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在[[数学]]中，特别是在[[泛函分析]]中，'''投影值测度'''是一种[[映射]]，其将给定集合的特定子集映射为给定的[[希尔伯特空间]]上的一个[[自伴算子|自伴]][[投影 (线性代数)|投影算子]]。 {{Sfn|Conway|2000|p=41}}投影值测度 (projection-valued measure, PVM) 在形式上类似于[[值|实值]][[测度]]，不过其值是自伴投影而不是实数。与普通测度一样，也可以关于PVM进行[[复数 (数学)|复]]值函数的[[积分]]；这种积分的结果是给定希尔伯特空间上的[[线性映射|线性算子]]。

投影值测度用于表达[[谱理论]]中的结果，例如[[自伴算子]]的[[谱定理]]，在这种情况下 PVM 有时被称为谱测度。自伴算子的[[博雷尔函数演算]]是通过关于 PVM 的积分构造的。在[[量子力学]]中，PVM 提供了[[量子測量|投影测量]]的数学表述，它们可推广为[[正算子值测度]]（POVM），正如[[混合態]]或[[密度矩陣|密度矩阵]]推广了[[純態]]的概念一样。

== 定义 ==
设 <math>H</math> 是一[[可分空间|可分]][[复数 (数学)|复]][[希尔伯特空间]]，而 <math>(X, M)</math> 是一（博雷尔）[[可测空间]]，其中 <math>X</math> 是一集合而 <math>M</math> 是 <math>X</math> 上的[[博雷爾集|博雷尔σ-代数]]。'''投影值测度''' <math>\pi</math> 是定义于 <math>M</math> 上、而取值为 <math>H</math> 上[[有界算子|有界]][[自伴算子]]的一类特定映射，其须满足以下性质： {{Sfn|Hall|2013|p=138}} {{Sfn|Reed|Simon|1980|p=234}}

* 对任一 <math>E \in M</math>， <math>\pi(E)</math> 是一[[投影 (线性代数)|正交投影]]。
* <math>\pi(\emptyset) = 0</math> 且 <math>\pi(X) = I</math> ，其中 <math>\emptyset</math> 表示[[空集]]、<math>I</math>为[[恒等映射|恒等算子]]。
* 若 <math>M</math> 中有[[不交集|不交]]的子集 <math>E_1, E_2, E_3,\dotsc</math> ，那么对于任一 <math>v \in H</math> ，

:: <math>\pi\left(\bigcup_{j=1}^{\infty} E_j \right)v = \sum_{j=1}^{\infty} \pi(E_j) v.</math>

* 对任意 <math>E_1, E_2 \in M</math> ， <math>\pi(E_1 \cap E_2)= \pi(E_1)\pi(E_2).</math>

第二、四个性质表明，如果 <math>
E_1 </math> 和 <math>E_2</math> 不相交（即<math>E_1 \cap E_2 = \emptyset</math> ）， 则[[像 (數學)|像]] <math>\pi(E_1)</math> 和 <math>\pi(E_2)</math> 之间[[正交]]。

令 <math>V_E = \operatorname{im}(\pi(E))</math> 及其[[正交补]] <math>V^\perp_E=\ker(\pi(E))</math> 分别表示 <math>\pi(E)</math> 的[[像 (數學)|像]]和[[核 (线性算子)|核]]。若 <math>V_E </math> 是 <math>H</math> 的[[闭集|闭]]子空间，则 <math>H</math> 可以写成如下的[[正交分解]] <math>H=V_E \oplus V^\perp_E</math> ，而 <math>\pi(E)\triangleq I_E</math> 是 <math>V_E </math> 上唯一满足所有四个性质的[[恒等映射|恒等算子]]。 {{Sfn|Rudin|1991|p=308}} {{Sfn|Hall|2013|p=541}}

对于任意 <math>\xi,\eta\in H</math> 和 <math>E\in M</math> ，可由投影值测度导出一个 <math>H</math> 上的[[复值测度]]，其定义为

: <math> \mu_{\xi,\eta}(E) := \langle \pi(E)\xi | \eta \rangle, 
</math>

而其[[总变差]]至多为 <math>\|\xi\|\|\eta\|</math> 。 {{Sfn|Conway|2000|p=42}}投影值测度亦可导出下面的实值[[测度]]：

