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在數學領域[[代數拓撲學]]的[[同倫論]]中，'''懷特海德定理'''說，[[拓撲空間]]''X''和''Y''之間的[[連續映射]]''f''，誘導出所有同倫群之間的[[群同構|同構]]，則當''X''和''Y''是[[連通]]，並都有[[CW複形]]的同倫型的時候，''f''是[[同倫等價]]。這條定理是[[J.H.C.懷特海德]]在1949年的兩篇重要論文中證明，給出理由以他在論文所引入的[[CW複形]]概念作為研究對象。

== 定理敘述 ==
更準確而言，假設給定CW複形''X''和''Y''，各有基點''x''和''y''。給定連續映射

:<math>f\colon X \to Y</math>

使得''f''(''x'') = ''y''。考慮對於''n'' ≥ 1 的誘導同態

:<math>f_*\colon \pi_n(X,x) \to \pi_n(Y,y),</math>

在此 π<sub>''n''</sub> 對 ''n'' ≥ 1 是第''n''個同倫群。當 ''n'' = 0 ，這是道路連通分支間的映射，若假設''X''和''Y''是連通的，那麼這映射不具有基点，可以忽略掉。若同態 ''f''<sub>*</sub> 都是同構，便稱 ''f'' 為一個'''弱同倫等價'''。懷特海德定理說對於連通CW複形，一個弱同倫等價是一個同倫等價。

==有同構同倫群的空間未必是同倫等價==
有一點要注意：單單假設對每個''n'' ≥ 1都有π<sub>''n''</sub>(''X'')與π<sub>''n''</sub>(''Y'')同構，並不足以得出''X''和''Y''是同倫等價。定理中必需設有映射''f'' : ''X'' → ''Y''能同時誘導出所有同倫群的同構。例如令 ''X''= [[超球面|''S''<sup>2</sup>]] × [[實射影空間|'''RP'''<sup>3</sup>]]和''Y''= '''RP'''<sup>2</sup> × ''S''<sup>3</sup>。那麼''X''和''Y''有相同的[[基本群]]π<sub>1</sub>，即是'''Z'''<sub>2</sub>，也有相同的[[萬有覆疊空間]]，即是''S''<sup>2</sup> × ''S''<sup>3</sup>；因此它們有同構的同倫群（[[覆疊空間]]的投影誘導出對所有''n'' ≥ 2的同倫群π<sub>''n''</sub>的同構）。不過，它們的[[同調群]]不同（可以從[[屈內特定理|屈內特公式]]看出）；所以''X''和''Y''不是同倫等價。

[[File:Warsaw_Circle.png|thumb|right|華沙圈]]
懷特海德定理對於一般拓撲空間不成立，甚至不對'''R<sup>''n''</sup>'''的所有子空間成立。例如，[[華沙圈]]（Warsaw circle）是平面的子集，所有的同倫群都是零，但是從華沙圈到一點的映射不是一個同倫等價。將這定理推廣至更一般空間的研究，是[[形狀理論]]的一部份。

==參考文獻==
* J. H. C. Whitehead, ''Combinatorial homotopy. I.'', Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213–245
* J. H. C. Whitehead, ''Combinatorial homotopy. II.'', Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453–496
* A. Hatcher, [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html ''Algebraic topology'']{{Wayback|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |date=20120206155217 }}, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp.&nbsp;ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0  (see Theorem 4.5)

[[Category:同倫論]]