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{{unreferenced|time=2019-04-01T11:50:28+00:00}}
'''恆等函數'''（{{lang-en|Identity function}}）是[[数学]]中对于傳回和其輸入值相同的[[函數]]的称呼。換句話說，恆等函數為函數<math>f(x)~=~x</math>。

{{各種函數}}

== 定義 ==
設M為一[[集合 (数学)|集合]]，於M上的恆等函數f被定義於一具有[[定義域]]和[[陪域]]M的函數，其對任一M內的元素x，會有<math>f(x)=x</math>的關係。

於M上的恆等函數f通常標記為<math>\operatorname{Id}_m</math>或<math>{1}_m</math>。

== 代數性質 ==
設''f'' : ''M'' → ''N''為任一函數，則會有''f'' <small>o</small> id<sub>''M''</sub> = ''f'' = id<sub>''N''</sub> <small>o</small> ''f''（其中"<small>o</small>"為[[函數複合]]）。特別地是，id<sub>''M''</sub>會是所有由''M''至''M''的函數所組成之[[幺半群]]的[[單位元]]。

因為幺半群的單位元是[[唯一量化|唯一]]的，也可以反過來把''M''上的恆等函數定義為這個幺半群的單位元。此一定義廣義化成了於[[範疇論]]中[[態射|恆等態射]]的概念，其中''M''的[[自同態]]並不必然是函數。

== 例子 ==
* 於正[[整數]]上的恆等函數為一[[數論]]中的[[積性函數|完全積性函數]]。
* 在任意一个 ''n'' 維[[向量空間]]內，恆等函數表示成[[單位矩陣]]''I''<sub>''n''</sub>，不論其[[基_(線性代數)|基]]為何。
* 在任意一个[[度量空間]]，恆等函數很當然地為[[等距同構]]。一無任何[[對稱]]的物件會有一[[對稱群]]，即只包含這個恆等函數的平凡群''C<sub>1</sub>。

== 参见 ==
*[[內含映射]]

[[Category:函数]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:集合論基本概念]]
[[Category:各类函数]]
[[Category:一]]