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'''打靶法'''（{{lang-en|Shooting method}}）是[[数值分析]]中在求解[[边界值问题]]時，将解归约为求解數個[[初值问题]]的方法。下面的讨论在[[#例子|打靶法的解释]]中有详细注释。

对于一个二阶常微分方程的[[边界值问题]]，该方法表述如下：
令

:<math> y''(t) = f(t, y(t), y'(t)), \quad y(t_0) = y_0, \quad y(t_1) = y_1 </math>

为边界值问题。
令 ''y''(''t''<sub>1</sub>; ''a'') 代表下列初值问题的一个解

:<math> y''(t) = f(t, y(t), y'(t)), \quad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = a </math>

定义函数''F''(''a'')为''y''(''t''<sub>1</sub>; ''a'')和给定边界值''y''<sub>1</sub>的差

:<math> F(a) = y(t_1; a) - y_1 \,</math>

若边界值问题有解，则''F''有一个根，而这个根就是''y''<nowiki>'</nowiki>(''t''<sub>0</sub>)的给出边界问题解''y''(''t'')的取值。

上述問題的求解可以采用通常的求根方法，例如[[二分法]]或者[[牛顿法]]。

== 线性打靶法 ==
边界值问题是线性的，若''f''形为
:<math> f(t, y(t), y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t). \, </math>
这个情况下，边界值问题的解通常给出为
:<math>y(t) = y_{(1)}(t)+\frac{y_1-y_{(1)}(t_1)}{y_{(2)}(t_1)}y_{(2)}(t)</math>
其中<math>y_{(1)}(t)</math>是下面的初值问题的一个解
:<math>y''(t) = f(t, y(t), y'(t)),\quad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = 0, </math>
而<math>y_{(2)}(t)</math>是下面的初值问题的解：
:<math>y''(t) = p(t)y'(t)+q(t)y(t),\quad y(t_0) = 0, \quad y'(t_0) = 1. </math>
结果成立的精确条件请参看[https://web.archive.org/web/20060425044733/http://mathews.ecs.fullerton.edu/n2003/shootingmethod/ShootingProof.pdf 证明]。

== 例子 ==

Stoer及Burlisch曾提出一個如下的[[边界值问题]]（Section 7.3.1）

:<math> w''(t) = \frac{3}{2} w^2, \quad w(0) = 4, \quad w(1) = 1 </math>

以下的[[初值問題]]

:<math> w''(t) = \frac{3}{2} w^2, \quad w(0) = 4, \quad w'(0) = s</math>

在''s'' = −1, −2, −3, ..., −100等條件下求解，且令''F''(''s'') = ''w''(1;''s'') − 1，其圖形繪製在第一圖中，根據圖中可知，其解接近−8及−36。
第二圖繪出一些''w''(''t'';''s'')的軌跡。

初值問題的解是由LSODE演算法計算，利用數學軟體[[GNU Octave]]實現。

Stoer及Bulirsch列出有二個解，可以用代數法求解。
對應初始條件約''w''′(0) = −8及 and ''w''′(0) = −35.9時的值。

[[Image:Shooting method error.png|thumb|center|400px|''F''(''s'') = ''w''(1;''s'') − 1.]]
[[Image:Shooting method trajectories.png|thumb|center|400px|''w''(''t'';''s'')的軌跡，''s'' = ''w''<nowiki>'</nowiki>(0)等於−7, −8, −10, −36及−40（顏色分別是紅、綠、藍、淺藍、洋紅），(1,1)有繪製一紅色的菱形。]]
{{clear}}


== 参考 ==

* Josef Stoer and Roland Bulirsch. ''Introduction to Numerical Analysis''. New York: Springer-Verlag, 1980. ''(See Section 7.3.)''

[[Category:数值微分方程]]