查看“︁愛因斯坦-嘉當理論”︁的源代码

{{NoteTA|G1=物理学}}
{{multiple issues|
{{expert|subject=物理}}
{{refimprove|time=2015-09-21T17:26:15+08:00}}
}}
'''愛因斯坦-嘉當理論'''（{{lang-en|Einstein-Cartan theory}}）是理論物理學中將[[廣義相對論]]延伸以正確處理[[自旋角動量]]。此理論以物理學家[[阿爾伯特·愛因斯坦]]以及[[埃利·嘉當]]（{{lang|en|Élie Cartan}})為名。

作為古典物理中的主要理論，廣義相對論卻有一個缺點：其無法描述「[[自旋軌道耦合]]」（{{lang|en|spin-orbit coupling}}），亦即[[內稟角動量]]（{{lang|en|intrinsic angular momentum}}）（[[自旋]]）與[[軌道角動量]]（{{lang|en|orbital angular momentum}}）間的交換。存在有定量的理論證明，其顯示：當物體具有自旋性質時，廣義相對論必須要擴充成愛因斯坦-嘉當理論。

實驗上的效應由於太小，目前尚無法觀測得到。

== 歷史 ==
該理論最早由埃利·嘉當(Élie Cartan)於 1922 年提出，並在隨後的幾年中得到了闡述。阿爾伯特愛因斯坦於 1928 年開始加入該理論，當時他試圖將撓率與電磁場張量匹配作為統一場論的一部分，但沒有成功。這一思路引導他得出了相關但不同的遠程並行理論。

Dennis Sciama和Tom Kibble在20世紀60年代獨立地重新審視了該理論，並於1976年發表了一篇重要評論。

愛因斯坦-嘉當理論在歷史上一直被無扭轉理論和布蘭斯-迪克理論等其他替代理論所掩蓋，因為扭轉似乎以犧牲方程式的易處理性為代價，幾乎沒有增加預測的好處。由於愛因斯坦-嘉當理論是純粹經典的，它也沒有完全解決量子重力問題。在愛因斯坦-嘉當理論中，狄拉克方程式變得非線性。最近，人們對愛因斯坦-嘉當理論的興趣已經轉向宇宙學意義，最重要的是，避免了宇宙開始時的引力奇點。該理論被認為是可行的，並且仍然是物理學界的活躍話題。

該理論間接影響了圈量子重力（並且似乎也影響了扭量理論）。

== 動機 ==

廣義相對論無法描述自旋軌道耦合的理由根源於[[黎曼幾何]]，而廣義相對論是建構於其上。在黎曼幾何中，[[里奇曲率張量]]（Ricci curvature tensor）<math>R_{ab}</math>必須是''a''與''b''對稱的（亦即，<math>R_{ab}=R_{ba}</math>）。因此愛因斯坦曲率張量(Einstein curvature tensor)<math>G_{ab}</math>定義為

:<math>G_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{2}R g_{ab}</math>

也必須是對稱的。在廣義相對論中，愛因斯坦曲率張量為局域重力建構了模型，且其（透過[[重力常數]]的聯繫）等同於[[應力-能量張量]]或[[能量-動量張量]]<math>P_{ab}</math>（此處我們將能量-動量張量表示為''P''，是因為廣義相對論中常用來表示能量-動量張量的''T''在愛因斯坦-嘉當理論留給[[仿射扭率]](affine torsion)。）愛因斯坦曲率張量的對稱性強迫動量張量必須是對稱的。然而，當自旋與軌道角動量進行交換時，根據角動量守恆的廣義式，則知動量張量為不對稱的。

:{{le|自旋流|spin current}}(spin current)之散度——<math>\frac{1}{2}\left(T_{ab}-T_{ba}\right)=0</math>

''細節請參考{{le|自旋張量|spin tensor}}(spin tensor)條目。''