: <math> \mu_{\xi}(E) := \langle \pi(E)\xi | \xi \rangle. 
</math>

当 <math>\xi</math> 是[[单位向量]]时，其成为一个[[概率测度]]。

=== 例子 ===
设 <math>(X, M, \mu)</math> 是一个 [[测度空间|σ-有限测度空间]]，且对于任一<math>E \in M</math> ，可有一相应的映射

: <math>
\pi(E) : L^2(X) \to L^2 (X)
</math>

定义为

: <math>\psi \mapsto \pi(E)\psi=1_E \psi,</math>

即[[Lp空间|L<sup>2</sup>(''X'')]]上关于[[指示函数]] <math>1_E</math> 的[[乘法算子]]。那么 <math>\pi(E)=1_E</math> 定义了一个投影值测度。{{Sfn|Conway|2000|p=42}}作为一个例子，若 <math>X = \mathbb{R}</math> 、 <math>E = (0,1)</math> 、 <math>\phi,\psi \in L^2(\mathbb{R})</math> ，于是就有这样一个复值测度 <math>\mu_{\phi,\psi}</math> ，使得可测函数 <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> 关于该测度的积分为

: <math>\int_E f\,d\mu_{\phi,\psi} = \int_0^1 f(x)\psi(x)\overline{\phi(x)}\,dx.</math>

== 投影值测度的扩张 ==
如果 {{Pi}} 是博雷尔可测空间 <math>(X, M)</math> 上的投影值测度，则映射

: <math>
 \chi_E \mapsto \pi(E)
</math>

可{{Le|映射的扩张|Extension of map|扩张}}到 <math>X</math> 上[[阶跃函数]]所构成的向量空间上的线性映射。事实上，容易验证这个映射是一个[[环同态]]。该映射以一种典范的方式扩张到 ''<math>X</math>'' 上的全体有界复值[[可测函数|博雷尔函数]]，并且有：

{{Math theorem|定理|对 <math>X</math> 上的任一有界[[博雷尔函数]] <math>f</math> ， 有唯一的一个[[有界算子]] <math> T : H \to H </math> 满足
<ref>{{Citation|last=Kowalski|first=Emmanuel|year=2009|title=Spectral theory in Hilbert spaces|series=ETH Zürich lecture notes|url=https://people.math.ethz.ch/~kowalski/spectral-theory.pdf|page=50|accessdate=2024-04-05|archive-date=2024-01-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20240120054419/https://people.math.ethz.ch/~kowalski/spectral-theory.pdf|dead-url=no}}</ref>{{sfn | Reed | Simon | 1980 | p=227,235}}
:<math>\langle T \xi \mid  \xi \rangle = \int_X f(\lambda) \,d\mu_{\xi}(\lambda), \quad \forall \xi \in H.</math>
其中 <math>\mu_{\xi}</math> 是一有限[[博雷尔测度]]，定义为：
:<math>\mu_{\xi}(E) := \langle \pi(E)\xi \mid \xi \rangle, \quad \forall E \in M.</math>
于是， <math>(X,M,\mu)</math> 构成一[[测度空间|有限测度空间]]。
}}

该定理对于无界可测函数 <math>f</math> 也成立，但是此时 <math>T</math> 将是希尔伯特空间上 <math>H</math> 的无界线性算子。

这允许为此类算子定义[[博雷尔函数演算]]，然后通过[[里斯-马尔可夫-角谷表示定理]]使其可用于可测函数。也就是说，若有可测函数 <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}</math> ，则存在唯一测度使得

: <math>g(T) :=\int_\mathbb{R} g(x) \, d\pi(x).</math>

=== 谱定理 ===
设 <math>H</math> 是一个[[可分空间|可分]][[复数 (数学)|复]][[希尔伯特空间]]， <math>A:H\to H</math> 是有界[[自伴算子]]，而 <math>A</math> 的[[谱 (泛函分析)|谱]]是 <math>\sigma(A)</math> 。[[谱定理]]说明，存在唯一的投影值测度 <math>\pi_A</math> ，其定义于[[博雷爾集|博雷尔子集]] <math> E \subset \sigma(A)</math> 上，而使得{{Sfn|Reed|Simon|1980|p=235}}

: <math>A =\int_{\sigma(A)} \lambda \, d\pi_A(\lambda),</math>

当谱 <math>\sigma(A)</math> 无界时，积分须推广到 <math>\lambda</math> 为无界函数的情况。 {{Sfn|Hall|2013|p=205}}

