查看“︁快樂數”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
|G2=IT
}}
'''快樂數'''有以下的特性：在給定的[[進位制]]下，該數字所有[[數字平方和]]（數位的平方和），得到的新數再次求所有數位的[[平方和]]，如此重複進行，最終結果必為1。

以十進位為例： 
:2 8 → {{計算結果|2^2+8^2}} → {{計算結果|6^2+8^2}} → {{計算結果|1^2+0^2+0^2}}
:3 2 → {{計算結果|3^2+2^2}} → {{計算結果|1^2+3^2}} → {{計算結果|1^2+0^2}}
:3 7 → {{計算結果|3^2+7^2}} → {{計算結果|5^2+8^2}} → {{計算結果|8^2+9^2}} → {{計算結果|1^2+4^2+5^2}} → {{計算結果|4^2+2^2}} → {{計算結果|2^2+0^2}} → {{計算結果|4^2}} → {{計算結果|1^2+6^2}}<math>......</math>
:5 6 → {{計算結果|5^2+6^2}} → {{計算結果|6^2+1^2}} → {{計算結果|3^2+7^2}} → {{計算結果|5^2+8^2}} → {{計算結果|8^2+9^2}} → {{計算結果|1^2+4^2+5^2}} → {{計算結果|4^2+2^2}} → {{計算結果|2^2+0^2}} → {{計算結果|4^2}} → {{計算結果|1^2+6^2}}<math>......</math>

因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數（{{lang-en|unhappy number}}），所有不快樂數的數位[[平方和]]計算，最後都會進入 [[4]] → [[16]] → [[37]] → [[58]] → [[89]] → [[145]] → [[42]] → [[20]] → [[4]] 的循環中。

在十進位下，100以內的快樂數有{{OEIS|id=A007770}}：[[1]], [[7]], [[10]], [[13]], [[19]], [[23]], [[28]], [[31]], [[32]], [[44]], [[49]], [[68]], [[70]], [[79]], [[82]], [[86]], [[91]], [[94]], [[97]], [[100]]，共20個。