因此廣義相對論無法適當地為[[自旋軌道耦合]]建構模型。

於1922年，[[埃利·嘉當]]提出猜想認為[[廣義相對論]]應該被延伸成包括[[仿射扭率]](affine torsion)，其允許[[里奇張量]]可以是不對稱的。雖然自旋-軌道耦合是重力物理學中相對次要的現象，愛因斯坦–嘉當理論則相當重要，因為
: (1) 其顯示出[[仿射]]理論，而非[[度規]]理論，對於重力能提供更好的描述；
: (2) 其解釋仿射扭率的意義，在一些[[量子重力]]理論中自然出現；
: (3) 其將[[自旋]]詮釋為仿射扭率，在幾何意義上是時空介質(spacetime medium)之位錯場(field of dislocations)的一項連續近似。
將黎曼幾何擴充以包含了仿射扭率則稱為'''黎曼-嘉當幾何'''(Riemann–Cartan geometry)。

== 幾何與表示式 ==
時空物理學的數學基礎是仿射微分幾何(affine differential geometry)，其中我們賦予n維[[微分流形]]M 一項沿著M上路徑對向量作[[平行移動]]的定律。（一微分流形的每個點，我們都有切向量所組成的一個線性空間，不過我們無法將向量移動到其他點，或是去比較M上位於不同兩點上的向量。）[[平行移動]]保存了向量間的線性關係；也就是說，若兩向量 <math>\vec{u}</math> 與 <math>\vec{v}</math> 在M上同一點，沿著一曲線被平行移動成為向量 <math>\vec{u}^{\prime}</math> 與 <math>\vec{v}^{\prime}</math>，則兩者的線性組合
:<math>a \vec{u}</math> + <math>b \vec{v}</math>
也平行移動為
:<math>a \vec{u}^{\prime}</math> + <math>b \vec{v}^{\prime}</math>。

仿射微分幾何中的平行性(Parallelism)是路徑相依(path-dependent)的；也就是說，如果沿著同起點與同終點之兩相異路徑平行移動一向量，在終點所得的結果向量一般來說是相異的。這樣的差異本質上即為曲率的影響，而曲率在微分幾何中是個中心概念。

== 愛因斯坦-嘉當引力理论简介 ==
=== 用标架场重写愛因斯坦引力理论 ===
用标架场<math>\lambda _{\mu }^{(\alpha )}</math> 代替度规场<math>{{g}_{\mu \nu }}</math> ，我们可以得到用标架场<math>\lambda _{\mu }^{(\alpha )}</math> （仅考虑内禀坐标系变换是整体Lorentz变换）表示的两种等价形式的推广的爱因斯坦引力场运动方程为：
*（1）引力场运动方程第一形式：<math>\frac{D{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}}{D{{x}^{\nu }}}=\frac{16\pi G}{{{c}^{4}}}{{P}^{(\alpha )\mu }}</math>
*（2）引力场运动方程第二形式：<math>{{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R+\frac{1}{2}\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\frac{DK_{{}}^{(\alpha )\mu \rho }}{D{{x}^{\rho }}}=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{m}^{\nu \mu }-P_{gk}^{\nu \mu } \right)</math>
其中：
: <math>{{P}^{(\alpha )\mu }}=P_{m}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }</math>
: <math> \begin{align}
  & {{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }+K_{{}}^{(\alpha )\mu \nu } \\ 
 & Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }={{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\left( {{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }} \right)-2\left( {{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }} \right) \\ 
 & K_{{}}^{(\alpha )\mu \nu }=\beta _{1}^{{}}{{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\beta _{2}^{{}}\left( {{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }} \right)-2\beta _{3}^{{}}\left( {{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }} \right) \\ 
\end{align} </math>
: <math>P_{g}^{(\alpha )\mu }=\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\left( -{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{Q}^{\lambda \mu \sigma }}+\frac{1}{4}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{Q}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu } \right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}</math>
: <math>\begin{align}
  & P_{m}^{(\alpha )\mu }=-\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \left( {{L}_{m}}\sqrt{-g} \right)}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}=-\frac{\delta {{L}_{m}}}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}-{{L}_{m}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }} \\ 
 &  \\ 
\end{align}</math>
: <math>P_{gk}^{(\alpha )\mu }=\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\left( -{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{K}^{\lambda \mu \sigma }}+\frac{1}{4}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{K}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu } \right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}</math>
当 <math>{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},{{\beta }_{3}}<<1</math>时，由引力场运动方程的第二形式得到爱因斯坦引力场运动方程： 
<math>{{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}P_{m}^{\nu \mu }</math>

