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{{NoteTA
|G1=物理學
|G2=Math
}}
在[[相对论|相對論]]中，'''快度'''通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上，快度可以被定義成一個[[双曲角|雙曲角]]，這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之间的差异——它们的时空坐標为洛仑兹变换所聯繫。

對於一維運動，快度可以簡單相加，而速度必須套用愛因斯坦的[[速度加成式|速度加成式]]。在低速的情況下，快度和速度是成比例的，但是對於更高速的狀況下，快度將增長得更快。特别地，光的速度為光速，而光的快度是無限大。

我們使用反雙曲函數{{math|artanh}}來定義快度，當速度為{{math|<var>v</var>}}時，其對應的快度{{math|<var>w</var>}}是{{math|<var>w</var> {{=}} artanh(<var>v</var> / <var>c</var>)}}，其中{{math|<var>c</var>}}是光速。速度較慢時，{{math|<var>w</var>}}約為{{math|<var>v</var> / <var>c</var>}}。由於在相對論中，速度v被局限於區間{{math|−<var>c</var> < <var>v</var> < <var>c</var>}}，因此比率{{math|<var>v</var> / <var>c</var>}}將滿足{{math|−1 < <var>v</var> / <var>c</var> < 1}}。反雙曲正切函數的[[定义域|定義域]]為{{math|(−1, 1)}}，而[[值域|值域]]為整條[[實數線|實數線]]，所以可以將區間{{math|−<var>c</var> &lt; <var>v</var> &lt; <var>c</var>}}映射到{{math|−∞ &lt; <var>w</var> &lt; ∞}}。

==歷史==
[[Image:Hyperbolic sector.svg|200px|right]]
在1908年[[赫尔曼·闵可夫斯基|赫爾曼·閔考斯基]]指出[[洛伦兹变换|勞倫茲轉換]]可以被簡單的轉換為[[座標時|座標時]]中的{{tsl|en|hyperbolic rotation||雙曲旋轉}}，即為一個虛數角度的旋轉。<ref>[[赫尔曼·闵可夫斯基|赫爾曼·閔考斯基]] (1908) [https://en.wikisource.org/wiki/Translation:The_Fundamental_Equations_for_Electromagnetic_Processes_in_Moving_Bodies| Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies] via Wikisource</ref> 這個角度在一維空間中可以代表著座標系間速度的度量，且具有可加性。<ref>Sommerfeld, Phys. Z 1909</ref> 

1910年，{{tsl|en|Vladimir Varićak|弗拉基米爾·瓦里卡克}}<ref>{{tsl|en|Vladimir Varicak|弗拉基米爾·瓦里卡克}} (1910)[https://en.wikisource.org/wiki/Translation:Application_of_Lobachevskian_Geometry_in_the_Theory_of_Relativity| Application of Lobachevskian Geometry in the Theory of Relativity] ''Physikalische Zeitschrift'' 經由[[维基文库|維基文庫]]</ref>和[[埃德蒙·泰勒·惠特克|E. T. 惠特克]]<ref>[[埃德蒙·泰勒·惠特克]] (1910) [https://archive.org/details/historyoftheorie00whitrich/page/440 A History of the Theories of the Aether and Electricity], 第441頁，經由[[互联网档案馆|互聯網檔案館]].</ref>提出用此參數來取代速度的觀念。而這個參數被{{tsl|en|Alfred Robb|阿爾弗雷德·羅伯}} (1911)<ref>{{tsl|en|Alfred Robb|阿爾弗雷德·羅伯}} (1911) ''Optical Geometry of Motion'' p.9</ref>命名為快度，並隨後被許多筆者所採用，如[[盧迪威格·席柏斯坦]] (1914)，[[愛德華·莫立]] (1936)和[[沃夫岡·潤德勒]] (2001)。
===雙曲線扇形面積===
雙曲函數xy=1的{{tsl|en|quadrature (mathematics)|求積法}}，是由{{tsl|en|Gregoire de Saint-Vincent|格雷瓜爾·德·聖-文森特}}提出的，他指出雙曲扇形的面積、或是一塊沿著漸進線所定義出的等效面積，可以用自然對數描述。
在時空理論中，類光事件將宇宙分為相對於給定“位置”和“時刻”的“（絕對）過去”、“（絕對）未來”和其他時空點。在空間中的任何一條線上，一道光束的行進方向可以向左或是向右。將向右行進的光束事件定為x軸，向左行進的光束事件定為y軸。則靜止座標系的[[时间|時間]]軸即為對角線''x'' = ''y''。而速度可以用第一象限中的直角雙曲線''xy'' = 1來表示，其中速度為零的點對應到點<math>( 1 , 1 ) </math>。任何一個雙曲線上的點都能以點<math>( e^w , \ e^{-w} ) </math> 表示，其中的{{math|<var>w</var>}}即為快度，同時{{math|<var>w</var>}}也是從點<math>( 1 , 1 ) </math> 到點<math>( e^w , \ e^{-w} ) </math>與原點所構成的[[雙曲線扇形|雙曲線扇形]]面積。 也有許多筆者在討論標準[[闵可夫斯基图|閔考斯基圖]]時，會使用[[單位雙曲線]]<math>x^2 - y^2</math>，將快度作為參數曲線的參數。而此時的坐標可以用時鐘和米尺來測量，並選用更加常見的基準，這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲參數，這樣的描述是參考了十七世紀時[[超越函數|超越函數]]理論的發展，以及閔考斯基圖。

