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{{微積分學}}
{{NoteTA |G1=Math}}
'''微积分基本定理'''（{{lang-en|Fundamental theorem of calculus}}）描述了[[微积分]]的两个主要运算──[[微分]]和[[积分]]之间的关系。

定理的第一部分，称为'''微积分第一基本定理'''，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了[[連續函數]]的[[反導函數]]的存在性。

定理的第二部分，称为'''微积分第二基本定理'''或'''牛顿-莱布尼茨公式'''，表明某函數的[[定积分]]可以用該函數的任意一個反導函數来计算。这一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因为它大大简化了定积分的计算。<ref>
更加确切地，该定理涉及了可变上限和任意选择的下限的[[定积分]]。这类特殊的定积分允许我们计算函数的无穷多个[[原函数]]之一（除了那些没有零点的原函数）因此，它几乎跟[[不定积分]]是等价的，大部分作者把它定义为产生任何一个可能的原函数的运算，包括没有零点的原函数。</ref>

该定理的一个特殊形式，首先由[[詹姆斯·格里高利]]（1638-1675）证明和出版。<ref>See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, ''Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History'', Mathematical Association of America, 2004, [http://books.google.com/books?vid=ISBN0883855461&id=BKRE5AjRM3AC&pg=PA114&lpg=PA114&ots=Z01TZKrQXY&dq=%22james+gregory%22+%22fundamental+theorem%22&sig=6xDqL0oNAhWw66IqPdI5fQX7euA p. 114] {{Wayback|url=http://books.google.com/books?vid=ISBN0883855461&id=BKRE5AjRM3AC&pg=PA114&lpg=PA114&ots=Z01TZKrQXY&dq=%22james+gregory%22+%22fundamental+theorem%22&sig=6xDqL0oNAhWw66IqPdI5fQX7euA |date=20210402041811 }}.</ref>定理的一般形式，则由[[艾萨克·巴罗]]完成证明。 

對微积分基本定理比較直觀的理解是：把函數在一段區間的「无穷小变化」全部「加起來」，會等于该函數的净变化，這裡「無窮小變化」就是微分，「加起來」就是積分，淨變化就是該函數在區間兩端點的差。

我们从一个例子开始。假设有一个物体在直线上运动，其位置为<math>x(t)</math>，其中<math>t</math>为时间，<math>x(t)</math>意味着<math>x</math>是''<math>t</math>''的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化<math>dx</math>除以时间的无穷小变化<math>dt</math>（当然，该导数本身也与时间有关）。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用[[莱布尼兹记法]]：

:<math>\frac{dx}{dt} = v(t). </math>

整理，得

:<math>dx = v(t)\,dt. </math>

根据以上的推理，<math>x</math>的变化──<math>\Delta x</math>，是<math>dx</math>的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和，就是积分；所以，一个函数求导之后再积分，得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断，这个运算反过来也成立，积分之后再求导，得到的也是原来的函数。

== 历史 ==
[[詹姆斯·格里高利]]首先发表了该定理基本形式的几何证明<ref name=GregoryGeometry>{{cite journal| last=Malet|first=Antoni|title=James Gregorie on tangents and the "Taylor" rule for series expansions| publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|year=1993|journal=[[Archive for History of Exact Sciences]]|doi=10.1007/BF00375656|quote=Gregorie's thought, on the other hand, belongs to a conceptual framework strongly geometrical in character. (page 137)}}</ref><ref>
See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, ''Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History'', Mathematical Association of America, 2004, [https://books.google.com/books?id=BKRE5AjRM3AC&pg=PA114 p.&nbsp;114].
</ref><ref name=geometriae>{{cite book| last=Gregory | first=James | title=Geometriae Pars Universalis | url=https://archive.org/details/gregory_universalis | publisher= Patavii: typis heredum Pauli Frambotti | year=1668 | location=[[Museo Galileo]] }}</ref>，[[艾萨克·巴罗]]证明了该定理的一般形式<ref name=BarrowGeometricLectures>{{cite book| last1=Child | first1= James Mark | last2=Barrow | first2=Isaac| title= The Geometrical Lectures of Isaac Barrow | year=1916 | url=https://archive.org/details/geometricallectu00barruoft| publisher= Chicago: [[Open Court Publishing Company]]}}</ref>。巴罗的学生[[艾萨克·牛顿]]完善了微积分的相关理论。[[莱布尼茨]]使得相关理论实现体系化并引入了沿用至今的微积分符号。

== 正式表述 ==
微積分基本定理有兩部分，第一部分是[[定積分]]的微分，第二部分是原函数和[[定积分|定積分]]之間的關聯。

=== 第一部分 / 第一基本定理===
設 <math>a,b \in \mathbb{R}</math>，<math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math>於 <math>[a,b]</math> [[黎曼可積|黎曼可積分]]，定義函數 ''<math>F:[a,b] \to \mathbb{R}</math>'' 如下：
:<math>F(x) = \int_a^x\!f(t)\, dt</math>
則

