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{{unreferenced|time=2018-04-14T00:49:41+00:00}}
'''截線定理'''（英語：'''Intercept theorem'''），是[[平面幾何]]中的基本定理之一。截線定理說明，[[平面 (数学)|平面]]上的一個[[三角形]]中，若在其中一條腰的[[中點]]作一條直線，與其底邊[[平行]]，則該線穿過另一條腰的中點。這定理可推廣到[[梯形]]上，以及一般化至任意分割比例的情況。截線定理與另外兩條幾何定理[[中點定理]]和[[等比定理]]有密切關係。

==定理==

[[File:Triangle midpoints.svg|210px|right]]

截線定理的最基本形式是在三角形上的應用。

圖中有三角形 <math>ABC</math>，作一條直線 <math>DE</math> 與底邊 <math>AB </math> 平行。

截線定理說明，若 <math>AD=DC</math>，則 <math>BE=EC</math>。

換句話說，<math>DE</math> 是三角形 <math>ABC</math> 的[[中位線]]。{{clr}}

[[File:Trapezoid midpoint.svg|275px|right]]

這定理能簡單推廣到梯形上應用。

圖中有梯形 <math>FGIH</math>，其中 <math>FG \parallel HI</math>。作一條直線 <math>JK</math> 與上底 <math>HI</math> 和下底 <math>FG</math> 平行。

截線定理說明，若 <math>FJ=JH</math>，則 <math>GK=KI</math>。

同樣地，<math>JK</math> 是梯形 <math>FGIH</math> 的中位線。{{clr}}
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==一般化定理==

對於平行線將腰分割成任意比例的情形，一般化截線定理則給出，左右兩條腰的分割比例相等。

在上圖的三角形 <math>ABC</math> 中，若 <math>DE \parallel AB</math>，則有 <math>\frac{AD}{DC}=\frac{BE}{EC}</math>。{{clr}}

同樣地，在梯形 <math>FGIH</math>，若 <math>JK \parallel FG \parallel HI</math>，則有 <math>\frac{FJ}{JH}=\frac{GK}{KI}</math>。{{clr}}

==證明==

這定理能以[[相似三角形]]簡單證明。


考慮上圖的 <math>\Delta ABC</math> 和 <math>\Delta DEC</math>。由於

*<math>\angle ACB = \angle DCE</math> （公共角）
*<math>\angle CAB = \angle CDE</math> （平行線的同位角）
*<math>\angle CBA = \angle CED</math> （平行線的同位角）

所以<math>\Delta ABC \sim \Delta DEC</math>。（等角）

由此可得 <math>\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}</math> 。（相似三角形的對應邊）

因此 <math>\frac{AD}{DC}=\frac{BE}{EC}</math>。

證畢。


對於梯形的情況，考慮梯形 <math>FGIH</math> ，在 <math>I</math> 上作一直線，與 <math>FH</math> 平行，並與 <math>JK</math> 和 <math>FG</math> 分別相交於 <math>L</math> 和 <math>M</math>。

由定義可知，<math>FMLJ</math> 和 <math>JLIH</math> 是[[平行四邊形]]。

因此 <math>FJ=ML</math> 及 <math>JH=LI</math>。（平行四邊形的對邊）

上面已證明，由 <math>JK \parallel FG</math>，可知 <math>\frac{ML}{LI}=\frac{GK}{KI}</math>。

代入可得 <math>\frac{FJ}{JH}=\frac{GK}{KI}</math>。

證畢。

==參見==
*[[平面幾何]]
*[[三角形]]
*[[梯形]]
*[[中位線]]
*[[相似三角形]]
*[[中點定理]]
*[[等比定理]]
*[[宇恆定理]]

== 参考来源 ==
* {{Cite book |last=Schupp |first=H. |title=Elementargeometrie |location= |publisher=UTB Schöningh |year=1977 |isbn=3-506-99189-2 |pages=124–126 |language=de}}
* {{Cite book |first=Manfred |last=Leppig |title=Lernstufen Mathematik |location= |publisher=Girardet |year=1981 |isbn=3-7736-2005-5 |pages=157–170 |language=de}}
* {{cite book|title=Elementary Geometry|first1=Ilka|last1=Agricola|author1-link=Ilka Agricola|first2=Thomas|last2=Friedrich|publisher=AMS|year=2008|isbn=0-8218-4347-8|pages=10–13, 16–18|language=en|url=https://books.google.com/books?id=LLXxBwAAQBAJ&pg=PA10#v=onepage&q&f=false|access-date=2018-04-14|archive-date=2022-06-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20220601181916/https://books.google.com/books?id=LLXxBwAAQBAJ&pg=PA10#v=onepage&q&f=false}}
* {{Cite book |first=John |last=Stillwell |title=The Four Pillars of Geometry |location= |publisher=Springer |year=2005 |isbn=978-0-387-25530-9 |page=34 |language=en |url=https://books.google.com/books?id=fpAjJ6VJ3y8C&pg=PA34 |access-date=2018-04-14 |archive-date=2022-06-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220601181912/https://books.google.com/books?id=fpAjJ6VJ3y8C&pg=PA34 }}
* {{cite book|title=Geometry by Its History|first1=Alexander|last1=Ostermann|first2=Gerhard|last2=Wanner|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-3-642-29163-0|pages=3–7|language=en|url=https://books.google.com/books?id=eOSqPHwWJX8C&pg=PA3#v=onepage&q&f=false|access-date=2018-04-14|archive-date=2022-06-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20220601181912/https://books.google.com/books?id=eOSqPHwWJX8C&pg=PA3#v=onepage&q&f=false}}

== 外部链接 ==
{{commons category}}
* [http://planetmath.org/intercepttheorem 截线定理（PlanetMath）] {{Wayback|url=http://planetmath.org/intercepttheorem |date=20201009081607 }}
*Alexander Bogomolny: [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ThalesTheorems.shtml ''Thales' Theorems''] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ThalesTheorems.shtml |date=20200918080947 }} and in particular [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/GeoGebra/ThalesTheorem.shtml ''Thales' Theorem''] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/GeoGebra/ThalesTheorem.shtml |date=20200923195548 }} at [[Cut-the-Knot]]