=== 愛因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾 ===
考虑电子与引力的作用时，我们需要引入标架仿射联络<math>\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}</math> 。在黎曼时空中，存在关系式：<math>{{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+\hat{\Gamma }_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}=0</math> ，标架场与标架仿射联络不独立。
因此，黎曼时空中的电子场、电磁场及引力场的运动才方程为：
 
(1)电子场运动方程：
: <math>\left\{ \begin{align}
  & i\hbar {{\gamma }^{\mu }}{{D}_{\mu }}\psi -mc\psi =0 \\ 
 & i\hbar {{D}_{\mu }}\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}+mc\bar{\psi }=0 \\ 
\end{align} \right.</math>

(2)电磁场运动方程：
: <math>{{D}_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }</math>

(3)引力场运动方程：
: <math>{{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{\nu \mu }+P_{\gamma }^{\nu \mu }-\frac{1}{2}D_{\sigma }^{{}}{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\sigma }\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\lambda _{(\beta )}^{\mu } \right)</math>

根据电子场运动方程得到能量-动量流运动方程为：
: <math>{{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }+\frac{1}{2}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }s_{e}^{(\alpha \beta )\nu }</math>

根据引力场运动方程得到能量-动量流运动方程为：
: <math>{{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }-\frac{1}{4}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\nu }</math>
上述结果表明，从电子场运动方程得到的能量-动量流运动方程与从引力场运动方程得到的能量-动量流运动方程是不相容的。

=== 有挠时空引力理论（愛因斯坦-嘉當理论） ===
在有挠时空中，标架场 <math>\lambda _{\mu }^{(\alpha )}</math>与标架仿射联络<math>\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}</math> 是独立的，标架场<math>\lambda _{\mu }^{(\alpha )}</math> 描述时空的弯曲，标架仿射联络<math>\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}</math>  描述时空的扭曲，并且有：
:<math>{{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+\hat{\Gamma }_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}\ne 0</math> 
有挠时空中的引力场推广为引力-自旋场，因此简化形式的愛因斯坦-嘉當引力-自旋场的运动方程：

(1)电子场运动方程：
:<math>\left\{ \begin{align}
  & \frac{1}{2}\left( i\hbar {{\gamma }^{\mu }}D_{\mu }^{{}}\psi +i\hbar D_{\mu }^{{}}({{\gamma }^{\mu }}\psi ) \right)-mc\psi =0 \\ 
 & \frac{1}{2}\left( i\hbar D_{\mu }^{{}}\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}+i\hbar D_{\mu }^{{}}(\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}) \right)+mc\bar{\psi }=0 \\ 
\end{align} \right.</math>

(2)电磁场运动方程：
:<math>D_{\nu }^{{}}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }</math>

(3)自旋场运动方程：
:<math>D_{\nu }^{{}}{{R}^{(\alpha \beta )\mu \nu }}=\frac{8\pi \kappa }{{{c}^{4}}}\left( s_{e}^{(\alpha \beta )\mu }+s_{g}^{(\alpha \beta )\mu } \right)</math>

(4)引力场运动方程：

a.	第一形式：
: <math>D_{\nu }^{{}}{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=\frac{16\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }-\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\bar{\beta }\left( 2{{{\hat{R}}}^{\mu (\alpha )}}-\hat{R}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }} \right) \right)</math>

b.	第二形式：
:<math>\bar{\beta }\left( R_{\nu }^{\mu }-\frac{1}{2}\delta _{\nu }^{\mu }R \right)\lambda _{{}}^{(\alpha )\nu }+\frac{1}{2}\beta D_{\nu }^{{}}{{\bar{K}}^{(\alpha )\mu \nu }}=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{gk}^{(\alpha )\mu } \right)</math>

