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在[[數學]]領域，'''德林費爾德模'''或'''橢圓模'''是一種特別的[[模 (數學)|模]]，佈於[[有限域]]上的[[代數曲線]]的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複[[橢圓曲線]]的[[複乘法]]理論之[[函數域]]版本。

[[俄文]]單詞 '''штука'''（英語拼音：''shtuka'' 或 ''chtouca''，源於[[德文]]的 ''Stück''，意指物件或東西），又稱'''F-層'''，是德林費爾德模的一種延伸，由曲線上的[[向量叢]]和其它關乎[[弗羅貝尼烏斯映射]]的資料組成。

[[弗拉基米爾·德林費爾德]]在1973年發明了德林費爾德模，隨後推廣到 штука，以證明函數域上的 <math>\mathrm{GL}(2)</math> [[郎蘭茲猜想]]。[[洛朗·拉福格]]藉由研究 ''n''秩 штука的[[模疊]]與[[塞爾伯格跡公式|跡公式]]，在2002年證出 <math>\mathrm{GL}(n)</math> 的情形。

==德林費爾德模==
===加性多項式環===
設 <math>L</math> 為特徵 <math>p>0</math> 的域。定義其上的非交換多項式環 <math>L\{\tau\}</math>
: ''a''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''a''<sub>1</sub>τ&nbsp;+&nbsp;''a''<sub>2</sub>τ<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;... 

乘法由下述條件確定
: <math>\tau a = a^p \tau</math>

元素 <math>\tau</math> 可設想為弗羅貝尼烏斯映射。事實上，<math>L</math> 是左 <math>L\{\tau\}</math>-模，其中 <math>L</math> 以乘法作用而 <math>\tau</math> 以 <math>a \mapsto a^p</math> 映射。環 <math>L\{\tau\}</math> 也可以看作是如下多項式的集合
: <math>a_0 X^1 + a_1 X^p + a_2 X^{p^2} + \cdots = a_0\tau^0 + a_1\tau + a_2\tau^2 + \cdots \in L[X]</math>
這類多項式滿足 <math>f(X+Y)=f(X)+f(Y) \in L[X,Y]</math>，故稱加性多項式；此環的乘法由多項式的合成給出，而非乘法，故非交換。

===形式定義===
今設 <math>A</math> 為交換環，''L'' 上的 '''德林費爾德 ''A''-模'''定義為環同態 <math>\psi: A \to L\{\tau\}</math>，使得 <math>\psi(A)</math> 不包含於 <math>L</math>；此條件意在排除一些平凡例子。環 <math>A</math> 通常取作某條有限域上的仿射曲線的坐標環。

<math>L\{\tau\}</math> 可視為加法群 <math>(L,+)</math> 的自同態，而德林費爾德 ''A''-模可視為 <math>A</math> 在 <math>(L,+)</math> 上的作用。

===例子===
* 置 <math>A := \mathbb{F}_p[T]</math>，對應到[[虧格]]為一的仿射代數曲線。德林費爾德模 <math>\psi: A \to L\{\tau\}</math> 僅依賴於像 <math>\psi(T) \in L\{\tau\} \setminus L</math>。此時德林費爾德模可等同於 <math>L\{\tau\} \setminus L</math>。對於虧格更高的曲線，德林費爾德模會更複雜。
* 承上，'''Carlitz 模'''是由 <math>\psi(T)=T+\tau</math>，<math>L</math> 為含 <math>\mathbb{F}_p</math> 的完備[[代數封閉域]]給出的德林費爾德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展開研究，詳見[http://www.math.ohio-state.edu/~goss/three.pdf Goss 的著作第三章] {{Wayback|url=http://www.math.ohio-state.edu/~goss/three.pdf |date=20100702051918 }} 。

