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{{No footnotes|time=2023-02-19T15:30:31+00:00}}
[[File:Winding Number Around Point.svg|thumb|300px|总曲率为 6''π''的曲线，曲线的指数/转数为 3，关于 p 点有绕数 2。]]
在[[数学]]中的[[曲线微分几何]]的研究中，一个[[浸入]]在平面上的曲线的'''总曲率'''是[[曲率]]的曲线积分：

:<math>\int_a^b k(s)\,ds.</math>

闭曲线的总曲率是 2&pi; 的整数倍，该整数称为曲线的'''指数'''或'''[[转数]]'''。其中[[转数]]是单位切向量关于起点的[[卷繞數|绕数]]，或者等价的[[高斯映射]]的次数。
局部不变量曲率和整体拓扑不变量指数的关系是高维[[黎曼几何]]的代表性结果，如[[高斯-博内定理|高斯－博內定理]]。

== 不变量 ==
根据[[惠特尼－格劳斯坦定理]]，总曲率在曲线的[[正则同伦]]下不变：总曲率是[[高斯映射]]的次数。然而，它不是同伦下的不变：经历一个扭结将会更改转折点的数目。

相反，关于曲线外一点的[[卷繞數|绕数]]在同伦下不变。对于曲线上的点[[卷繞數|绕数]]将改变1。


==参考资料==
*{{citation|first= Wolfgang|last=Kuhnel|title=Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds|publisher=American Mathematical Society|year=2005|edition=2nd|isbn=978-0821839881}} (translated by Bruce Hunt)
*{{citation|title=On the Total Curvature of Knots|first=John W.|last=Milnor|authorlink=約翰·米爾諾|journal=The Annals of Mathematics, Second Series|volume=52|number=2|year=1950|pages=248–257|url=http://www.jstor.org/stable/1969467|doi=10.2307/1969467|accessdate=2010-04-13|archive-date=2020-02-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20200225090146/https://www.jstor.org/stable/1969467|dead-url=no}}
*{{citation|first=John M.|last=Sullivan|title=Curves of finite total curvature|year=2007|id={{arxiv|math/0606007}}}}.

{{曲率}}

[[Category:曲线]]
[[Category:曲率]]
[[Category:黎曼几何]]