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|G1 = Math
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'''态射'''（{{lang-en|Morphism}}）在数学中是指两个[[数学结构]]之间保持结构的一种[[映射]]。

许多当代数学领域中都有态射的身影。例如，在[[集合论]]中，态射就是函数；在[[群论]]中，它们是[[群同态]]；而在[[拓扑学]]中，它们是[[连续函数]]；在[[泛代数]]（universal algebra）的范围，态射通常就是[[同态]]。

对态射和它们定义于其间的结构（或对象）的抽象研究构成了[[范畴论]]的一部分。在范畴论中，态射不必是函数，而通常被视为两个对象（不必是集合）间的'''箭头'''。不像映射一个集合的元素到另外一个集合，它们只是表示域（domain）和陪域（codomain）间的某种关系。

尽管态射的本质是抽象的，多数人关于它们的直观（事实上包括大部分术语）来自于[[具体范畴]]的例子，在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。

== 定义 ==

一个[[范畴]]''C''由两个[[类 (数学)|类]]给定：一个'''对象'''的类和一个'''态射'''的类。

有两个操作定义在每个态射上，[[定义域|域]]（domain，或源）和[[陪域]]（codomain，或目标）。

态射经常用从域到他们的陪域的箭头来表示，例如若一个态射''f''域为''X''而陪域为''Y''，它记为''f'' : ''X'' → ''Y''。所有从''X''到''Y''的态射的集合记为hom<sub>''C''</sub>(''X'',''Y'')或者hom(''X'', ''Y'')。（有些作者采用Mor<sub>''C''</sub>(''X'',''Y'')或Mor(''X'', ''Y'')）。

对于任意三个对象''X''，''Y''，''Z''，存在一个[[二元运算]]hom(''X'', ''Y'')×hom(''Y'', ''Z'') → hom(''X'', ''Z'')称为复合。''f'' : ''X'' → ''Y''和''g'' : ''Y'' → ''Z''的复合记为<math>g\circ f</math>或''gf''（有些作者采用''fg''）。态射的复合经常采用[[交换图]]来表示。例如

<div style="text-align: center;">[[File:MorphismComposition-01.png]]</div>

态射必须满足两条[[公理]]：
*存在恒等态射：对于每个对象''X''，存在一个态射id<sub>''X''</sub> : ''X'' → ''X''称为''X''上的恒等态射，使得对于每个态射''f'' : ''A'' → ''B''我们有<math>{\rm id}_B\circ f=f=f\circ{\rm id}_A</math>。
*满足[[结合律]]：<math>h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f</math>在任何操作有定义的时候。

当''C''是一个具体范畴的时候，复合只是通常的[[函数复合]]，恒等态射只是[[恒等函数]]，而结合律是自动满足的。（函数复合是结合的。）

注意域和陪域本身是决定态射的信息的一部分。例如，在集合的范畴，其中态射是函数，两个函数可以作为有序对的集合相等，但却有不同的陪域。这些函数从范畴论的目的来说被视为''不同''。因此，很多作者要求态射类hom(''X'', ''Y'')是不交的。实际上，这不是一个问题，因为如果他们不是不交的，域和陪域可以加到态射上，（例如，作为一个有序三元组的第二和第三个分量），使得它们不交（互斥，disjoint）。

== 态射的类型 ==

* 同构（isomorphism）:令''f'' : ''X'' → ''Y''为一个态射。若存在态射''g'' : ''Y'' → ''X''使得<math>f\circ g={\rm id}_Y</math>和<math>g\circ f={\rm id}_X</math>成立，则''f''称为一个[[同构]]。''g''称为''f''的逆态射，逆态射''g''如果存在就是唯一的，而且显而易见''g''也是一个同构，其逆为''f''。两个对象之间有一个同构，那么这两个对象称为同构的或者等价的。同构是范畴论中态射的最重要种类。<ref>[http://terms.naer.edu.tw/detail/1258514/   isomorphism - 同構] {{Wayback|url=http://terms.naer.edu.tw/detail/1258514/ |date=20160305104758 }}，雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網，[[國家教育研究院]]</ref><ref name="ntnu_math_algebra"/>