==在一維空間中==
快度{{math|<var>w</var>}}出現在[[洛伦兹变换|勞倫茲變換]]的線性表示法中，此時勞倫茲變換被表示為向量－矩陣乘積
:<math>
  \begin{pmatrix}
    c t' \\
    x'
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    \cosh w & -\sinh w \\
    -\sinh w & \cosh w
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    ct \\
    x
  \end{pmatrix}
  = \mathbf \Lambda (w) 
  \begin{pmatrix}
    ct \\
    x
  \end{pmatrix}</math>

矩陣{{math|'''Λ'''(''w'')}}為<math>\begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix} </math>的形式，其中{{math|<var>p</var>}}和{{math|<var>q</var>}}滿足關係{{math|<var>p</var><sup>2</sup> - <var>q</var><sup>2</sup> {{=}} 1}}，因此{{math|(<var>p</var>, <var>q</var>)}}將會落在{{tsl|en|unit hyperbola||單位雙曲線}}上。這樣的矩陣形成了[[广义正交群|不定正交群 O(1,1)]]，伴隨著由單位反對角矩陣所張出的一維李代數，顯示出快度是這個李代數上的座標，這個作用可在[[闵可夫斯基图|閔考斯基圖]]上被描繪出來。
在[[矩阵指数|矩陣指數]]表示法中，{{math|'''Λ'''(''w'')}}可以被表示為<math>\mathbf \Lambda (w) = e^{\mathbf Z w}</math>，其中{{math|'''Z'''}}是矩陣
:<math> \mathbf Z =
   \begin{pmatrix}
    0 & -1 \\
    -1 & 0
  \end{pmatrix}  </math>

不難證明
:<math>\mathbf{\Lambda}(w_1 + w_2) = \mathbf{\Lambda}(w_1)\mathbf{\Lambda}(w_2)</math>
這顯現出了快度實用的求和性質：若{{math|A}}，{{math|B}}和 {{math|C}}為[[参考系|參考座標系]]，則
:<math> w_{\text{AC}}= w_{\text{AB}} + w_{\text{BC}}</math>
其中 {{math|''w''<sub>PQ</sub>}} 表示了參考座標系{{math|Q}}相對於參考座標系{{math|P}}的快度。與[[速度加成式|速度加成式]]相比，這個式子更為簡潔。

我們可以從上述的勞倫茲轉換看出，[[勞侖茲因子|勞倫茲因子]]等同於{{math|cosh ''w''}}

:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \equiv \cosh w</math>

因此快度{{math|''w''}}作為一個雙曲角，隱含在[[洛伦兹变换|勞倫茲轉換]]中的{{math|<var>γ</var>}}和<var>β</var>中。我們將快度與[[速度加成式|速度加成式]]聯繫在一起

:<math>u=(u_1+u_2)/(1+u_1u_2/c^2)</math>

藉由

:<math>\beta_i = \frac{u_i}{c} = \tanh{w_i} </math>

從而得到

:<math>
    \begin{align}
        \tanh w &= \frac{\tanh w_1 +\tanh w_2}{1+\tanh w_1\tanh w_2} \\
            &= \tanh(w_1+ w_2)
    \end{align}
</math>

{{math|''β''}}和{{math|''γ''}}的乘積時常出現，從先前的討論可知

:<math>\beta \gamma = \sinh w \, </math>

[[固有加速度|固有加速度]]（一個加速物體實質感受到的加速度）是快度對於[[原時|固有時間]]（一個加速物體本身所量測到的時間）的變化率。假想在物體的運動過程中，與加速中的物體保持相對靜止的一系列“非物理的”參考系，若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度，則計算結果將是這個物體的快度。
===指數和對數關係===
由上述的表達式可以得到

:<math>e^{w} = \gamma(1+\beta)  = \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 + \tfrac{v}{c}}{1 - \tfrac{v}{c}}</math>

因此

:<math>e^{-w} = \gamma(1-\beta)  = \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 - \tfrac{v}{c}}{1 + \tfrac{v}{c}}</math>

