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'''德林斐特量子對'''（'''Drinfeld quantum double'''、'''Drinfeld double'''或'''quantum double'''）是[[數學家]][[德林斐特]]於1986年柏克萊國際數學家大會上提出的一種[[代數結構]]，由有限維[[霍普夫代數]] <math>A</math> 以及其對偶 <math>A^*</math>製作出新的霍普夫代數，還自動包含[[半三角霍普夫代數|半三角結構]]。量子對是[[量子群]]理論中極重要的建構。

在[[向量空間]]的層次上，量子對同構於張量積 <math>A \otimes A^*</math>，這個代數結構相當複雜。設 <math>(A, S)</math> 為[[域 (數學)|域]] <math>k</math> 上的有限維霍普夫代數，假定 <math>S</math> 可逆，並設 <math>\phi(,): A \otimes A^* \to k</math> 為 <math>A</math> 與 <math>A^*</math> 的自然配對。下列性質確定了量子對上唯一的霍普夫代數結構：
* 自然映射 <math>A \to A \otimes 1 \subset A \otimes A^*</math> 與 <math>A^* \to 1 \otimes A^* \subset A \otimes A^*</math> 是霍普夫代數的同構。
* <math>\forall a \in A, b \in A^*, \;  (a \otimes 1) \cdot (1 \otimes b) = a \otimes b</math>
* 承上，<math>(1 \otimes b) \cdot (a \otimes 1) = \sum_{(a),(b)} \phi(S^{-1}(a_{(1)}), b_{(1)}) \phi(a_{(3)}, b_{(3)}) a_{(2)} \otimes b_{(2)}</math>

任取一組基 <math>a_i \in A</math> 及其對偶基 <math>b_i \in A^*</math>。元素
: <math>R := \sum_i (1 \otimes a_i) \cdot (b_i \otimes 1) \in \mathcal{D}_\phi(A, A^*)^{\otimes 2}</math>
與基的選取無關，並滿足
* <math>R</math> 可逆。
* <math>R \cdot \Delta(-,-) = \Delta^\mathrm{op}(-,-) \cdot R</math>
* <math>\Delta \otimes \mathrm{id} = R_{13}R_{23}</math>
* <math>\mathrm{id} \otimes \Delta = R_{13}R_{12}</math>

是故 <math>R</math> 給出了 <math>A \otimes A^*</math> 上的'''半三角結構'''。通常將此量子對記為 <math>\mathcal{D}_\phi(A, A^*)</math>。

== 參考資料 ==
* C. Kassel, M. Rosso, V. Turaev, ''Quantum groups and knot invariants'', Panoramas et Syntheses, no. 5 (1997), Société Mathématique de France, ISBN 2-85629-055-8.
* Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley (1994) : ''A Guide to Quantum Groups'', ISBN 0521558840

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[[Category:表示論]]