==штука==
設 <math>X</math> 是有限域 <math>\mathbb{F}_p</math> 上的代數曲線。對[[概形]]或疊 <math>U</math>，其上的秩 ''r'' （右）'''штука''' 由下列資料定義：
* <math>U \times X</math> 上的秩 ''r'' 局部自由[[層 (數學)|層]] <math>E, E'</math> 及單射
: <math>E \rightarrow E' \leftarrow (\mathrm{Fr}^* \times 1)^* E</math>
其餘核的支撐集包括於某態射 <math>U \to X</math> 的圖（稱為該 штука 的零點與極點，記為 <math>0</math> 與 <math>\infty</math>），且在支撐集上是秩 <math>1</math> 局部自由層。在此 <math>\mathrm{Fr}</math> 表 <math>U</math> 上的弗羅貝尼烏斯態射。

左 штука 的定義類似，但態射的方向反轉；若極點與零點集互斥，則實際上無分左右。

粗略而言，考慮不同的 <math>U</math>，可得[[代數疊]] <math>\mathrm{Sht}^r</math> 及 <math>\mathrm{Sht}^r \times X</math> 上的「萬有 штука」，並有相對維度 $2$ 的[[平滑態射]] <math>(\infty,0): \mathrm{Sht}^r \to X \times X</math>。注意到當 <math>r > 1</math> 時，疊 <math>\mathrm{Sht}^r</math> 並非有限型的。

德林費爾德模可在某種意義下視作特別的 штука（自定義觀之，這絕非明顯），詳見 Drinfel'd, V. G. ''Commutative subrings of certain noncommutative rings.'' Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

==應用==
簡言之，函數域上的'''[[郎蘭茲猜想]]'''是關於 <math>\mathrm{GL}(n)</math> 的尖點[[自守表示]]及某個[[伽羅瓦群]]的表示之間的對應。德林費爾德利用 штука 證明<math>n=2</math>的情形。此猜想的難處在於構造滿足特定性質的伽羅瓦表示，德林費爾德的高處在於從某個秩 <math>2</math> штука 的[[模空間]]的 <math>\ell</math>-進上同調入手，找出相應的伽羅瓦表示。

德林費爾德認為此法可延伸至 <math>n \geq 2</math> 的情形。拉福格最後克服了其中的大量技術困難，完成證明。

==文獻==
===德林費爾德模===
*V. Drinfel'd, ''Elliptic modules'' (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR  Sbornik 23 (1974) 561-592.
*D. Goss, ''Basic structures of function field arithmetic'', ISBN 3-540-63541-6
*[http://eom.springer.de/D/d120270.htm Drinfel'd module] {{Wayback|url=http://eom.springer.de/D/d120270.htm |date=20110113014738 }} in the Springer encyclopaedia of mathematics
*G. Laumon, ''Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II'', Cambridge university press 1996

===штука===
*Drinfel'd, V. G. ''Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
*Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
*D. Goss, [http://www.ams.org/notices/200301/what-is.pdf What is a shtuka?] {{Wayback|url=http://www.ams.org/notices/200301/what-is.pdf |date=20180619221559 }} Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

===拉福格在郎蘭茲猜想方面的工作===
*Lafforgue, L. [http://www.math.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/07/Lafforgue.MAN.html ''Chtoucas de Drinfeld et applications.''] {{Wayback|url=http://www.math.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/07/Lafforgue.MAN.html |date=20180427200241 }}  (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998).  Doc. Math.  1998,  Extra Vol. II, 563--570
* Lafforgue, Laurent [http://arxiv.org/abs/math.NT/0212399 ''Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands.''] (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence)  Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002),  383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
*Gérard Laumon, [http://arxiv.org/abs/math.NT/0212417 ''The work of Laurent Lafforgue''] {{Webarchive|url=https://archive.today/20121205050710/http://arxiv.org/abs/math.NT/0212417 |date=2012-12-05 }} Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
*G. Laumon [http://arxiv.org/abs/math.AG/0003131 ''La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue)''] (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873

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