或是更加清楚地表示為

:<math>w =  \ln \left[\gamma(1+\beta)\right] =  -\ln \left[\gamma(1-\beta)\right]  \,  </math>

[[相對論性多普勒效應|相對論性都普勒效應]]因子與快度{{math|''w''}}的關係為<math>k = e^w</math>。

==在多維空間中==
相對論性速度<math>\boldsymbol \beta</math>與快度<math>\mathbf{w}</math>为下列關係所聯繫<ref>{{harvnb|Jackson|1999|p=547}}</ref>

:<math>\mathfrak{so}(3,1) \supset \mathrm{span}\{K_1, K_2, K_3\} \approx \mathbb{R}^3 \ni \mathbf{w} = \boldsymbol{\hat{\beta}} \tanh^{-1}\beta, \quad \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{B}^3,</math>

其中的向量<math>\mathbf w</math>是[[勞侖茲群]]對應的[[李代數|李代數]]<math>\mathfrak{o}(3, 1) \approx \mathfrak{so}(3, 1)</math>中，由三個{{tsl|en|Representation theory of the Lorentz group#Conventions and Lie algebra bases||推進生成元}}<math>K_1, K_2, K_3</math>張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的<math>\mathfrak{o}(1, 1)</math>。因為光速<math>c</math>是速度量值的上限（選用單位使得<math>c = 1</math>），所以速度符合條件<math>|\beta| < 1</math>，因此速度空間可以用一個半徑為<math>1</math>的開球<math>\mathbb B^3</math>表示。

一般性的快度求和公式為<ref name="#1">{{harvnb|Rhodes|Semon|2003}}</ref><ref group=nb>這可以被理解成，欲求給定兩個速度所對應到的快度和，實際上就是在對原速度作相對論性的求和，再求出該速度對應的快度。此外，快度從<math>\mathbb R^3</math>上也繼承了三維向量加法的求和性質，這是與上述快度和不同的一種和。在下文提到「快度求和」時，請依照上下文判斷是哪一種求和。</ref>

:<math>\mathbf w = \boldsymbol{\hat \beta}\tanh^{-1}\beta, \quad \boldsymbol \beta = \boldsymbol \beta_1 \oplus \boldsymbol \beta_2, </math>

其中<math>\boldsymbol \beta_1 \oplus \boldsymbol \beta_2</math>對應到[[速度加成式|速度加成式]]，<math>\boldsymbol \hat \beta</math>是<math>\boldsymbol \beta</math>方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為<math>\theta</math>的快度<math>\mathbf w_1, \mathbf w_2 </math>之和的模<math>w \equiv |\mathbf w|</math>（歐氏空間中的長度）由{{tsl|en|hyperbolic law of cosines||餘弦的雙曲關係}}給出<ref>Robb 1910, Varićak 1910，Borel 1913</ref>

:<math>\cosh w=\cosh w_1\cosh w_2 +\sinh w_1\sinh w_2 \cos \theta</math>

快度空間上的幾何結構，透過對應的映射繼承了速度空間上的[[双曲几何|雙曲幾何]]。相應地，這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。<ref>{{harvnb|Landau|Lifshitz|2002|loc=Problem p. 38}}</ref>因此，二維空間中的快度空間可以有效地透過[[庞加莱圆盘模型|龐加萊圓盤模型]]來想像<ref name="#1"/>，其上的測地線會對應到勻加速運動。三維空間中的快度空間，可以透過同樣的方法，與雙曲面模型建立{{tsl|en|Isometry (Riemannian geometry)||保距同構}}。[[閔考斯基時空|閔考斯基時空的幾何]]條目中有更多相關的細節。

兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值，整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量<math>\boldsymbol \theta</math>來參數化的旋轉，兩者組合而成。

:<math>\Lambda = e^{-i\boldsymbol \theta \cdot \mathbf J}e^{-i\mathbf w \cdot \mathbf K}</math>

這裡使用到了物理學家慣用的指數映射。
這是交換法則所致的結果

:<math>[K_i,K_j] = -i\epsilon_{ijk}J_k</math>

其中<math>J_k</math>是[[旋轉群|旋轉群]]的生成元，<math>(k = 1, 2, 3)</math>，這與[[湯瑪斯進動|湯瑪斯進動]]現象有關。連結中的文章有關於參數<math>\boldsymbol \theta</math>的計算方法。