==快樂數表格==
以下是小於100的快樂數表格，{{green|綠色數字}}表示它是快樂數，{{red|紅色數字}}表示它是[[不快樂數循環]]。
{| class="wikitable"
|-
| 00 || {{green|01}} || 02 || 03 || {{red|04}} || 05 || 06 || {{green|07}} || 08 || 09
|-
| {{green|10}} || 11 || 12 || {{green|13}} || 14 || 15 || {{red|16}} || 17 || 18 || {{green|19}}
|-
| {{red|20}} || 21 || 22 || {{green|23}} || 24 || 25 || 26 || 27 || {{green|28}} || 29
|-
| 30 || {{green|31}} || {{green|32}} || 33 || 34 || 35 || 36 || {{red|37}} || 38 || 39
|-
| 40 || 41 || {{red|42}} || 43 || {{green|44}} || 45 || 46 || 47 || 48 || {{green|49}}
|-
| 50 || 51 || 52 || 53 || 54 || 55 || 56 || 57 || {{red|58}} || 59
|-
| 60 || 61 || 62 || 63 || 64 || 65 || 66 || 67 || {{green|68}} || 69
|-
| {{green|70}} || 71 || 72 || 73 || 74 || 75 || 76 || 77 || 78 || {{green|79}}
|-
| 80 || 81 || {{green|82}} || 83 || 84 || 85 || {{green|86}} || 87 || 88 || {{red|89}}
|-
| 90 || {{green|91}} || 92 || 93 || {{green|94}} || 95 || 96 || {{green|97}} || 98 || 99
|}
以下是100到小於200的快樂數表格，{{green|綠色數字}}表示它是快樂數，{{red|紅色數字}}表示它是[[不快樂數循環]]。
{| class="wikitable"
|-
| {{green|100}} || 101 || 102 || {{green|103}} || 104 || 105 || 106 || 107 || 108 || {{green|109}}
|-
| 110 || 111 || 112 || 113 || 114 || 115 || 116 || 117 || 118 || 119
|-
| 120 || 121 || 122 || 123 || 124 || 125 || 126 || 127 || 128 || {{green|129}}
|-
| {{green|130}} || 131 || 132 || {{green|133}} || 134 || 135 || 136 || 137 || 138 || {{green|139}}
|-
| 140 || 141 || 142 || 143 || 144 || {{red|145}} || 146 || 147 || 148 || 149
|-
| 150 || 151 || 152 || 153 || 154 || 155 || 156 || 157 || 158 || 159
|-
| 160 || 161 || 162 || 163 || 164 || 165 || 166 || {{green|167}} || 168 || 169
|-
| 170 || 171 || 172 || 173 || 174 || 175 || {{green|176}} || 177 || 178 || 179
|-
| 180 || 181 || 182 || 183 || 184 || 185 || 186 || 187 || {{green|188}} || 189
|-
| {{green|190}} || 191 || {{green|192}} || {{green|193}} || 194 || 195 || 196 || 197 || 198 || 199
|}
以下是200到小於300的快樂數表格，{{green|綠色數字}}表示它是快樂數。
{| class="wikitable"
|-
| 200 || 201 || 202 || {{green|203}} || 204 || 205 || 206 || 207 || {{green|208}} || 209
|-
| 210 || 211 || 212 || 213 || 214 || 215 || 216 || 217 || 218 || {{green|219}}
|-
| 220 || 221 || 222 || 223 || 224 || 225 || {{green|226}} || 227 || 228 || 229
|-
| {{green|230}} || 231 || 232 || 233 || 234 || 235 || {{green|236}} || 237 || 238 || {{green|239}}
|-
| 240 || 241 || 242 || 243 || 244 || 245 || 246 || 247 || 248 || 249
|-
| 250 || 251 || 252 || 253 || 254 || 255 || 256 || 257 || 258 || 259
|-
| 260 || 261 || {{green|262}} || {{green|263}} || 264 || 265 || 266 || 267 || 268 || 269
|-
| 270 || 271 || 272 || 273 || 274 || 275 || 276 || 277 || 278 || 279
|-
| {{green|280}}  || 281 || 282 || 283 || 284 || 285 || 286 || 287 || 288 || 289
|-
| 290 || {{green|291}}  || 292 || {{green|293}}  || 294 || 295 || 296 || 297 || 298 || 299
|}

300以內的快樂數沒有其中一位是5，[[300]]以內的數其中有一位是5，它一定不是快樂數。

以下是300到小於400的快樂數表格，{{green|綠色數字}}表示它是快樂數。
{| class="wikitable"
|-
| 300 || {{green|301}} || {{green|302}} || 303 || 304 || 305 || 306 || 307 || 308 || 309
|-
| {{green|310}} || 311 || 312 || {{green|313}} || 314 || 315 || 316 || 317 || 318 || {{green|319}}
|-
| {{green|320}} || 321 || 322 || 323 || 324 || 325 || {{green|326}} || 327 || 328 || {{green|329}}
|-
| 330 || {{green|331}} || 332 || 333 || 334 || 335 || 336 || 337 || {{green|338}} || 339
|-
| 340 || 341 || 342 || 343 || 344 || 345 || 346 || 347 || 348 || 349
|-
| 350 || 351 || 352 || 353 || 354 || 355 || {{green|356}} || 357 || 358 || 359
|-
| 360 || 361 || {{green|362}} || 363 || 364 || {{green|365}} || 366 || {{green|367}} || {{green|368}} || 369
|-
| 370 || 371 || 372 || 373 || 374 || 375 || {{green|376}} || 377 || 378 || {{green|379}}
|-
| 380  || 381 || 382 || {{green|383}} || 384 || 385 || {{green|386}} || 387 || 388 || 389
|-
| 390 || {{green|391}}  || {{green|392}} || 393  || 394 || 395 || 396 || {{green|397}} || 398 || 399
|}{{DEFAULTSORT:}}

