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在[[数学]]中，'''微分算子'''（{{lang-en|Differential operator}}）是定义为[[导数|微分]]运算之函数的[[算子]]。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数{{notetag|以[[计算机科学]]中[[高阶函数]]的方式}}{{notetag|当然有理由不单限制于线性算子。例如在只考虑线性的情况下，{{le|施瓦茨导数|Schwarz derivative}}是一个熟知的非线性算子。}}。

==记号==

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：<math>{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x}</math>、<math>D</math>（在不會搞混哪个变量微分時），以及<math>D_x</math>（指明了变量）。

一阶导数如上所示，但当取更高阶''n''-次导数时，下列替代性记号是有用的：<math>\mathrm{d}^n \over \mathrm{d}x^n</math>、<math>D^n</math>、<math>D^n_x</math>。

记号''D''的发明与使用归于[[奥利弗·亥维赛]]，他在研究[[微分方程]]中考虑了如下形式的微分算子

: <math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math>

另一个最常见的微分算子是[[拉普拉斯算子]]，定义为

:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}</math>

另一个微分算子是Θ算子，定义为

:<math>\Theta = z {\mathrm{d} \over \mathrm{d}z}</math>

有时候这也称为[[齐次算子]]，因为它的[[本征函数]]是关于''z''的单项式：

:<math>\Theta(z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots </math>

在''n''个变量中齐次算子由

:<math>\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}</math>

给出。与单变量一样，Θ的[[本征空间]]是[[齐次多项式]]空间。

==一个算子的伴随==
{{see also|埃尔米特伴随}}
给定一个线性微分算子''T''
: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k (x) D^k u</math>，
[[埃尔米特伴随|这个算子的伴随]]定义为算子<math>T^*</math>使得
: <math>\langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle</math>
这里记号<math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>表示[[数量积]]或[[点积]]。从而此定义取决于数乘的定义。

=== 单变量中的形式伴随 ===

在[[平方可积]]函数空间中，数量积定义为

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b f (x) \, \overline{g (x)} \,\mathrm{d}x</math>

如果另外增添要求''f''或''g''当<math>x \to a</math>与<math>x \to b</math>等于零，我们也可定义''T''的伴随为

: <math>T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k (x)u]</math>

此公式不明显地取决于数量积的定义，故有时作为伴随算子的一个定义。当<math>T^*</math>用这个公式定义时，它称为''T''的'''形式伴随'''。

一个（形式）'''[[自伴算子]]'''是与它的（形式）伴随相等的算子。

=== 多变量 ===

如果Ω是'''R'''<sup>n</sup>中一个区域，而''P''是Ω上一个微分算子，则''P''在[[Lp空间|''L''<sup>2</sup>(Ω)]]中的伴随由对偶性以类似的方式定义：

:<math>\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}</math>

对所有光滑''L''<sup>2</sup>函数''f''与''g''。因为光滑函数在''L''<sup>2</sup>中是稠密的，这在''L''<sup>2</sup>的一个稠密子集上定义了伴随：:  P<sup>*</sup>是一个[[稠定算子]]。

===例子 ===
[[施图姆-刘维尔理论|施图姆-刘维尔]]算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子''L''可以写成如下形式

: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^2 u +(-p') D u +(q)u.\;\!</math>

这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

: <math>\begin{align}
L^*u & {} =(-1)^2 D^2 [(-p)u] +(-1)^1 D [(-p')u] +(-1)^0 (qu) \\
 & {} = -D^2 (pu) + D(p'u)+qu \\
 & {} = -(pu)''+(p'u)'+qu \\
 & {} = -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu \\
 & {} = -p'u'-pu''+qu \\
 & {} = -(pu')'+qu \\
 & {} = Lu
\end{align}</math>

这个算子在[[施图姆-刘维尔理论]]（{{lang|en|Sturm–Liouville theory}}）
中的关键，其中考虑了这个算子[[本征函数]]（类比于[[本征向量]]）。

==微分算子的性质==

微分是[[微分的线性|线性]]的，即

:<math>D(f+g) =(Df)+(Dg)</math>

:<math>D (af) = a (Df)</math>

这里''f''和''g''是函数，而''a''是一个常数。

任何以函数为系数之''D''的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

:<math>(D_1 \circ D_2,f) = D_1(D_2(f))</math>

复合微分算子。需要一些注意：首先算子''D''<sub>2</sub>中的任何函数系数必须具有''D''<sub>1</sub>所要求的[[可微]]次数。为了得到这样运算的一个环，我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二，这个环不是[[交换律|交换]]的：一个算子''gD''一般与''Dg''不同。事实上我们有例，如在[[量子力学]]中的基本关系：

:<math>Dx - xD = 1</math>

但这些算子的子环：''D''的[[常系数]]多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。

微分算子也服从[[移位定理]]（{{lang|en|shift theorem}}）。

==多变量==
同样的构造可对[[偏导数]]也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子{{notetag|参见[[二阶导数的对称性]]}}。

==坐标无关描述以及与交换代数的关系==

在[[微分几何]]与[[代数几何]]中，通常习惯于对两个[[向量丛]]之间的微分算子有一个[[坐标]]无关描述。设<math>E</math>与<math>F</math>是流形<math>M</math>上两个向量丛。[[截面 (纤维丛)|截面]]的一个<math>\mathbb{R}</math>-线性映射<math>P: \Gamma (E) \rightarrow \Gamma (F)</math>称为一个'''''k''-阶微分算子'''，如果它分解穿过[[节丛]]<math>J^k (E)</math>。换句话说，存在一个向量丛的线性映射

:<math>i_P: J^k (E) \rightarrow F</math>

使得

:<math>P = \hat{i}_P\circ j^k</math> 

这里<math>\hat{i}_P</math>表示由<math>i_P</math>，在截面上诱导的映射，而<math>j^k:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma(J^k(E))</math>，是典范（或通用）''k''-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面<math>s</math> of <math>E</math>，<math>P (s)</math>在一个点<math>x\in M</math>的值完全由<math>s</math>在<math>x</math>的''k''-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着<math>P (s)(x)</math>由<math>s</math>在<math>x</math>的[[层 (数学)|芽]]决定，这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是[[皮特定理]]（{{lang|en|Peetre theorem}}）证明了逆命题也是正确的：任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的，但纯代数的描述如下：
一个<math>\mathbb{R}</math>-线性映射<math>P</math>是一个''k''-阶微分算子，如果对任何(''k'' + 1)阶光滑函数<math>f_0,\ldots,f_k \in C^\infty (M)</math>我们有

:<math>[f_k[f_{k-1}[\cdots[f_0,P]\cdots]]=0</math>

这里括号<math>[f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)</math>定义为[[交换子]]

:<math>[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P (s)</math>

线性算子的这个刻画说明，它们是一个交换[[代数 (环论)|代数]]上的[[模]]之间的一个特殊映射，使这个概念可视为交换代数的一部分。

==例子==

* 在[[物理学]]的应用中，像[[拉普拉斯算子]]在建立与求解[[偏微分方程]]中起着主要的作用。

* 在[[微分拓扑]]中，[[外导数]]与[[李导数]]算子有内蕴意义。

* 在[[抽象代数]]中，[[导子]]的概念是微分算子不要求分析的一个推广。通常这样的推广用于[[代数几何]]与[[交换代数]]。另见[[节 (数学)|节]]。

==注释==
{{notefoot}}
==參見==
* [[差分算子]]
* {{le|德尔塔算子|Delta operator}}
* [[分数微积分]]

[[Category:微分算子|*]]
[[Category:多变量微积分|W]]