查看“︁截半截角二十面體”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{Infobox polyhedron
| name = 截半截角二十面體
| polyhedron = 截半截角二十面體
| imagename = Rectified truncated icosahedron.svg
| rotating =  截角半正三十二面體.gif
| rinfo = （-{zh-hant:點選檢視旋轉模型;zh-hans:单击查看旋转模型;}-）
| Type = [[康威多面體]]<br/>[[擬詹森多面體]]
| Face = 92
| Edge = 180
| Vertice = 90
| Vertice_type = 3.6.3.6<br>3.5.3.6
| Schläfli = rt{3,5}
| Wythoff = 
| Face_configuration = 60個[[等腰三角形|{ }∨( )]] [[等腰三角形|等腰三角]]<BR>12個[[正五邊形|{5}]] [[正五邊形]]<BR>20個[[正六邊形|{6}]] [[正六邊形]]
| Conway = atI
| Symmetry_group = ''I''<sub>''h''</sub>, [5,3], (*532) order 120
| dual = [[菱形九十面體]]
| Rotation_group = I, [5,3]<sup>+</sup>, (532), order 60
| Properties = 凸
| 3d_image = Rectified truncated icosahedron.svg 
| vfigimage = (3.6)^2 vertex.svg{{!}}120px{{LinkSymbol|)(}}File:3.5.3.6 vertex.svg
| dual_image = Rhombic enneacontahedron.png
| net_image =  截角半正三十二面體展開圖.svg
}}
'''截半截角二十面體'''（{{lang|en|rectified truncated icosahedron}}）是一種[[凸集|凸]][[多面體]]，屬於[[環帶多面體]]，其[[對偶多面體]]為[[菱形九十面體]]。有92個面，其中有[[12]]個[[正五邊形]]、20個等邊[[六邊形]]和60個[[等腰三角形]]組成。在截半截角二十面體[[92]]個[[面 (幾何)|面]]中，只有[[12]]個[[正多邊形]]。

截半截角二十面體是套用[[截半]]變換的[[截角二十面體]]，也就是由[[截角二十面體]]截去所有頂點並截到各邊的[[中點]]所構成，雖然它看似[[半正多面體]]，但並不是，因為它只有五邊形是[[正多邊形]]，三角形和六邊形皆非正多邊形，由於該多面體由正多邊形與非常接近正多邊形的對稱等邊多邊形組成，因此，此多面體又可以被歸類為[[擬詹森多面體]]<ref>[http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/projects/nearmisses/ Near Misses] {{Wayback|url=http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/projects/nearmisses/ |date=20120716191121 }} I(1,2,*,[2]) cgl.uwaterloo.ca [2016-1-7]</ref><ref>Craig S. Kaplan and George W. Hart. [http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/papers/bridges2001.html Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons] {{Wayback|url=http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/papers/bridges2001.html |date=20150911003956 }}. In Bridges 2001: Mathematical Connections in Art, Music and Science, 2001.</ref>。

== 性質 ==
截半截角二十面體有三種形式，一種是直接[[截半]]切去所有頂角至稜的中點所構成的由正五邊形、等邊六邊形和[[等腰三角形]]組成的形式；另一種是在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的形式；還有一種是所有邊都等長的等邊形式。每種形式皆由92個面、180條邊和90個頂點組成，且92個面中皆有12個等邊五邊形、20個等邊六邊形和60個等腰三角形，其中等邊五邊形、等邊六邊形在各形式中可能成為[[正多邊形]]。每種形式的邊長比、半徑和體積皆不相同，但外觀和展開圖都十分相似。

各形式的頂點都可以分為兩種，一種是2個三角形和2個六邊形的公共頂點，且面在頂點周圍依照三角形、六邊形、三角形和六邊形的順序排-{}-列，在頂點圖中，可以用3.6.3.6來表示；另一種是2個三角形和1個五邊形和1個六邊形的公共頂點，且面在頂點周圍依照三角形、五邊形、三角形和六邊形的順序排-{}-列，在頂點圖中，可以用3.5.3.6來表示。
=== 面的組成 ===
在由正五邊形、等邊六邊形和[[等腰三角形]]組成的截半截角二十面體形式中，等邊[[六邊形]]有兩組[[角]]，分別為<math>\arccos\frac{\sqrt{3}-\sqrt{39}}{8}\approx124.34^\circ</math>和<math>\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\approx115.66^\circ</math>；等腰三角形的[[底角]]為<math>\arccos\frac{\sqrt{72-6\sqrt{3}-6\sqrt{15}}}{12}\approx58.92^\circ</math>，頂角為<math>\arccos\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{12}\approx62.15^\circ</math>，其中<math>\arccos</math>為[[反餘弦函數]]。

在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，有兩種邊長，正五邊形的邊長較短，對應等腰三角形的底邊、正六邊形的邊長較長，對應等腰三角形的腰。若較短的邊長為單位長，則較長的邊為<math>\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}2\approx 1.070466</math><ref name="dmccooey RectifiedTruncatedIcosahedron">{{cite web | url = http://dmccooey.com/polyhedra/RectifiedTruncatedIcosahedron.html | title = Rectified Archimedean Solids: Rectified Truncated Icosahedron | author = David I. McCooey | access-date = 2023-01-23 | archive-date = 2023-01-23 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230123133704/http://dmccooey.com/polyhedra/RectifiedTruncatedIcosahedron.html | dead-url = no }}</ref>。

