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{{NoteTA|G1=物理学}}
[[File:Richard C. Tolman.jpg|thumb|right|200px|理查德·托尔曼]]
[[File: JROppenheimer-LosAlamos.jpg|thumb|right|200px|罗伯特·奥本海默]]

在[[天体物理学]]中，'''托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程'''（{{lang-en|'''Tolman–Oppenheimer–Volkoff equation'''}}）是在[[广义相对论]]框架下描述一个处在定态[[引力]]平衡状态下的[[各向同性]]球对称物体结构的约束方程。它所描述的是[[恒星]]在辐射压力和自身引力作用下的相对论性[[流体静力学]]平衡。

== 方程形式 ==
方程的形式为<ref name="ov">[http://prola.aps.org/abstract/PR/v55/i4/p374_1 On Massive Neutron Cores] {{Wayback|url=http://prola.aps.org/abstract/PR/v55/i4/p374_1 |date=20111120184631 }}, J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff, ''Physical Review'' '''55''', 374 ([[February 15]], 1939), pp. 374–381.</ref>

:::::<math>\frac{dP(r)}{dr}=-\frac{G(\rho(r)+P(r)/c^2)(M(r)+4\pi P(r) r^3/c^2)}{r^2(1-2GM(r)/rc^2)}.</math>

这里<math>r\,</math>是径向坐标，而我们用<math>\rho(r_0)\,</math>和<math>P(r_0)\,</math>分别是物质在其半径<math>r = r_0\,</math>处的[[密度]]和[[压力]]。<math>M(r_0)\,</math>是在半径<math>r = r_0\,</math>以内物质的总质量，这是从远处的观察者所观察到的它的[[引力场]]的角度而言的（所谓远处，是指那里的度规不受到系统本身的引力场影响）。这个质量满足<math>M(0)=0\,</math>，并且有<ref name="ov" />

:::::<math>\frac{dM(r)}{dr}=4 \pi \rho(r) r^2.</math>

这个方程的导出来自[[爱因斯坦引力场方程]]在一个广义的定态且球对称[[度规]]（不一定是[[史瓦西度规]]）条件下的解，具体讨论的导出过程可参考[[引力坍缩#恒星的相对论模型|这里]]。这里简单叙述为，对于一个满足托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程的解，度规具有如下形式<ref name="ov" />

:::::<math>ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - (1-2GM(r)/rc^2)^{-1} dr^2 - r^2(d\theta^2 + sin^2 \theta d\phi^2),</math>

其中<math>\nu(r)\,</math>满足约束条件<ref name="ov" />
:::::<math>\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{2}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr}.</math>

[[File:TOV solution homogeneous star mass radius diagram.png|thumb|right|360px|在托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程下求得的中子星质量上限：红色曲线表示的是一个密度为<math>10^{15}\mathrm{g/cm^3}\,</math>的各向同性球对称中子星质量与其半径的关系，蓝色曲线表示它的质量上限，其中表示的系数4/9的来源请参考[[引力坍缩#恒星的相对论模型|这里]]]]
当系统的[[状态方程]]（{{lang|en|EOS}}，它建立了密度与压力的关系）<math>F(\rho, P) = 0\,</math>确定后，托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程能够完全决定这个球对称且各向同性的系统在引力平衡状态下的结构。注意到如果<math>1/c^2\,</math>项可忽略，托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程会退化成[[牛顿力学]]的[[流体静力学方程]]，这是当相对论修正不重要时求解球对称且各向同性的系统在引力平衡状态下的结构所需要的方程。托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程也因此特别叫做[[恒星]]的'''流体静力学平衡方程'''。

如果这个方程被用来描述一个真空中的束缚星体，在边界上需要应用零压力条件<math>P(r)=0\,</math>以及条件<math>e^{\nu(r)} = 1 - 2GM(r)/rc^2\,</math>。第二个[[边界条件]]是因为度规在边界上需要连续，并且对真空中的爱因斯坦方程具有唯一的定态球对称解——[[史瓦西度规]]：

:::::<math>ds^2=(1-2GM_0/rc^2) c^2 dt^2 - (1-2GM_0/rc^2)^{-1} dr^2 - r^2(d\theta^2 + sin^2 \theta d\phi^2)\,</math>

这里<math>M_0\,</math>是星体的总质量，这仍然是从远处的观察者所观察到的它的[[引力场]]的角度而言的。如果星体的边界处于<math>r\,</math>，度规的连续性以及<math>M(r)\,</math>的定义都要求

:::::<math>M_0=M(r_B)=\int_0^{r_B} 4\pi \rho(r) r^2\, dr.</math>

但从另一方面看，如果考虑系统的引力场作用下的度规，将星体的密度在对应的体元下积分，将得到一个更大的质量函数

:::::<math>M_1=\int_0^{r_B} \frac{4\pi \rho(r) r^2}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \, dr.</math>

这两个质量的差别为

:::::<math>\delta M=\int_0^{r_B} 4\pi \rho(r) r^2((1-2GM(r)/rc^2)^{-1/2}-1)\, dr,</math>