發現10*10、100*100等表格的快樂數[[表格]]有線[[對稱]]。

==快樂數的因數==
以下是[[300]]以內的快樂數[[因數]]。
{| class="wikitable sortable"
|-
! 快樂數 !! 因數 !! 因數個數 !! 奇偶數!! [[數字和]]
|-
| 1 || 1 || 1 || [[奇數]] || 1
|-
| 7 || 1、7 || [[2]] || [[奇數]] || 7
|-
| 10 || 1、2、5、10 || [[4]]|| [[偶數]] || 1
|-
| 13 || 1、13 || 2 || [[奇數]] || 4
|-
| 19 || 1、19 || 2 || [[奇數]] || 10
|-
| 23 || 1、23 || 2 || [[奇數]] || 5
|-
| 28 || 1、2、4、7、14、28 || 6|| [[偶數]] || 10
|-
| 31 || 1、31 || 2 || [[奇數]] || 4
|-
| 32 || 1、2、4、8、16、32 || 6|| [[偶數]] || 5
|-
| 44 || 1、2、4、11、22、44 || 6|| [[偶數]] || 8
|-
| 49 || 1、7、49 || 3 || [[奇數]] || 13
|-
| 68 || 1、2、4、17、34、68 || 6 || [[偶數]] || 14
|-
| 70 || 1、2、5、7、10、14、35、70 || 8|| [[偶數]] || 7
|-
| 79 || 1、79 || 2 || [[奇數]] || 16
|-
| 82 || 1、2、41、82 || 4|| [[偶數]] || 10
|-
| 86 || 1、2、43、86 || 4|| [[偶數]] || 14
|-
| 91 || 1、7、13、91 || 4 || [[奇數]] || 10
|-
| 94 || 1、2、47、94 || 4|| [[偶數]] || 13
|-
| 97 || 1、97 || 2 || [[奇數]] || 16
|-
| [[100]] || 1、2、4、5、10、20、25、50、100 || 9|| [[偶數]] || 1
|-
| [[103]] || 1、103 || 2 || [[奇數]] || 4
|-
| [[109]] || 1、109 || 2 || [[奇數]] || 10
|-
| [[129]] || 1、3、43、129 || 4 || [[奇數]] || 12
|-
| [[130]] || 1、2、5、10、13、26、65、130 || 8|| [[偶數]] || 4
|-
| [[133]] || 1、7、19、133 || 4 || [[奇數]] || 7
|-
| [[139]] || 1、139 || 2 || [[奇數]] || 13
|-
| [[167]] || 1、167 || 2 || [[奇數]]|| 14
|-
| [[176]] || 1、2、4、8、11、16、22、44、88、176 || 10|| [[偶數]]|| 14
|-
| [[188]] || 1、2、4、47、94、188 || 6|| [[偶數]]|| 17
|-
| [[190]] || 1、2、5、10、19、38、95、190 || 8|| [[偶數]]|| 10
|-
| [[192]] || 1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192 || 14|| [[偶數]]|| 12
|-
| [[193]] || 1、193 || 2 || [[奇數]]|| 13
|-
| [[203]] || 1、7、29、203 || 4 || [[奇數]]|| 5
|-
| [[208]] || 1、2、4、8、13、16、26、52、104、208 || 10|| [[偶數]]|| 10
|-
| [[219]] || 1、3、73、219 || 4 || [[奇數]]|| 12
|-
| [[226]] || 1、2、113、226 || 4|| [[偶數]]|| 10
|-
| [[230]] || 1、2、5、10、23、46、115、230 || 8|| [[偶數]]|| 5
|-
| [[236]] || 1、2、4、59、118、236 || 6|| [[偶數]]|| 11
|-
| [[239]] || 1、239 || 2 || [[奇數]] || 14
|-
| [[262]] || 1、2、131、262 || 4|| [[偶數]]|| 10
|-
| [[263]] || 1、263 || 2 || [[奇數]]|| 11
|-
| [[280]] || 1、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、280 || 16 || [[偶數]]|| 10
|-
| [[291]] || 1、3、97、291 || 4 || [[奇數]]|| 12
|-
| [[293]] || 1、293 || 2 || [[奇數]]|| 14
|}