# ''<math>F</math>'' 於[[閉區間]] <math>[a,b]</math> 連續
# 若 ''<math>f</math>'' 於 ''<math>c \in [a,\,b]</math>'' [[连续|連續]]，則<math>F'(c)=f(c)</math>

=== 第二部分 / 第二基本定理 ===
[[File:Fundamental theorem of calculus (animation).gif|thumb|right|图解]]
若兩函數 <math>f,F:[a,b] \mapsto \mathbb{R}</math> 滿足：
* <math>[\forall x \in (a,b)][F'(x) = f(x)]</math> （即 ''<math>F</math>'' 是 ''<math>f</math>'' 的一个原函數）
* ''<math>f</math>'' 於 <math>[a,b]</math> [[黎曼可積|黎曼可積分]]
則有：
:<math> \int_a^b \, f(t) \, dt \, = F(b)-F(a) </math>

可簡記為
:<math> \int_a^b \, f(t) \, dt \, =  F(x)\bigg|_{a}^{b} </math>

== 證明 ==

=== 第一部分 ===
(1)''<math>F</math>'' 於 <math>[a,b]</math> 連續

因為 <math>f</math> 為黎曼可積，所以 <math>f</math> 有界 (否則會有矛盾) ，也就是存在 <math>M>0</math> 使
:<math> |f(x)|\leq M </math> (對所有的 <math>x \in [a,\,b]</math>)

根據黎曼積分的定義，若取 <math>x,\, c \in [a,\,b]</math> 則
:<math> |F(x)-F(c)|=\left|\int^x_c f(t)\,dt\right|\leq M|x-c|   </math>

那這樣，如果取 <math>\delta = \frac{\epsilon}{M}</math> 且 <math>0<|x-c|<\delta</math> ，則
:<math> |F(x)-F(c)|<\epsilon  </math>

那根據[[函數極限#自變量趨於有限值時函數的極限|函數極限的定義]]，可以得到
:<math> \lim_{x\to c}F(x)=F(c)  </math> 

故得証。 ''<math>\Box</math>''

(2)若 ''<math>f</math>'' 於 ''<math>c \in [a,\,b]</math>'' 連續，則<math>F'(c)=f(c)</math>

''<math>f</math>'' 於 ''<math>c</math>'' 連續意為：對所有 ''<math>\epsilon > 0</math>'' ，都存在 ''<math>\delta > 0</math>'' 使得所有的 ''<math>f</math>'' 定義域裡的 <math>x</math> 只要滿足 <math>0 < |x-c| <\delta</math> 就有 <math>|f(x)-f(c)| <\epsilon</math>

而根據黎曼積分的定義可以知道，若對黎曼可積分的 ''<math>g: [r,\,s]\to\mathbb{R}</math>'' 有 ''<math>(\forall x\in [r,\,s])[|g(x)|\leq M]</math>'' ，則
:<math> \int^s_r g(t)\,dt\leq\int^s_r |g(t)|\,dt\leq M(s-r)  </math>

這樣考慮上述連續定義  <math>0 < x-c <\delta</math>  的部分會有
:<math> \left|\frac{F(x)-F(c)}{x-c}-f(c)\right|=\left|\frac{1}{x-c}\left[\int^{x}_{c}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|\frac{\epsilon(x-c)}{x-c}\right|=\epsilon  </math>

類似的， <math>0 < c-x <\delta</math> 的部分會有
:<math> \left|\frac{F(x)-F(c)}{x-c}-f(c)\right|=\left|\frac{1}{c-x}\left[\int^{c}_{x}f(t)-f(c)\,dt\right]\right|<\left|\frac{\epsilon(c-x)}{c-x}\right|=\epsilon  </math> 

那同樣根據[[极限_(数学)#函数的极限|函數極限的定義]]，就有
:<math> F^{\prime}(c) = \lim_{x\to c}\frac{F(x)-F(c)}{x-c}=f(c)  </math> 

即為所求。 ''<math>\Box</math>''

=== 第二部分 ===
设<math>f</math>在区间<math>[a,b]</math>上连续，并设<math>F</math>为<math>f</math>的原函数。我们从以下表达式开始
:<math>F(b) - F(a)\,.</math>

设有数

:<math>x_0,\ldots,x_n</math>

使得 

:<math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\,.</math> 

可得
:<math>F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,.</math>

我们加上<math>F(x_i)</math>及其相反数，这样等式仍成立：
:<math>\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\
& = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \,. \end{matrix}</math>

以上表达式可用以下的和表示：
:<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F(x_i) - F(x_{i-1})]\,. \qquad (1)</math>

我们将使用[[均值定理]]。就是：

设''<math>F</math>''在闭区间<math>[a,b]</math>连续，在开区间<math>(a,b)</math>可导，则开区间<math>(a,b)</math>内一定存在<math>c</math>使得
:<math>F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}\,.</math>

可得
:<math>F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). \,</math>

函数''<math>F</math>''在区间<math>[a,b]</math>可导，所以在每一个区间<math>x_{i-1}</math>也是可导和连续的。因此，根据均值定理，
:<math>F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,.</math>

