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{{NoteTA|G1=Math}}
'''戴德金分割'''（{{lang-en|Dedekind cut}}）是数学中对于[[全序集]]的操作。对于给定的全序集<math>A</math>及其中某个元素<math>x</math>而言，将<math>A</math>分拆为两个[[非空集合]]，使得两者其一中所有元素（按照顺序）均在<math>x</math>之前、另一[[真子集]]中所有元素均在<math>x</math>之后。

常见的是对于全体[[有理数]]的操作，即<math>A=\mathbb{Q}</math>。对于有理数<math>x</math>，将有理数集合分拆为两个非空集合<math>A</math>和<math>A'</math>，若<math>A</math>和<math>A'</math>满足条件：
# <math>\forall a \in \mathbb{Q}</math>，关系式<math>a \in A</math>和<math>a \in A'</math>必有且只有一个成立。
# <math>\forall a \in A</math>，<math>\forall a' \in A'</math>，必有<math>a < a'</math>，并且<math>a \le x</math>和<math>x \le a'</math>两者在不同时取等号时均成立。
则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割，记为<math>A|A'</math>。其中集合<math>A</math>称为戴德金分割的'''下组'''，集合<math>A'</math>称为戴德金分割的'''上组'''。

== 分类 ==
根据戴德金分割中<math>A</math>和<math>A'</math>是否有最大数、最小数，可以将戴德金分割分为三种类型：
# <math>A</math>中有最大数，<math>A'</math>中无最小数
# <math>A</math>中无最大数，<math>A'</math>中有最小数
# <math>A</math>中无最大数，<math>A'</math>中无最小数
可以证明，“<math>A</math>中有最大数，<math>A'</math>中有最小数」的情况并不存在。证明如下：

如果<math>A</math>有最大数<math>a</math>，<math>A'</math>有最小数<math>b</math>，则根据分割的定义可知 <math>a<b</math>。但是 <math>(a+b)/2</math> 显然也是有理数，并且 <math>a<(a+b)/2<b</math>，因此 <math>(a+b)/2</math> 既不在 <math>A</math> 中, 也不在 <math>A'</math> 中，这就与 <math>A\cup A'</math> 是全体有理数矛盾。

第三种情况揭示了在[[有理数]]域中存在这样的一种「空隙」（<math>A</math>和<math>A'</math>之间的'''界数'''），这个「空隙」所对应的数既不属于<math>A</math>，也不属于<math>A'</math>，因此它不是[[有理数]]，它所对应的数就是[[无理数]]，因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个[[无理数]]。

作为一个直观的理解，我们可以把上面三种分化分别看成 <math>(-\infty, d]\cup(d, +\infty)</math>、<math>(-\infty, d)\cup[d, +\infty)</math> 和 <math>(-\infty, d)\cup(d, +\infty)</math>，而“<math>A</math>中有最大数、<math>A'</math>中有最小数”的情况就是 <math>(-\infty, d]\cap[d, +\infty)</math>，中间的分割点d同时（不合法地）属于两边集合。

== 例子 ==
# 将所有小于或等于0的有理数划分为集合<math>A</math>，将所有余下的有理数（即大于0的有理数）划分为集合<math>A'</math>，则<math>A|A'</math>是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第1种情形。
# 将所有小于0的有理数划分为集合<math>A</math>，将所有余下的有理数（即大于或等于0的有理数）划分为集合<math>A'</math>，则<math>A|A'</math>是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第2种情形。
# 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数（即满足<math>\forall a \in \mathbb{Q}, a \leq 0, a^{2} \leq 3</math>的数）划分到集合<math>A</math>，将余下的有理数（即其平方大于3的正有理数）划分到集合<math>A'</math>，则<math>A|A'</math>是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第3种情形，此时戴德金分割<math>A|A'</math>定义了[[无理数]]<math>\sqrt[]{3}</math>。

== 定義大小 ==

假设[[无理数]]<math>\alpha</math>由分划<math>A|A'</math>所确定，无理数<math>\beta</math>由分划<math>B|B'</math>所确定，则
# 若[[集合 (數學)|集合]]<math>A=B</math>或<math>A'=B'</math>，则称无理数<math>\alpha</math>与<math>\beta</math>相等，记为<math>\alpha = \beta</math>。
# 若[[集合 (數學)|集合]]<math>A \supset B</math>（<math>A \neq B</math>），则称无理数<math>\alpha</math>大于<math>\beta</math>，记为<math>\alpha > \beta</math>。

无理数'''小于'''（<math><</math>）的概念可由'''大于'''（<math>></math>）的概念定义，即<math>\beta < \alpha</math>当且仅当<math>\alpha > \beta</math>。如此得到[[實數|實數系]]的大小關係，其性質有：
# 任意[[实数]]<math>\alpha , \beta</math>，必有且只有下列关系式之一成立：<math>\alpha = \beta, \alpha > \beta, \alpha < \beta</math>。
# 传递性：若[[实数]]<math>\alpha > \beta, \beta > \gamma</math>，则<math>\alpha > \gamma</math>。对于'''小于'''（<math><</math>）的情形，传递性同样成立。
所以該大小關係是[[全序關係]]。

== 参阅 ==
* [[无理数]]
* [[實數的構造]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}
*{{cite book |title = [[微积分学教程]]（第一卷）|edition = 第8版 |pages = 5–6 |ISBN = 5-9221-0436-5|author1 = [[菲赫金哥尔茨]]|author2 = [[杨弢亮]] 译|author3 = [[叶彦谦]] 译|author4 = [[郭思旭]] 校|publisher = [[高等教育出版社]]}}

{{有理數}}
[[Category:实数]]