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微磁学是[[磁学]]的一个分支。其研究对象为介观尺度下[[铁磁体]]的磁化过程。该尺度足够大，大到到原子的大小可忽略不计，因此在该尺度下材料的磁学特性是连续的；然而该尺度又足够小，小到可以看清磁畴的结构。微磁学主要解决两类问题：
# 静微磁学：通过最小化磁学能量，得到系统的稳定解；
# 动微磁学：通过解[[:朗道-利夫希兹方程|朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert, LLG)]]，得到系统的动力学解。

== 连续性假设 ==
假定在铁磁体内某区域<math>dV</math>中存在<math>N</math>个磁矩
:<math>\mu_j, j = 1, 2, \cdots, N</math>。

那么区域内的平均磁矩可以表示为
:<math>M(r) = \frac {\sum_{j=1}^N \mu_j}{dV}</math>。

连续性假设认为在铁磁体内任意一点，

:<math>|M(r)| = M_s</math>。

式中<math>M_s</math>'''为饱和磁化强度'''。其意义在于小区域<math>V</math>内可以近似地认为所有磁矩都是指向同一方向的。这是交换作用在小区域内的结果（交换作用倾向于使得磁矩指向同一方向）。连续性假设是微磁学的基础。

== 静微磁学 ==
静微磁学的目标是求得平衡态下磁体内磁矩的空间分布情况。当温度低于[[居里温度]]时，由连续性假设，磁化强度的大小<math>|M|</math>总是等于<math>M_s</math>。所以问题简化为求磁矩的方向，或称约化磁化强度<math>m = M / M_s</math>。
铁磁体内的总能量密度可表示为

:<math>E = E_\text{exch} + E_\text{anis} + E_\text{Z} + E_\text{demag}</math>

其中<math>E</math>为总能量密度，<math>E_\text{exch}</math>为交换能，<math>E_\text{anis}</math>为各向异性能，<math>E_\text{Z}</math>为赛曼能，<math>E_\text{demag}</math>为退磁场能。

===交换能===
交换能是与磁矩之间的[[交换作用]]相关的能量。
交换能可表示为:<math>E_\text{exch} = A \int_V \left((\nabla m_x)^2 + (\nabla m_y)^2 + (\nabla m_z)^2\right) \mathrm{d}V</math>

式中<math>A</math>为交换作用常数，<math>m_x, m_y, m_z</math>是磁矩<math>m</math>在三个方向上的分量。如前所述，交换作用倾向于使磁矩统一指向一个方向，因为在这时交换作用能最低。
===各向异性能===
各向异性能来自于材料的微观各向异性，与晶体结构的对称性有关。
各项异性能可表示为

:<math>E_\text{anis} = \int_V F_\text{anis}(\mathbf{m}) \mathrm{d}V</math>

式中<math>F_{anis}</math>是各向异性能密度，与磁矩的指向方向有关。磁矩的指向方向为''易轴''时，各向异性能最低。

===赛曼能===
赛曼能来源于磁矩和外加磁场的作用。当磁矩与外场方向一致时，该能量最低。
赛曼能可表示为

:<math>E_\text{Z} = -\mu_0 \int_V \mathbf{M}\cdot\mathbf{H}_\text{a} \mathrm{d}V</math>

其中<math>H_a</math>是外加磁场，<math>\mu_0</math>是[[真空磁导率]]。

===退磁场能===
退磁场是磁距在铁磁体内部给自己施加的场。
退磁场能可表示为
:<math>E_\text{demag} = -\frac{\mu_0}{2} \int_V \mathbf{M}\cdot\mathbf{H}_\text{d} \mathrm{d}V</math>

式中<math>H_d</math>是退磁场。这个场的大小与方向是磁矩的分布决定的：

:<math>\nabla\cdot\mathbf{H}_\text{d} = -\nabla\cdot\mathbf{M}</math>

:<math>\nabla\times\mathbf{H}_\text{d} = 0</math>

式中−∇·'''M'''又被称为磁荷密度。从式中可以看出，退磁场来源于磁矩'''M'''分布的不均匀性(若分布均匀则<math>\nabla\cdot\mathbf{M} = 0</math>)。这些方程的解是：

:<math>\mathbf{H}_\text{d} = -\frac{1}{4\pi} \int_V \nabla\cdot\mathbf{M} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \mathrm{d}V</math>