由表格可知：
*[[128]]以內快樂數沒有[[因數]]3、6、9等數，如果128以內的數是3的[[倍數]]等，它一定不是快樂數。
*1000以內快樂數沒有因數[[9]]、15、18、21等數，如果1000以內的數是9的[[倍數]]等，它一定不是快樂數。
*[[1000]]以內快樂數同樣也沒有能被[[25]]整除但不能被100整除，即尾數是（25、50或75的數），如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數，它一定不是快樂數。
*1000以內的快樂數有143個，只有7個是3的倍數，[[129]]、[[192]]、[[219]]、[[291]]、888、912、921，[[機率]]:5%。
*1000以內的快樂數有143個，有其中一位是5的只有12個，[[356]]、[[365]]、[[536]]、[[556]]、563、565、566、635、653、655、656、665，[[機率]]:8%。
*1000以內的快樂數有143個，只有3個是25的倍數，[[100]]、[[700]]、[[1000]]，[[機率]]:2%。

==快樂質數==
在十進位下，300以內的快樂質數有{{OEIS|id=A035497}}：[[7]], [[13]], [[19]], [[23]], [[31]], [[79]], [[97]], [[103]], [[109]], [[139]], [[167]], [[193]], [[239]], [[263]], [[293]]，共15個。

==快樂完全數==
已知的51個[[完全數]]，只有3個是快樂數：[[28]]、[[496]]、[[8128]]。
==其他進制的快樂數==
*三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 {{OEIS|id=A239320}}

*五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 {{OEIS|id=A240849}}

*任何進制（最小快樂數且大於1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72
{{OEIS|id=A161871}}

==其他进制的不快樂數循環==
*2进制
**每個數都是快樂數

*3进制
**2 → 11 → 2 
**:在十进制中為2 → 4 → 2

*4进制
**每個數都是快樂數

*5进制
**4  → 31  →20  → 4
**:在十进制中為4  → 16  → 10  → 4
**23 → 23 
**:在十进制中為13 → 13

*6进制
**5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 
**:在十进制中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5

*7进制
**2 → 4 → 22 → 11 → 2 
**:在十进制中為2 → 4 → 16 → 8 → 2
**34 → 34 
**:在十进制中為25 → 25

*8进制
**4 → 20 → 4 
**:在十进制中為4 → 16 → 4
**5 → 31 → 12 → 5 
**:在十进制中為5 → 25 → 10 → 5
**32 → 15 → 32 
**:在十进制中為26 → 13 → 26

*9进制
**58 → 108 → 72 → 58 
**:在十进制中為53 → 89 → 65 → 53
**55 → 55 
**:在十进制中為50 → 50

*10进制
**4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4

*11进制
**75 → 68 → 91 → 75 
**:在十进制中為82 → 74 → 100 → 82
**23 → 12 → 5 → 23 
**:在十进制中為25 → 13 → 5 → 25

*12进制
**22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22
**:在十进制中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26
**21 → 5 → 21
**:在十进制中為25 → 5 → 25

*13进制
**79 → A0 → 79
**:在十进制中為100 → 130 → 100
**36 → 36
**:在十进制中為45 → 45
**B2 → 98 → B2
**:在十进制中為145 → 125 → 145
**67 → 67
**:在十进制中為85 → 85
**14 → 14
**:在十进制中為17 → 17

*16进制
**D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
**:在十进制中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13

==其他性質==
*快樂數加入數字[[0]]或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49是快樂數，94、4900也是快樂數；123不是快樂數，321、10203、123000也不是快樂數
*通过检查十进制中前一百万个快乐数，它们的[[自然密度]]似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577，下限小于0.1138。<ref>{{Cite journal |title=On the Density of Happy Numbers |journal=Integers |volume=13 |issue=2 |arxiv=1110.3836 |last1=Gilmer |first1=Justin |year=2013 |page=2 |bibcode=2011arXiv1110.3836G}}</ref>
*[[十進位]]不快樂數的循環只有一個，是 [[4]] → [[16]] → [[37]] → [[58]] → [[89]] → [[145]] → [[42]] → [[20]] → [[4]] 。

== Python程式碼 ==
<syntaxhighlight lang="python" line="1">
#ishappy number

def ishappy(n):
    a = []
    while n not in a:
        a.append(n)
        n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])
        
    return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'
</syntaxhighlight>

==相關條目==
*{{le|幸福數|Fortunate number}}
*[[哈沙德數]]
*[[幸運數]]

==外部連結==

*[https://web.archive.org/web/20061028023151/http://lostmypants.net/happy.php Happy number calculator] - 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕

[[Category:數字相關的數列|Happy]]