可以证明上述运动方程是相容的，因此有挠时空的愛因斯坦-嘉當引力-自旋场理论消除了爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾。

== 应用 ==
*解释宇宙加速膨胀
*解释先锋异常
*解释星系转动曲线
*预言带电物体周围的引力异常
*预言日月食的引力异常

==參見==
*[[ECT理论-牛顿引力理论]]

==参考文献==
{{reflist}}
<div class="references-small">
* {{cite journal en
 | quotes = 
 | last=Tang
 | first=Feilin
 | authorlink = 
 | coauthors = 
 | date = 
 | year =2010 
 | month = 
 | title =The New Vierbein Form of Gravitational Equations and Localized Energy-Momentum Tensors of Gravitational Field 
 | journal =Frontier Science 
 | volume = 
 | issue =04 
 | pages =47–65 
 | publisher = 
 | location = 
 | issn =1673-8128
 | pmid = 
 | doi = 
 | bibcode = 
 | oclc =
 | id = 
 | url =http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_qykex201004008.aspx 
 | language =zh 
 | format = 
 | accessdate = 
 | laysummary = 
 | laysource = 
 | laydate = 
 | quote = 
 }}

* {{cite journal en
 | quotes = 
 | last=Tang
 | first=Feilin
 | authorlink = 
 | coauthors = 
 | date = 
 | year =2011 
 | month = 
 | title =Contradiction Between Einstein Gravitational Theory and Dirac Electron Theory in Riemann Space-Time
 
 | journal =Frontier Science 
 | volume = 
 | issue =03 
 | pages =56–68 
 | publisher = 
 | location = 
 | issn =1673-8128
 | pmid = 
 | doi = 
 | bibcode = 
 | oclc =
 | id = 
 | url =http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_qykex201103009.aspx
 | language = 
 | format = 
 | accessdate = 
 | laysummary = 
 | laysource = 
 | laydate = 
 | quote = 
 }}

* {{cite journal en 
 | quotes = 
 | last =Tang 
 | first =Feilin 
 | authorlink = 
 | coauthors = 
 | date = 
 | year =2012 
 | month = 
 | title =A Localized Lorentz Gauge Invariant Gravitational Theory In Space-Time With Torsion 
 | journal =Frontier Science 
 | volume =6 
 | issue =01 
 | pages =65–87 
 | publisher = 
 | location = 
 | issn =1673-8128 
 | pmid = 
 | doi = 
 | bibcode = 
 | oclc = 
 | id = 
 | url =http://acad.cnki.net/Kns55/brief/result.aspx?dbPrefix=CJFQ 
 | language =en 
 | format = 
 | accessdate = 
 | laysummary = 
 | laysource = 
 | laydate = 
 | quote = 
 | archive-date =2016-01-11 
 | archive-url =https://web.archive.org/web/20160111142216/http://acad.cnki.net/Kns55/brief/result.aspx?dbPrefix=CJFQ 
 | dead-url =no 
 }}
* {{cite journal en 
 | quotes = 
 | last =Will 
 | first =C.M. 
 | authorlink = 
 | coauthors = 
 | date = 
 | year =2009 
 | month = 
 | title =The Confrontation between General Relativity and Experiment 
 | journal =Living Rev. Relativity 
 | volume = 
 | issue = 
 | pages = 
 | publisher = 
 | location = 
 | issn = 
 | pmid = 
 | doi = 
 | bibcode = 
 | oclc = 
 | id = 
 | url =http://www.livingreviews.org/lrr-2006-3 
 | language =en 
 | format = 
 | accessdate = 
 | laysummary = 
 | laysource = 
 | laydate = 
 | quote = 
 | archive-date =2019-12-10 
 | archive-url =https://web.archive.org/web/20191210094540/http://www.livingreviews.org/lrr-2006-3 
 | dead-url =yes 
 }}

</div>

{{重力理論}}

[[Category:广义相对论]]
[[Category:重力理论]]