* {{link-en|蓋同態 (數學)|epimorphism|满同态}}（epimorphism）：令态射''f'' : ''X'' → ''Y''，如果对于所有''Y'' → ''Z''的态射''g''<sub>1</sub>，''g''<sub>2</sub>有 <math>g_1\circ f=g_2\circ f \Rightarrow g_1=g_2</math>，称态射''f''为满同态。这也称为''epi''或''epic''.具体范畴中的满同态通常是[[满射]]（surjective）函数，虽然并不总是这样。<ref>[http://terms.naer.edu.tw/detail/775625/    epimorphism - 蓋同態] {{Wayback|url=http://terms.naer.edu.tw/detail/775625/ |date=20131020124124 }}，雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網，[[國家教育研究院]]</ref><ref name="ntnu_math_algebra"/>

* {{link-en|單同態 (數學)|monomorphism|单同态}}（monomorphism）：令态射''f'' : ''X'' → ''Y''，如果对于所有''Z'' → ''X''的态射''g''<sub>1</sub>，''g''<sub>2</sub>，<math>f\circ g_1=f\circ g_2 \Rightarrow g_1=g_2</math>成立，则称''f''为单同态。它也称为''mono''或者''monic''.具体范畴中的单同态通常为[[单射]]（injective）函数。<ref>[http://terms.naer.edu.tw/detail/1259076/  monomorphism - 嵌型同態；單同態] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131020121936/http://terms.naer.edu.tw/detail/1259076/ |date=2013-10-20 }}，雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網，[[國家教育研究院]]</ref><ref name="ntnu_math_algebra">[http://math.ntnu.edu.tw/~li/algebra-html/node14.html  Group Homomorphisms] {{Wayback|url=http://math.ntnu.edu.tw/~li/algebra-html/node14.html |date=20200129134542 }}，大學基礎[[代數]]，[http://math.ntnu.edu.tw/~li/algebra-html/  李華介] {{Wayback|url=http://math.ntnu.edu.tw/~li/algebra-html/ |date=20200912002232 }}，[[國立台灣師範大學]]數學系</ref>

* 双同态（bimorphism）：若''f''既是满同态也是单同态，则称''f''为双同态（bimorphism）。

注意每个同构都是双同态，但''不是''每个双同态都是同构。例如，交换环的范畴中，包含映射Z → Q是一个双同态，但不是一个同构。如果在一个范畴中每个双同态都是同构，则这个范畴称为一个平衡范畴。例如，集合是一个平衡范畴。

*自同态（endomorphism）：任何态射''f'' : ''X'' → ''X''称为''X''上的一个[[自同态]]。

*自同构（automorphism）：若一个自同态也是同构的，那么称之为自同构。

*若''f'' : ''X'' → ''Y''和''g'' : ''Y'' → ''X''满足<math>f\circ g={\rm id}_Y</math>可是证明''f''是满的而''g''是单的，而且<math>g\circ f</math> : ''X'' → ''X''是[[幂等]]的。这种情况下，''f''和''g''称为分割（split）. ''f''称为''g''的收缩（retraction）而''g''称为''f''的截面。任何既是满同态又是分割单同态的态射，或者既是单同态又是分割满同态的态射必须是同构。

== 例子 ==
*在[[泛代数]]中研究的具体范畴（例如[[群]]，环，[[模]]，等等），态射称为[[同态]]。术语同构，满同态，单同态，自同态，和自同构也都适用于这个特殊范围。
*在[[拓扑空间范畴]]，态射是[[连续函数]]，而同构称为[[同胚]]。
*在[[光滑流形]]范畴中，态射是[[光滑函数]]而同构称为[[微分同胚]]。
* [[函子]]可以视为[[小范畴]]的范畴中的态射。
*在[[函子范畴]]中，态射是[[自然变换]]。

更多的例子参看[[范畴论]]条目。

==参看==
* [[零态射]]
* [[正规态射]]

==腳注==
{{reflist}}

{{範疇論}}
[[Category:态射|T]]