = \exp(-z^2/4) \;_1F_1 
\left(\tfrac12a+\tfrac14; \;
\tfrac12\; ; \; \frac{z^2}{2}\right)\,</math>

;奇数解

:<math>y_2(a;z) = z\exp(-z^2/4) \;_1F_1 
\left(\tfrac12a+\tfrac34; \;
\tfrac32\; ; \; \frac{z^2}{2}\right)\,\,\,\,\,\, </math>

where <math>\;_1F_1 (a;b;z)=M(a;b;z)</math> is the [[合流超几何函数]].

==参考文献==
*{{springer|id=W/w097310|title=Weber equation|first=N.Kh.|last= Rozov}}
*{{dlmf|id=12|first=N. M. |last=Temme}}
*Weber, H.F. (1869)   "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung <math>\partial^2u/\partial x^2+\partial^2u/\partial y^2+k^2u=0</math>".  ''Math. Ann.'', 1, 1–36
*Whittaker, E.T. (1902) "On the functions associated with the parabolic cylinder in harmonic analysis" ''Proc. London Math. Soc.''35, 417–427.

[[Category:特殊函数]]