=== 直积分 ===
首先我们给出一个基于{{Le|直积分|Direct integral}}的投影值测度的一般例子。设 <math>(X, M, \mu)</math> 是测度空间，且令 <math>\{ H_x \}_{x \in X}</math> 是 <math> \mu </math>-可测的一族可分希尔伯特空间。对于每个 <math>E \in M</math> ，令 <math>\pi(E)</math> 为希尔伯特空间

: <math> \int_X^\oplus H_x \ d \mu(x) </math>

上关于 <math> 1_E </math> 的乘法算子，那么 <math>\pi</math> 就是 <math>(X, M)</math> 上的一个投影值测度。

设 <math>\pi,\rho</math> 是 <math>(X, M)</math> 上的投影值测度，其值分别为 <math>H, K</math> 的投影算子。称 <math>\pi,\rho</math> 是'''幺正等价的，'''当且仅当存在一个[[幺正算符|幺正算子]] <math>U : H \to K</math> 满足

: <math> \forall E\in M,\quad\pi(E) = U^* \rho(E) U. </math>
{{Math theorem
| math_statement = 若 <math>(X, M)</math> 是[[标准博雷尔空间]]，则对于 <math>(X, M)</math> 上每个在可分希尔伯特空间之投影算子中取值的投影值测度 <math> \pi </math> ，都存在一个博雷尔测度 <math> \mu </math> 和一个 <math> \mu </math>-可测的希尔伯特空间族 <math>\{ H_x \}_{x \in X}</math> ，使 <math> \pi </math> 幺正等价于这样一个投影值测度 <math> \rho </math> ， <math> \rho(E) </math> （ <math> E\in M </math> ）定义为希尔伯特空间
:<math> \int_X^\oplus H_x \ d \mu(x). </math>
上关于 <math> 1_E </math> 的[[乘法算子]]。
}}

<math> \mu </math> 的{{Le|等价(测度论)|Equivalence (measure theory)|测度类}}以及测度按[[重数(算子理论)|重数]]映射 <math> x\mapsto\dim H_x </math> 之结果归并而来的[[等价类]]完全刻画了投影值测度（在幺正等价[[Up to|的意义上]]，也就是说凡不能区分的PVM都幺正等价）。

一个投影值测度 <math> \pi </math> 称为是'''n重齐次(homogeneous)'''的，当且仅当重数函数具有常数值 ''<math> n </math>'' 。显然，

{{Math theorem
| math_statement = 任何在可分希尔伯特空间的投影中取值的投影值测度 <math> \pi </math> 都是齐次投影值测度的正交[[直和]]：
:<math> \pi = \bigoplus_{1 \leq n \leq \omega} (\pi \mid H_n) </math>
其中
:<math> H_n = \int_{X_n}^\oplus H_x \ d (\mu \mid X_n) (x) </math>
以及
:<math> X_n = \{x \in X: \dim H_x = n\}. </math>
}}

== 在量子力学中的应用 ==
在量子力学中，给定一个投影值测度，其定义域为一个可测空间 ''<math> X </math>'' ，[[陪域]]是希尔伯特空间 ''<math> H </math>'' 上的连续自同态所构成的向量空间，

* 希尔伯特空间 ''<math> H </math>'' 的[[射影空间]]被解释为量子系统的可能状态集 ''<math> \Phi </math>''，
* 可测空间 ''<math> X </math>'' 是系统某些量子性质（[[可觀察量|可观测量]]）的值空间，
* 投影值测度 <math> \pi </math> 表示[[可觀察量|可观测量]]取各种值的概率。

''<math> X </math>'' 的常见选择是实数集，但也可能是

* ''<math> \mathbb R^3 </math>''（三维中的位置或动量），
* 离散集（用于角动量、束缚态能量等），
* 关于 ''<math> \varphi\in\Phi </math>'' 的任意命题的[[真值]]的二元素集，即“真”和“假”。

令 ''<math> E </math>'' 为可测空间 ''<math> X </math>'' 的可测子集， ''<math> \varphi </math>'' 为 ''<math> H </math>'' 中的归一化态矢，且其范数为一，即 <math> \|\varphi\|=\sqrt{\langle\varphi,\varphi\rangle} = 1 </math> 。对于处于状态 ''<math> \varphi </math>'' 的系统，其可观测量的值落在子集 ''<math> E </math>'' 中的概率为

: <math>
 P_\pi(\varphi)(E) = \langle \varphi|\pi(E)(\varphi)\rangle = \langle \varphi|\pi(E)|\varphi\rangle,</math>

