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{{noteTA|G1=Math}}
[[Image:Bundle section.svg|right|thumb|纤维丛 ''p'' : ''E'' &rarr; ''B'' 的一个截面 ''s''。一个截面使得可以将底空间 ''B'' 等同于 ''E'' 的子空间 ''s''(''B'')。]]
[[Image:Vector field.svg|right|thumb|'''R'''<sup>2</sup> 上一个向量场。[[切丛]]的一个截面是一个向量场。]]
在[[数学]]之[[拓扑学]]领域中，[[拓扑空间]] ''B'' 上[[纤维丛]] ''&pi;'': ''E'' &rarr; ''B'' 的一个'''截面'''或'''横截面'''（{{lang|en|section 或 cross section}}），是一个[[连续映射]] ''s'' : ''B'' &rarr; ''E''，使得对 ''x'' 属于 ''B'' 有 ''&pi;''(''s''(''x''))=''x''。

==从函数图像开始==

截面是[[函数图像]]概念的某种推广。一个函数 ''g'' : ''X'' &rarr; ''Y'' 的图像可以等价于取值为 ''X'' 与 ''Y'' 的[[笛卡儿积]]的一个函数：
:<math> f(x) = (x,g(x)) \in E,\quad f:X\to E.\,</math>

一个截面是什么是一个函数图像的抽象刻划。令 &pi; : ''E'' &rarr; ''X'' 是到第一个分量的投影：&pi;(''x'',''y'') = ''x''，则一个图是任何使得 &pi;(''f''(''x''))=''x'' 的函数。

纤维丛的语言保证了截面的概念可以推广到当 ''E'' 不必为一个[[笛卡儿积]]的情形。如果 &pi; : ''E'' &rarr; ''B'' 是一个纤维丛，则一个截面是在每个纤维中选取一个点 ''f''(''x'') 。条件 &pi;(''f''(''x'')) = ''x'' 不过意味着在点 ''x'' 处的截面必须在 ''x'' 上（见右上图）。

例如，当 ''E'' 是一个[[向量丛]]，''E'' 的一个截面是在每一点 ''x'' &isin; ''B'' 上的向量空间 ''E''<sub>x</sub> 中有一个元素。特别地，[[光滑流形]] ''M'' 上一个[[向量场]]是在 ''M'' 的每一点选取一个[[切向量]]：这是 ''M'' 的切丛的一个截面。类似地，''M'' 上一个 [[1-形式]]是[[余切丛]]的一个截面。

==局部截面==
纤维丛一般不一定有如上的整体截面，从而定义局部截面也是有用的。纤维丛的一个'''局部截面'''（{{lang|en|local section}}）是一个连续函数 ''f'' : ''U'' &rarr; ''E''，其中 ''U'' 是 ''B'' 的一个[[开集]]，并满足 ''&pi;''(''f''(''x''))=''x'' 对所有 ''x'' &isin; ''U''。如果 (''U'', ''&phi;'') 是 ''E'' 的一个[[局部平凡化]]，这里 ''&phi;'' 是从 ''&pi;''<sup>-1</sup>(''U'') 到 ''U'' &times; ''F'' 一个[[同胚]]（这里 ''F'' 是[[纤维丛|纤维]]），在 ''U'' 上的整体截面总存在且[[一一对应]]于从 ''U'' 到 ''F'' 的连续函数。局部截面形成了 ''B'' 上一个[[层 (数学)|层]]，称为 ''E'' 的'''截面层'''（{{lang|en|sheaf of sections}}）。

一个纤维丛 ''E'' 在 ''U'' 上的连续截面有时记成 ''C''(''U'',''E'')，而 ''E'' 的整体截面通常记做 Γ(''E'') 或 Γ(''B'',''E'')。

截面在[[同伦论]]与[[代数拓扑]]中都有研究，其中一个主要目标是确定整体截面的存在性或不存在性。这导向了[[层上同调]]和[[示性类]]理论。例如，一个[[主丛]]有一个整体截面[[当且仅当]]它是[[平凡丛|平凡]]的。另一方面，一个[[向量丛]]总有一个整体截面，即[[零截面]]。但只有当它的[[欧拉类]]为零时，才有在任何地方都不为零的整体截面。关于向量场的零点可参见[[庞加莱-霍普夫定理]]。

==光滑截面==

截面，特别是对主丛和向量丛，是[[微分几何]]中的重要工具。在这种情形，底空间 ''B'' 是一个[[光滑流形]] ''M''，而 ''E'' 总假设是 ''M'' 上一个光滑纤维丛（即 ''E'' 是一个光滑流形且投影 ''&pi;'': ''E'' &rarr; ''M'' 是一个[[光滑映射]]）。此时，我们考虑 ''E'' 在一个开集 ''U'' 上的光滑截面，记做 ''C''<sup>∞</sup>(''U'',''E'')。在[[几何分析]]中，考虑具有中等正则性的截面也是有用的。例如 ''C''<sup>''k''</sup> 截面，或满足[[赫尔德条件]]或[[索伯列夫空间]]的截面。

== 另见 ==
* [[纤维化 (数学)|纤维化]]（{{le|Fibration}}）
* [[规范理论]]
* [[主丛]]
* [[拉回丛]]
* [[向量丛]]

== 参考文献 ==
* [[诺曼·斯廷罗德|Norman Steenrod]], ''The Topology of Fibre Bundles'', Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
* David Bleecker, ''Gauge Theory and Variational Principles'', Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7.

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20040808115056/http://planetmath.org/encyclopedia/FiberBundle.html Fiber Bundle], PlanetMath
* {{MathWorld|urlname=FiberBundle|title=Fiber Bundle}}


[[Category:代数拓扑|J]]
[[Category:同伦论|J]]
[[Category:纤维丛|J]]
[[Category:微分拓扑学|J]]