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[[数学]]上，'''德拉姆上同调'''（de Rham cohomology）是同时属于[[代数拓扑]]和[[微分拓扑]]的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的[[上同调]]类的方式表达关于[[光滑流形]]的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的[[微分形式]]的存在性的[[上同调理论]]。它以不同的确定的意义[[对偶]]于[[奇异同调]]，以及[[亚历山大-斯潘尼尔上同调]]。

==定义==
任何光滑流形''M''上的光滑微分''k''-形式在加法之下形成一个[[交换群]](实际上也是一个[[实数|实]][[向量空间]]，称为

:&Omega;<sup>''k''</sup>(''M'') 

[[外导数]] ''d'' 给了以下的映射

:''d'':&Omega;<sup>''k''</sup>(''M'') &rarr; &Omega;<sup>''k''+1</sup>(''M'').

下面是一个基本的关系
:''d''<sup> 2</sup> = 0;

这本质上是因为[[二阶导数的对称性]]。所以''k''-形式和外导数形成一个[[上链复形]](cochain complex),称为''de Rham复形'': 

:<math>C^\infty(M) = \Omega^0(M)\to \Omega^1(M) \to \Omega^2(M) \to \Omega^3(M) \to \ldots.</math>

[[微分几何]]术语中，是其它微分形式的外导数的形式称为'''[[恰当形式]]'''({{lang|en|exact form}})，而外导数为0的形式称为'''闭'''形式(参看[[闭形式和恰当形式]]);''d''<sup> 2</sup> = 0这个关系说明
:'''恰当的微分形式都是闭的'''. 

其逆命题却一般来说不成立；闭形式未必恰当。de Rham上同调的想法就是给一个流形上不同类型的闭形式分类。分类这样进行：称 <math>\Omega^k(M)</math>中的两个闭形式&alpha; 和 &beta; 是'''上同调'''的，如果他们相差一个恰当形式，也就是，若<math>\alpha-\beta</math>為恰當形式。这个分类导出一个<math>\Omega^k(M)</math> 中的闭形式空间的一个等价关系。然后定义
''k''阶 '''de Rham上同调群'''为

:''H''<sup>''k''</sup><sub>dR</sub>(''M'')

等价类的集合，也就是，<math>\Omega^k(M)</math>中闭形式模恰当形式.

注意，对所有有n个[[連通分支 (拓撲)|连通分支]]的流形 ''M''，

:''H''<sup>0</sup><sub>dR</sub>(''M'') = '''R'''<sup>n</sup>

其中等号表示[[同构]]。这是因为M上导数为零的<math>C^\infty</math>函数在每个连通分量上为常数。

==例==
通常我们可以通过已知的0上同调羣和[[Mayer-Vietoris序列]]来计算一个流形的其他的德拉姆上同调羣。另一個有用的事實是德拉姆上同调是[[同倫不變量]]。下面是一些常见[[拓扑空间|拓扑]]對象的上同调羣，但我們沒有給出計算步驟:

'''n-球:'''

对于n-球，或者球和一个开区间的乘积，我们有以下结果。令n > 0, m &ge; 0, 而 I 为一个实开区间. 则:
:<math>H_{dR}^{k}(S^n \times I^m) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n \end{cases}</math>

'''n-[[環面]]:'''

类似的，令 n > 0 , 可以得到:
:<math>H_{dR}^{k}(T^n) \simeq \mathbb{R}^{n \choose k}</math>

'''穿孔欧几里得空间:'''

穿孔欧几里得空间就是拿掉原点的[[欧几里得空间]]。对于n > 0, 我们有:
:{|
|-
|<math>H_{dR}^{k}(\mathbb{R}^n - \{0\})</math>
|<math>\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}</math>
|-
|
|<math>\simeq H_{dR}^{k}(S^{n-1})</math>
|}

'''莫比乌斯带(Möbius strip), M:'''

大致来说，下面的结果或多或少是因为[[莫比乌斯带]]可"收缩(contract)"为一个1-球(圆):
:<math>H_{dR}^{k}(M) \simeq H_{dR}^{k}(S^1)</math>

==调和形式==
若''M''是一个[[紧]][[黎曼流形]]，则每个''H''<sup>''k''</sup><sub>dR</sub>(''M'') 中的等价类包含恰好一个[[调和形式]]。也就是说，给定闭形式的等价类的任一代表 &omega;可以写为 

:<math>\omega = d\alpha+\gamma</math>
其中 &alpha; 是一个形式，而&gamma; 是调和的: &Delta;&gamma;=0.