=== 體積 ===
等邊的截半截角二十面體形式，若其邊長為單位長，則其體積為：<ref name="dmccooey EqualEdgeRectifiedTruncatedIcosahedron">{{cite web | url = http://dmccooey.com/polyhedra/EqualEdgeRectifiedTruncatedIcosahedron.html | title = Rectified Archimedean Solids: Rectified Truncated Icosahedron with equal edges | author = David I. McCooey | access-date = 2023-01-23 | archive-date = 2023-01-23 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230123134725/http://dmccooey.com/polyhedra/EqualEdgeRectifiedTruncatedIcosahedron.html | dead-url = no }}</ref>
:<math>\frac{180+33\sqrt{5}+5\sqrt{983+978\sqrt{5}}}6\approx 89.2164</math>
在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，若短邊長為單位長，則其體積為：<ref name="dmccooey RectifiedTruncatedIcosahedron"/>
:<math>73\sqrt{5}-60\approx 103.23296</math>
在由正五邊形、等邊六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，若其[[中分球]]半徑為1，則其體積為一個八次方成之根的平方根，約為4.0095940519753525228。<ref name="dmccooey CanonicalRectifiedTruncatedIcosahedron">{{cite web | url = http://dmccooey.com/polyhedra/CanonicalRectifiedTruncatedIcosahedron.html | title = Rectified Archimedean Solids: Canonical Rectified Truncated Icosahedron | author = David I. McCooey | access-date = 2023-01-23 | archive-date = 2023-01-23 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230123135436/http://dmccooey.com/polyhedra/CanonicalRectifiedTruncatedIcosahedron.html | dead-url = no }}</ref>

== 圖像 ==
下圖為截半截角二十面體的旋轉動畫：
:[[File:截角半正三十二面體.gif|200px]]
下圖為截半截角二十面體的透視圖<ref name="圖解數學辭典">《圖解數學辭典》天下遠見出版 [[多面體]] ISBN 986-417-614-5</ref>：
:[[File:Rectified_truncated_icosahedron.svg|200px]]
下圖為截半截角二十面體的另一種上色方式：
:[[File:Rectified_truncated_icosahedron.png|200px]]

== 相關多面體 ==
{| class=wikitable
!名稱
![[截角二十面體|截角<br/>二十面體]]
!二次截角<br/>二十面體
!截半<br/>截角二十面體
!小斜方截半<br/>截角二十面體
!大斜方截半<br/>截角二十面體
!扭稜<br/>截角二十面體
|- align=center
!考特
!rowspan=2|tI
!rowspan=2|ttI
!rtI
!rrtI
!trtI
!srtI
|- align=center
![[康威多面體表示法|康威]]
!atI
!etI
!btI
!stI
|- align=center
!圖像
|[[File:Uniform polyhedron-53-t12.png|80px]]
|[[File:Truncated truncated icosahedron.png|80px]]
|[[File:Rectified truncated icosahedron.png|80px]]
|[[File:Expanded truncated icosahedron.png|80px]]
|[[File:Truncated rectified truncated icosahedron.png|80px]]
|[[File:Snub rectified truncated icosahedron.png|80px]]
<!--|-
!展開圖
|[[File:Truncated icosahedron flat.png|80px]]
|[[File:Truncated truncated icosahedron net.png|80px]]
|[[File:Rectified truncated icosahedron net.png|80px]]
|[[File:Expanded truncated icosahedron net.png|80px]]
|
|[[File:Snub rectified truncated icosahedron net.png|80px]]-->
|- align=center
!康威表示法
! [[五角化十二面體|dtI = kD]]
! kdtI
! [[菱形九十面體|jtI]]
! otI
! mtI
! gtI
|- align=center
!對偶多面體
|[[File:Pentakis dodecahedron.png|80px]]
|[[File:Kissed kissed dodecahedron.png|80px]]
|[[File:joined truncated icosahedron.png|80px]]
|[[File:ortho truncated icosahedron.png|80px]]
|[[File:meta truncated icosahedron.png|80px]]
|[[File:gyro truncated icosahedron.png|80px]]
|-
<!--!展開圖
|[[File:Pentakisdodecahedron net.png|80px]]
|[[File:Kissed kissed dodecahedron net.png|80px]]
|[[File:Rhombic enneacontahedron flat.png|80px]]
|[[File:Ortho truncated icosahedron net.png|80px]]
|
|[[File:Gyro truncated icosahedron net.png|80px]]-->
|}

== 參見 ==
* {{link-en|截半截角四面體|Rectified truncated tetrahedron}}
* [[截半截角八面體]]
* {{link-en|截半截角立方體|Rectified truncated cube}}
* {{link-en|截半截角十二面體|Rectified truncated dodecahedron}}

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
== 延伸阅读 ==
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]] ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp.&nbsp;145–154 Chapter 8: Truncation)
* [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ''The Symmetries of Things'' 2008, ISBN 978-1-56881-220-5

== 外部連結 ==
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html George Hart's Conway interpreter] {{Wayback|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html |date=20141129085342 }}: generates polyhedra in [[VRML]], taking Conway notation as input

{{擬詹森多面體}}
{{康威多面體}}
{{Convex polyhedron navigator}}
[[Category:多面體]]