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在[[環論]]中，'''戴德金整環'''是[[戴德金]]為了彌補一般[[數域]]中[[算術基本定理]]的空缺而引入的概念。在戴德金整環中，任意[[理想 (數學)|理想]]可以唯一地分解成[[素理想]]之積。

==定義==
戴德金整環指的是有乘法單位元素 <math>1</math>，並具備下述性質的交換[[諾特環|諾特]][[整環]] <math>A</math>：
# <math>A</math> 不是[[域 (數學)|域]]。
# <math>A</math> 的非零[[素理想]]皆為[[極大理想]]。
# <math>A</math> 整閉。

前兩條可合併為：<math>A</math> 之[[克魯爾維度]]等於一。另一種表述方式如下：
# <math>A</math> 對任意極大理想之[[局部化]]為[[離散賦值環]]。
# <math>A</math> 的非零理想皆可逆。換言之：對任意理想 <math>0 \neq I \subset A</math>，存在 <math>A</math> 的[[分式環]] <math>K(A)</math> 中的有限生成 <math>A</math>-子模 <math>J</math>，使得 <math>I \cdot J = A</math>。

==例子==
* [[主理想環]]與[[域 (數學)|域]]上的[[多項式環]]皆為戴德金整環。
* [[交換代數]]的一條定理斷言：若 <math>A</math> 是戴德金整環，<math>K=K(A)</math> 為其分式域，<math>L/K</math> 是[[有限擴張]]，則 <math>A</math> 在 <math>L</math> 中的[[整閉包]]也是戴德金整環。
* <math>\Z</math> 是最基本的例子，再配合前述定理，可知[[數域]]中的[[代數整數]]環皆為戴德金整環。這是戴德金整環在[[代數數論]]中的主要應用，也是戴德金引介此概念的原始動機。

==唯一分解性質==
戴德金整環的'''分式理想'''定義為分式環 <math>K(A)</math> 中形如 <math>aI</math> 之 <math>A</math>-子模，其中 <math>a \in K(A)^\times</math> 而 <math>I</math> 是 <math>A</math> 中的理想。分式理想之間可以定義乘法 <math>aI \cdot bJ = ab J</math>，因而非零分式理想構成一個-{[[么半群]]}-，其單位元素為 <math>A</math>。戴德金整環的性質保證此結構是一個群，換言之，任何非零分式理想皆可逆。

若一理想 <math>I</math> 可由某元素 <math>a \in A</math> 生成，則稱之'''主理想'''；可採類似辦法定義'''主分式理想'''。

此外，戴德金整環中的分式理想有'''唯一分解性'''：任意分式理想 <math>I</math> 可唯一地表成
: <math>I = \prod_\mathfrak{p} \mathfrak{p}^{r_\mathfrak{p}}</math>
其中 <math>\mathfrak{p}</math> 過有限個 <math>A</math> 的素理想，<math>r_\mathfrak{p} \in \Z</math>。<math>I</math> 是理想若且唯若 <math>\forall \mathfrak{p} \; r_\mathfrak{p} \geq 0</math>。

==類群==
在一般的數域 <math>K</math> 上，代數整數未必能唯一地表成素數的乘積，但可唯一表成素理想的乘積。在所有理想中，僅有主理想對應到「真正」的代數整數。此時重要的不變量是[[理想類群]]與[[類數]]，它們量度了理想與主理想的差距：
: <math>\mathrm{Cl}_K := </math> (分式理想)/(主分式理想)
: <math>h_K := |\mathrm{Cl}_K|</math>

可證明理想類群總是有限交換群。

==文獻==
* Bourbaki, Nicolas (1972), ''Commutative Algebra'', Addison-Wesley

[[Category:代數數論|D]]
[[Category:交換代數|D]]
[[Category:环论|D]]