注意一个紧黎曼流形上的[[调和函数]]是一个常数。这样，这个特殊的代表元素可以视为流形上所有上同调等价的形式中的一个极值(极小值)。例如，在2-[[圆环]]上，一个常1-形式可以视为在一个形式，它所有的"毛"都整齐的梳到一个方向(而且所有的毛都一样长)。这个情况下，这表示2维环的第一[[贝蒂数]]是2。更一般的，在一个n维环''T''<sup>n</sup>上，可以考虑''k''-形式的各种不同的梳理。有''n''取''k''种不同的梳理用来建立 ''H''<sup>''k''</sup><sub>dR</sub>(''T''<sup>n</sup>)的一个基; 因此n-环的第''k''Betti数就是''n''取''k''。

更精确的讲，对于一个[[微分流形]]''M''，可以装备一个附加的[[黎曼度量]]。这样[[拉普拉斯算子]] &Delta;可以定义为

:<math>\Delta=d\delta+\delta d</math>
 
其中''d''是[[外导数]] 而 &delta; 是[[余微分]]。拉普拉斯算子是齐次的(在[[分次代数|分次]]中)[[线性]] [[微分算子]]作用在[[微分形式]]的[[外代数]]上：我们可以分别来看它在每个''k''阶分量上的作用。

若''M''为[[紧]]且[[可定向]]，拉普拉斯算子在[[微分形式|k-形式]]的空间上的[[核 (线性算子)|核]]的[[维度]]和''k''阶德拉姆上同调群的维度相同(根据[[霍奇理论]]:拉普拉斯算子从[[闭形式]]的每个上同调类中挑出唯一的一个''调和''形式。特别的，所有''M''上的调和''k''-形式同构于
''H<sup>k</sup>''(''M'';'''R'''). 每个这种空间的维度都有限，并有''k''阶贝蒂数给出。

==Hodge 分解==
令 &delta; 为[[余微分]](codifferential),我们称形式&omega; 是'''上闭'''的(co-closed)如果&delta;&omega;=0 而称其为'''上恰當(co-exact)'''。若对于某个形式 &alpha;，有&omega;=&delta;&alpha; 。'''Hodge分解'''表明任意k-形式 &omega; 可以分解为3个[[lp空间|L<sup>2</sup>]] 分量:

:<math>\omega = d\alpha +\delta \beta + \gamma</math>

其中 &gamma; 为调和的: &Delta; &gamma; = 0.  这是因为恰當和上恰當形式互相正交；他们的正交补就是同时恰當和上恰當的形式:也就是，调和形式。这里，正交性由<math>\Omega^k(M)</math>上的[[lp space|L<sup>2</sup>]]内积定义:

:<math>(\alpha,\beta)=\int_M \alpha \wedge *\beta</math>

精确的定义和分解的证明需要用[[索伯列夫空间]]来表述。主要的思想就是Sobolev空间提供了平方可积性和微分形式的[[柯西列]]收敛到极限形式的自然设置。这个语言使得我们得以克服紧支撑这样的限制，就像在[[亚历山大-斯潘尼尔上同调]]中那样。

==德拉姆定理==
'''德拉姆定理''', 由[[乔治·德拉姆]]在1931年证明，它表明对于一个[[紧致]] [[可定向]]光滑流形''M'',群''H''<sup>''k''</sup><sub>dR</sub>(''M'')同构于具有[[奇异上同调群]]

:''H<sup>k</sup>''(''M'';'''R'''). 

的實向量空間。[[楔积]]赋予这些群的[[直和]]一个环结构。定理的进一步结果是这两个上同调环(作为[[分次环]])是同构的。

一般化的[[斯托克斯定理]]是德拉姆上同调和[[链]]的[[同调群]]的[[对偶性]]的表达。

[[Category:代数拓扑]]
[[Category:同调论]]
[[Category:微分几何|D]]
[[Category:微分形式]]