==在粒子物理中==
一個非零（靜止）質量{{math|<var>m</var>}}粒子的能量{{math|<var>E</var>}}以及動量的大小{{math|{{!}}'''p'''{{!}}}} 為：
:<math>E = \gamma mc^2</math>
:<math>| \mathbf p | = \gamma mv</math>
透過快度{{math|<var>w</var>}}的定義
:<math> w = \operatorname{artanh} \frac{v}{c}</math>
並且
:<math>\cosh w = \cosh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {1}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \gamma</math>
:<math>\sinh w =  \sinh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {\frac{v}{c}}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \beta \gamma</math>
能量和動量大小可以被表示為
:<math>E = m c^2 \cosh w </math>
:<math>| \mathbf p | = m c \, \sinh w</math>
所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出：
:<math> w = \operatorname{artanh} \frac{| \mathbf p | c}{E}= \frac{1}{2} \ln \frac{E + | \mathbf p | c}{E - | \mathbf p | c} </math>

然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義
:<math>y = \frac{1}{2} \ln \frac{E + p_z c}{E - p_z c} </math>
其中{{math|<var>p</var><sub>''z''</sub>}}是沿著粒子束方向的動量分量<ref>Amsler, C. ''et al.'', [http://pdg.lbl.gov/2009/reviews/rpp2009-rev-kinematics.pdf "The Review of Particle Physics"] {{Wayback|url=http://pdg.lbl.gov/2009/reviews/rpp2009-rev-kinematics.pdf |date=20130921060346 }}, ''Physics Letters B'' '''667''' (2008) 1, Section 38.5.2</ref>。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度，相關的概念可以參考條目[[贗快度|贗快度]]。

==參見==

* {{tsl|en|Bondi k-calculus||Bondi k-calculus}}
* [[洛伦兹变换|勞倫茲變換]]
* [[贗快度|贗快度]]
* [[固有速度|固有速度]]
* [[相对论|相對論]]

==注釋==
{{Reflist|group=nb}}

==參考文獻==
{{Reflist}}
{{Reflist|list=
* {{tsl|en|Vladimir Varićak||Varićak V}} (1910), (1912), (1924) See {{tsl|en|Vladimir Varićak#Publications||Vladimir Varićak#Publications}} 
* {{cite journal|last1=Whittaker|first1=E. T.|title=A history of the theories of aether and electricity|date=1910|page=441|url=https://archive.org/details/historyoftheorie00whitrich|accessdate=22 January 2016}}
* {{Cite book|last=Robb|first=Alfred|authorlink=Alfred Robb|year=1911|title=Optical geometry of motion, a new view of the theory of relativity|location=Cambridge|publisher=Heffner & Sons|url=https://archive.org/details/opticalgeometryo00robbrich}}
* [[埃米尔·博雷尔|埃米爾·博雷爾]] (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
* {{Cite book|last=Silberstein|first=Ludwik|authorlink=Ludwik Silberstein|year=1914|title=The Theory of Relativity|location=London|publisher=Macmillan & Co.|url=https://archive.org/details/theoryofrelativi00silbrich}}
* {{tsl|en|Vladimir Karapetoff||Vladimir Karapetoff}} (1936)"Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities", [[美國數學月刊|赫爾曼·邦迪]] 43:70.
* [[法蘭克·莫雷|法蘭克·莫雷]] (1936) "When and Where", ''The Criterion'', edited by [[T·S·艾略特|T.S. Eliot]], 15:200-2009.
* [[沃夫岡·潤德勒|沃夫岡·潤德勒]] (2001) ''Relativity: Special, General, and Cosmological'', page 53, [[牛津大學出版社|牛津大學出版社]].
* Shaw, Ronald (1982) ''Linear Algebra and Group Representations'', v. 1, page 229, {{tsl|en|Academic Press||Academic Press}} {{ISBN|0-12-639201-3}}.
* {{Cite book|author=Walter, Scott|year=1999|contribution=The non-Euclidean style of Minkowskian relativity|editor=J. Gray|title=The Symbolic Universe: Geometry and Physics|pages=91–127|publisher=Oxford University Press|contribution-url=http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/nes.pdf|access-date=2018-12-16|archive-date=2013-10-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20131016142709/http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/nes.pdf|dead-url=no}}(see page 17 of e-link)
* {{cite journal|ref=harv|last1=Rhodes|first1=J. A.|last2=Semon|first2=M. D.|year=2004|title=Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession|journal=Am. J. Phys.|volume=72|pages=93-90|doi=10.1119/1.1652040|arxiv=gr-qc/0501070|bibcode=2004AmJPh..72..943R}}
*{{cite book|ref=harv|first=J. D.|last=Jackson|authorlink=John David Jackson (physicist)|title=Classical Electrodynamics|url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9|edition=3d|year=1999|orig-year=1962|isbn=0-471-30932-X|publisher=[[約翰威立|John Wiley & Sons]]|chapter=Chapter 11}}
}}
{{Relativity}}

[[Category:狹義相對論]]