其中，物理学中更倾向于使用后一种符号。

我们可以用两种方式来解析这一点。

其一，对于给定的 ''<math> E </math>'' ，投影 ''<math> \pi(E) </math>'' 是 ''<math> H </math>'' 上的一个自伴算子，其 1-本征空间（本征值 1 所对应的子空间）由可观测量的值始终落在 ''<math> E </math>'' 中的态矢构成，其 0-特征空间则由可观测量的值永不落在 ''<math> E </math>'' 中的态矢构成。

其二，对于任一给定的归一化态矢 <math>\psi</math> ， 

: <math>
P_\pi(\psi) :
E \mapsto \langle\psi\mid\pi(E)\psi\rangle
</math>

是 ''<math> X </math>'' 上的概率测度，从而使得可观测量的值成为随机变量。

可以用投影值测度 <math> \pi </math> 来进行的测量称为[[量子測量|投影测量]]{{Clarify}}。

如果 ''<math> X </math>'' 是实数集，则存在关联于 <math> \pi </math> 的 <math> H </math> 上的厄米算子 <math> A </math> ，其将态矢 <math>\varphi\in H</math> 映射为

: <math>A(\varphi) = \int_{\mathbb{R}} \lambda \,\mathrm d\pi(\lambda)(\varphi),</math>

或者若 <math> \pi </math> 的[[支撑集]]是 <math> \mathbb R </math> 的一个离散子集，则可用更易读的形式写作

: <math>A(\varphi) = \sum_i \lambda_i \pi({\lambda_i})(\varphi)</math>


上述算子 <math> A </math> 被称为关联于该谱测度的可观测量。

== 推广 ==
投影值测度的概念可推广到[[正算子值测度]]（POVM）。对于POVM，将恒等算子划分为投影算子所蕴含的正交性的要求不再是必要的，恒等算子转而被分解为一族不必正交的算子{{Clarify|reason=Partition of unity in the operator sense is not defined in the article "partition of unity".|date=2015年5月}} 。这一推广的动机源于在[[量子信息|量子信息理论]]上的应用。

== 参见 ==

* [[谱定理]]
* [[谱测度]]
* [[谱理论]]

== 参考资料 ==
=== 引注 ===
{{Reflist}}

===来源===

* {{Cite book|last=Conway|first=John B.|title=A course in operator theory|publisher=American mathematical society|publication-place=Providence (R.I.)|date=2000|isbn=978-0-8218-2065-0}}
* {{Cite book|last=Hall|first=Brian C.|title=Quantum Theory for Mathematicians|publisher=Springer Science & Business Media|publication-place=New York|date=2013|isbn=978-1-4614-7116-5}}
* Mackey, G. W., ''The Theory of Unitary Group Representations'', The University of Chicago Press, 1976
* {{Citation|last=Moretti|first=V.|title=Spectral Theory and Quantum Mechanics Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation|volume=110|year=2017|publisher=Springer|bibcode=2017stqm.book.....M|isbn=978-3-319-70705-1}}
* {{Cite book |last1=Narici |first1=Lawrence |last2=Beckenstein |first2=Edward |title=Topological vector spaces |publisher=CRC Press |location=Boca Raton, FL |isbn=978-1584888666 |edition=2nd}}
* {{Cite book|last=Reed|first=M.|authorlink=Michael C. Reed|last2=Simon|first2=B.|authorlink2=Barry Simon|title=Methods of Modern Mathematical Physics: Vol 1: Functional analysis|publisher=Academic Press|year=1980|isbn=978-0-12-585050-6}}
* {{Cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Functional Analysis|url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi|publisher=McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics|publication-place=Boston, Mass.|date=1991|isbn=978-0-07-054236-5}}
* {{Cite book |last1=Schaefer |first1=Helmut H. |last2=Wolff |first2=Manfred P. H. |title=Topological vector spaces |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-1-4612-7155-0 |edition=2nd}}
* G. Teschl, ''Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators'', https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ {{Wayback|url=https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |date=20220812080117 }}, American Mathematical Society, 2009.
* {{cite book |last1=Treves |first1=Francois |title=Topological vector spaces, distributions and kernels |publisher=Dover Publications |location=Mineola, N.Y |isbn=978-0-486-45352-1}}
* Varadarajan, V. S., ''Geometry of Quantum Theory'' V2, Springer Verlag, 1970.


{{泛函分析}}
[[Category:谱理论]]
[[Category:测度]]
[[Category:線性代數]]