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在[[数学]]中，集合''M''上的一个''n''-维'''微分结构'''（{{lang|en|differential structure}}）或'''可微结构'''（{{lang|en|differentiable structure}}）是一个带有附加结构（使得我们可以在该流形上做[[微积分]]）的[[拓扑流形]]，使其成为一个''n''-维[[微分流形]]。如果''M''已经是一个拓扑流形，我们要求新拓扑与原来已有的拓扑相同。

==定义==

对一个自然数''n''与可能为非负整数或无穷的某个''k''，一个''n''-维''C<sup>k</sup>''微分结构是用一个'''C<sup>k</sup>-[[图册 (拓扑学)|图册]]'''定义的，这是在''M''的一些子集（其并集是整个''M''）与''n''维[[向量空间]]的一些开子集之间的[[双射]]集合（称为'''坐标卡'''）。

:<math>\varphi_{i}: M\supset W_{i}\rightarrow U_{i}\subset\mathbb{R}^{n}</math>。

它们是 ''' ''C<sup>k</sup>''-相容'''的（在下面定义的意义下）：

每个这样的映射提供了将流形的某些子集可视为<math>\mathbb{R}^{n}</math>中的开子集的一种方式，但此想法的有效性取决于当两个这样的映射的定义域重合时它们相同的程度。

考虑两个坐标卡：

:<math>\varphi_{i}:W_{i}\rightarrow U_{i}</math>，
:<math>\varphi_{j}:W_{j}\rightarrow U_{j}</math>。

这两个函数定义域的交集是：

:<math>W_{ij}=W_{i}\cap W_{j}\;</math>

通过两个坐标卡映射映到两个像

:<math>U_{ij}=\varphi_{i}\left(W_{ij}\right)</math>，
:<math>U_{ji}=\varphi_{j}\left(W_{ij}\right)</math>

两个坐标卡之间的[[转移映射]]是此交集在两个坐标卡映射下的两个像之间的映射。

:<math>\varphi_{ij}:U_{ij}\rightarrow U_{ji}</math>

:<math>\varphi_{ij}(x)=\varphi_{j}\left(\varphi_{i}^{-1}\left(x\right)\right)</math>。

两个坐标卡<math>\varphi_{i},\,\varphi_{j}</math>是'''C<sup>k</sup>-相容'''的，如果

:<math>U_{ij},\, U_{ji}</math>

是开集，且转移映射

:<math>\varphi_{ij},\,\varphi_{ji}</math>

有''k''阶连续导数。如果''k = 0''，我们只要求转移映射是连续的，故一个''C<sup>0</sup>''-图册只不过是定义拓扑流形的另一个方法。如果''k'' = ∞，所有阶导数都必须连续。覆盖了整个流形的一族''C<sup>k</sup>''-相容坐标卡是定义了一个''C<sup>k</sup>''微分流形的''C<sup>k</sup>''-图册。两个图册是 ''' ''C<sup>k</sup>''-等价'''的如果他们坐标卡集合的并集组成一个''C<sup>k</sup>''-图册。特别的，一个''C<sup>k</sup>''-图册与定义拓扑流形的一个''C<sup>0</sup>''-图册''C<sup>0</sup>''-相容，则说在此拓扑流形上定义了一个''C<sup>k</sup>''微分结构。这样图册的''C<sup>k</sup>'' [[等价类]]是此[[流形]]'''不同的C<sup>k</sup>微分结构'''。每个不同的微分结构由惟一一个极大图册确定，即此等价类中所有图册的并集。 

==存在性与惟一性定义==

对''k''>0，有''C''<sup>''k''</sup>结构的任何流形上，存在惟一''C''<sup>''k''</sup>-相容的''C''<sup>∞</sup>-结构，这是[[哈斯勒·惠特尼|惠特尼]]的一个定理。另一方面，存在[[拓扑流形]]没有任何微分结构，参见[[唐纳森定理]]（与[[希爾伯特第五問題]]比较）。

当人们数一个流形上微分结构的多少时，往往模去保定向[[同胚]]。维数小于4的任何紧致流形上只有惟一一个微分结构。对维数大于4的所有流形上存在有限个微分结构。在<math>\mathbb{R}^{n}</math>上只有一个微分结构，除非<math>n = 4</math>的情形，有[[不可数]]多个。

==维数从1到18的球面上微分结构==

下表列出了维数到18的<math>n</math>-维球面上（光滑）微分结构（模去保持定向的微分同胚）数目。球面带有与通常的不同的微分结构称为[[怪球面]]。

{| class="wikitable"
|-
! 维数
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 
|-
!结构
| 1 || 1 || 1 || ? || 1 || 1 || 28 || 2 || 8 || 6 || 992 || 1 || 3 || 2 || 16256 || 2 || 16 || 16
|}

除了至少有一个，目前仍不知道在4-维球面上有多少微分结构。可能是一个，有限个或无限个。只有一个的断言称为[[庞加莱猜想|光滑庞加莱猜想]]。大多数数学家相信这个猜想是错的，即在4-维球面上不止一个微分结构。这个问题与[[怪R4|开4-维球体]]上不止一个微分结构有关。

==拓扑流形上的微分结构==

上已提到，在维数小于4的拓扑流形上，只有一个微分结构。对维数为1和2，由[[约翰·拉东]]证明；在维数为3是由{{le|埃德温·莫伊泽|Edwin E. Moise}}证明的。利用[[阻碍理论]]，[[羅比恩·卡比]]与Laurent Siebenmann证明了大于4维的紧拓扑流形上的{{le|PL结构|Piecewise linear manifold}}数目是有限的。[[约翰·米尔诺]]、{{le|Michel Kervaire}}以及Morris Hirsch证明了一个紧PL流形上的光滑结构数目是有限的且与同样维数球面上光滑结构的数目相等（参见Asselmeyer-Maluga, Brans chapter 7）。将这些结论合起来，维数不等于4的紧拓扑流形上的光滑结构数目是有限的。

[[4维流形|4维]]复杂得多。对紧流形，结论取决于由第二个[[贝蒂数]]<math>b_2</math>衡量的流形复杂性。对大贝蒂数<math>b_2>18</math>，在一个单连通4-维流形中，可以利用沿着一个结或链环的一个[[割补理论|割补]]产生一个新的微分结构。这样可以制造可数无穷多个微分结构。但即使是像<math>S^4, S^2\times S^2, {\mathbb C}P^2,..</math>。之类的简单空间，仍然不知道其它微分结构的构造。对非紧4-维流形有许多例子比如<math>{\mathbb R}^4,S^3\times {\mathbb R},M^3\setminus\{*\},..</math>。有不可数多个微分结构。

== 进一步阅读 ==
{{refbegin}}
* Hirsch, Morris, ''Differential Topology'', Springer (1997), ISBN 0-387-90148-5.对微分结构的一般性数学说明。
* Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C., ''Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations''.  Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1977), ISBN 0-691-08190-5.
* Asselmeyer-Maluga, T. and Brans, C.H., ''Exotic Smoothness in Physics''. World Scientific Singapore, 2007（更多信息参见网页http://loyno.edu/~cbta）{{dead link|date=2018年2月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}, ISBN 978-981-02-4195-7
{{refend}}

==相关条目==

*[[图册 (拓扑学)|图册]]
*[[怪R4|怪R<sup>4</sup>]]
*[[怪球面]]
*[[流形]]

{{Authority control}}
[[Category:微分結構]]

[[de:Differenzierbare Struktur]]