这个值是大于零的，体现了星体因引力作用产生的束缚能量，也就是将星体内部的物质打散后抛到无限远处所要消耗的能量。

== 历史 ==
[[理查德·托尔曼|托尔曼]]在1934年和1939年间分析了球对称度规<ref>[http://www.pnas.org/cgi/reprint/20/3/169 Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models] {{Wayback|url=http://www.pnas.org/cgi/reprint/20/3/169 |date=20071001045407 }}, Richard C. Tolman, ''Proceedings of the National Academy of Sciences'' '''20''', 3 ([[March 15]], 1934), pp. 169–176.</ref><ref>[http://prola.aps.org/abstract/PR/v55/i4/p364_1 Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid] {{Wayback|url=http://prola.aps.org/abstract/PR/v55/i4/p364_1 |date=20111208221700 }}, Richard C. Tolman, ''Physical Review'' '''55''', 374 ([[February 15]], 1939), pp. 364–373.</ref>而这个方程的形式则是由[[罗伯特·奥本海默|奥本海默]]和[[乔治·沃尔科夫|沃尔科夫]]借助托尔曼的工作在他们1939年的论文《在巨大的中子核上》中推导出的<ref name="ov" />。在这篇论文中，他们采用了一个[[中子]]组成的[[简并]][[费米气体]]模型的状态方程来计算[[中子星]]质量的上限，其结果约为0.7倍[[太阳质量]]。由于他们所用的状态方程对中子星而言并不理想，这个得到的极限应该是错误的，现代对这一极限的估计为1.5至3倍太阳质量。<ref>[http://adsabs.harvard.edu/abs/1996A&A...305..871B The maximum mass of a neutron star] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1996A%26A...305..871B |date=20190330205633 }}, I. Bombaci, ''Astronomy and Astrophysics'' '''305''' (January 1996), pp. 871–877.</ref>

== 托尔曼-奥本海默-沃尔科夫极限 ==
{{main|歐本海默極限}}
托尔曼-奥本海默-沃尔科夫极限（Tolman–Oppenheimer–Volkoff limit）即是中子星的质量上限，类似于[[白矮星]]质量上限的[[钱德拉塞卡极限]]。如上节所述，奥本海默和沃尔科夫得到的中子星质量上限约为0.7倍太阳质量，这在今天看来应该是错误的，当今的结果在1.5至3倍太阳质量之间<ref>{{cite journal en | last=Bombaci | first=I. | title=The maximum mass of a neutron star | journal=Astronomy and Astrophysics | year=1996 | volume=305 | pages=871–877 | url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1996A&A...305..871B | access-date=2020-10-10 | archive-date=2019-03-30 | archive-url=https://web.archive.org/web/20190330205633/http://adsabs.harvard.edu/abs/1996A%26A...305..871B | dead-url=no }}</ref>。对于质量小于此极限的中子星，支持星体的内部压力来自中子与中子之间的[[强相互作用]]以及中子本身的[[量子简并压力]]；而对于质量大于此极限的中子星会在自身引力的作用下崩溃，从而坍缩为一个[[黑洞]]，理论上在其他途径的内部压力支持下还可能成为其他形式的星体（例如在[[夸克简并压力]]的支持下坍缩为[[夸克星]]）。但由于对这些理论上的夸克简并物质了解相对中子简并物质更少，一般天体物理学家相信，除非有实际观测的反例证实，中子星在超过这一极限时都会直接坍缩为黑洞。

一个由恒星坍缩成的黑洞必须具有大于托尔曼-奥本海默-沃尔科夫极限的质量。理论预言由于[[恒星演化]]中的质量损失，一个具有太阳那样[[金属量]]的孤立恒星坍缩而成的黑洞应该具有不超过10倍左右的太阳质量<ref name="evo2">[http://adsabs.harvard.edu/abs/2002RvMP...74.1015W The evolution and explosion of massive stars] {{Wayback|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/2002RvMP...74.1015W |date=20080120194735 }}, S. E. Woosley, A. Heger, and T. A. Weaver, ''Reviews of Modern Physics'' '''74''', 4 (October 2002), pp. 1015–1071.</ref>。在[[钱德拉X射线天文台]]的实验观测中，有相当数量的[[X射线双星]]由于它们的巨大质量、较低的亮度以及[[X射线]][[光谱]]被认为是[[恒星质量黑洞]]，它们的质量据估计在3倍至20倍太阳质量之间<ref>[http://adsabs.harvard.edu/abs/2003astro.ph..6213M Black Hole Binaries], Jeffrey E. McClintock and Ronald A. Remillard,  arXiv:astro-ph/0306213v4.</ref><ref>[http://adsabs.harvard.edu/abs/2006astro.ph.12312C Observational evidence for stellar-mass black holes], Jorge Casares, arXiv:astro-ph/0612312v1.</ref>。

== 参见 ==
*[[流体静力学]]
*[[引力坍缩]]

== 参考资料 ==
{{reflist}}

{{黑洞}}

[[Category:黑洞|Tuo1]]
[[Category:天体物理学|Tuo1]]
[[Category:广义相对论的精确解|T]]
[[Category:微分方程|T]]
[[Category:罗伯特·奥本海默]]