把上式代入(1)，得
:<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]\,.</math>

根据第一部分的结论，我们有<math>F'(c_i) = f(c_i)</math>。另外，<math>x_i - x_{i-1}</math>可表示为第<math>i</math>个小区间的<math>\Delta x</math>。

:<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,. \qquad (2)</math>

[[File:Riemann.gif|right|thumb|一个黎曼和的收敛数列。右上角的数是灰色矩形的面积。它们收敛于函数的积分。]]

注意到我们正在描述矩形的面积（长度乘以宽度），并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到，<math>\Delta x_i</math>并不需要对于任何<math>i</math>都是相同的，换句话说，矩形的长度可以变化。我们要做的，是要用<math>n</math>个矩形来近似代替曲线。现在，当<math>n</math>增加而每一个矩形越来越小时，它的面积就越来越接近曲线的真实面积。

当矩形的宽度趋近于零时取极限，便得出[[黎曼积分]]。也就是说，我们取最宽的矩形趋于零，而矩形的数目趋于无穷大时的极限。

所以，我们把(2)式的两边取极限，得
:<math>\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.</math>

<math>F(b)</math>和<math>F(a)</math>都不依赖于<math>\begin{Vmatrix} \Delta \end{Vmatrix}</math>，所以左面的极限仍然是<math>F(b)-F(a)</math>。
:<math>F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.</math>

右边的表达式定义了<math>f</math>从<math>a</math>到<math>b</math>的积分。这样，我们有
:<math>F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\,,</math>
证明完毕。

== 例子 ==
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \int_a^{\sin x} e^t\, dt \\
&= \frac{d}{dx} F(\sin x) \\
&= F'(\sin x) \cos x\\
&= e^{\sin x} \cos x\\
\end{align}
</math>
计算以下积分：
:<math>\int_2^5 x^2\, dx. </math>
在这里，<math>f(x) = x^2</math>，<math>F(x) = {x^3\over 3} </math>是一个原函数。因此：
:<math>\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = {5^3 \over 3} - {2^3 \over 3}=39</math>

== 推广 ==
我们不需要假设<math>f</math>在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明：如果<math>f</math>是区间<math>[a,b]</math>内的任何一个勒贝格可积的函数，<math>x_0</math>是<math>[a,b]</math>内的一个数，使得<math>f</math>在<math>x_0</math>连续，则

:<math>F(x) = \int_a^x f(t)\, dt</math>

在<math>x=x_0</math>是可导的，且<math>F'(x_0)=f(x_0)</math>。我们可以把''<math>f</math>''的条件进一步降低，假设它仅仅是可积的。这种情况下，我们便得出结论：<math>F</math>[[几乎处处]]可导，且<math>F'(x)</math>几乎处处等于<math>f(x)</math>。这有时称为'''勒贝格微分定理'''。

定理的第一部分对于任何具有原函数<math>F</math>的勒贝格可积函数''<math>f</math>''都是正确的（不是所有可积的函数都有原函数）。

[[泰勒定理]]中把误差项表示成一个积分的形式，可以视为微积分基本定理的一个推广。

对于[[复数 (数学)|复数]]函数，也有一个类似的形式：假设<math>U</math>是<math>\mathbb{C}</math>的一个开集，<math>f:U\rightarrow \mathbb{C}</math>是一个在''<math>U</math>''处具有[[全纯函数|全纯]]原函数''<math>F</math>''的函数。那么对于所有曲线<math>\gamma:[a,b]\rightarrow U</math>，[[曲线积分]]可以用下式来计算：

:<math>\int_{\gamma} f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\,.</math>

微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分，也可以推广到[[流形]]。 

这个方向上的一个有力的表述是[[斯托克斯定理]]：设<math>M</math>为一个可定向[[分段]]光滑<math>n</math>维流形，并设<math>\omega</math>为<math>n-1</math>阶''<math>M</math>''上的C<sup>1</sup>类[[紧支撑]][[微分形式]]。如果<math>\vartheta M</math>表示''M<math>M</math>''的[[边界]]，并以''<math>M</math>''的方向诱导的方向为边界的方向，则

:<math>\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega\,.</math>

这里<math>\mathrm{d}\!\,</math>是[[外导数]]，它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将[[德拉姆上同调]]和奇异链的[[同调]]联系起来。

== 參見 ==
* [[極限]]
* [[微分]]
* [[积分]]

== 注解 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. ''Calculus of a single variable''. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
* Leithold, L. (1996). ''The calculus 7 of a single variable''. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
* Malet, A, ''Studies on James Gregorie (1638-1675)'' (PhD Thesis, Princeton, 1989).
* Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In ''Calculus: early transcendentals''. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
* Turnbull, H W (ed.), ''The James Gregory Tercentenary Memorial Volume'' (London, 1939)

{{基本定理}}

[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:微積分定理]]
[[Category:实分析定理]]