式中'''r'''是从积分点指向观察点的矢量。

值得注意的是，在平衡态下，总能量最低，但并不代表每项能量都处于最低状态。实际上磁矩经常不均匀分布，以增加交换能的代价降低了退磁场能，而使得总能量最低。

== 动微磁学 ==

动微磁学的研究对象是磁矩在'''等效场下'''随时间的演化过程。该过程可以由解'''[[:朗道-利夫希兹方程|朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert, LLG)]]'''得出。

===等效场===

等效场是磁矩感受到的所有场的总和。它可以由以下公式描述：

:<math>\mathbf{H}_\mathrm{eff} = - \frac{1}{\mu_0 M_s} \frac{\mathrm{d}^2 E}{\mathrm{d}\mathbf{m}\mathrm{d}V}</math>
式中d''E''/d''V''是能量密度。

由能量密度的表达式，可以计算出：
:<math>\mathbf{H}_\mathrm{eff} = \frac{2A}{\mu_0 M_s} \nabla^2 \mathbf{m} - \frac{1}{\mu_0 M_s} \frac{\partial
F_\text{anis}}{\partial \mathbf{m}} + \mathbf{H}_\text{a} + \mathbf{H}_\text{d}</math>

===LLG方程===
LLG方程是磁矩的动力学方程。它描述了磁矩在'''等效场'''下的[[拉莫爾進動]]，以及一个阻尼项。
LLG方程可表示为

:<math>\frac{\partial \mathbf m}{\partial t} = - |\gamma| \mathbf{m} \times \mathbf{H}_\mathrm{eff} + \alpha \mathbf{m}\times\frac{\partial \mathbf{m}} {\partial t}</math>

在数学上可以推出LLG方程等价于下面的方程（又称为LL方程）：

:<math>\frac{\partial\mathbf m}{\partial t} = - \frac{|\gamma|}{1+\alpha^2} \mathbf{m} \times \mathbf{H}_\mathrm{eff} - \frac{\alpha|\gamma|}{1+\alpha^2} \mathbf{m}\times(\mathbf{m}\times\mathbf{H}_\text{eff})</math>

式中<math>\gamma</math>为[[旋磁比]]，<math>\alpha</math>为Gilbert阻尼常数。

== 应用 ==

微磁学可用于计算机硬盘的[[磁头]]和磁介质、[[永磁体]]的研发。

== 研究手段 ==
早期由于[[电子计算机|计算机]]运算能力不足，对微磁学的研究以理论推导为主。80年代后随着计算机技术的进展，[[计算机模拟]]成为重要手段。常用的模拟软件有oommf<ref>{{Cite web |url=http://math.nist.gov/oommf/ |title=存档副本 |access-date=2014-04-23 |archive-date=2022-01-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220128170016/https://math.nist.gov/oommf/ |dead-url=no }}</ref>、magpar<ref>{{Cite web |url=http://www.magpar.net/ |title=存档副本 |access-date=2014-04-23 |archive-date=2022-02-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220221010251/http://www.magpar.net/ |dead-url=no }}</ref>等。最近几年随着GPU通用计算的发展，出现了一批GPU加速的模拟软件如mumax<ref>{{Cite web |url=http://mumax.github.io/ |title=存档副本 |access-date=2014-04-23 |archive-date=2022-01-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220122005315/http://mumax.github.io/ |dead-url=no }}</ref>、GPMagnet<ref>{{Cite web |url=https://www.goparallel.net/index.php/gp-software |title=存档副本 |access-date=2014-04-23 |archive-date=2020-02-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200206230223/http://www.goparallel.net/index.php/gp-software |dead-url=no }}</ref>和TetraMag<ref>{{Cite web |url=http://www.fz-juelich.de/pgi/pgi-6/EN/Forschung/MagnetizationDynamics/Simulations/TetraMAG/_node.html |title=存档副本 |access-date=2014-04-23 |archive-date=2019-11-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191130013807/https://www.fz-juelich.de/pgi/pgi-6/EN/Forschung/MagnetizationDynamics/Simulations/TetraMAG/_node.html |dead-url=yes }}</ref>等。

== 历史 ==
1963年[https://en.wikipedia.org/wiki/William_Fuller_Brown_Jr. William Fuller Brown Jr.]发表了一篇关于反平行磁畴结构的文章，代表了这一领域的开端<ref>{{Cite web |url=http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jap/34/4/10.1063/1.1729489 |title=存档副本 |access-date=2014-04-23 |archive-date=2016-12-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161202045830/http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jap/34/4/10.1063/1.1729489 |dead-url=no }}</ref>。

==资料来源==
<references>

[[Category:动力系统]]
[[Category:靜磁學]]