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[[File:nondifferentiable atlas.png|right|frame|世界地圖的光滑流形<!--A nondifferentiable atlas of charts for the globe.  The results of calculus may not be compatible between charts if the atlas is not differentiable.  In the center and right charts the [[Tropic of Cancer]] is a smooth curve, whereas in the left chart it has a sharp corner.  The notion of a differentiable manifold refines that of a manifold by requiring the functions that transform between charts to be differentiable.-->]]
'''光滑流形'''（{{Lang-en|''smooth manifold''}}），或称'''{{Serif| C<Sup>∞</Sup>}}-微分流形'''（{{Lang|en|differential manifold}}）、'''{{Serif|C<Sup>∞</Sup>}}-可微流形'''（{{Lang|en|differentiable manifold}}），是指一个被赋予了光滑结构的[[流形|拓扑流形]]。一般的，如果不特指，'''微分流形'''或'''可微流形'''指的就是{{Serif| C<Sup>∞</Sup> }}类的微分流形。可微流形在[[物理學]]中非常重要。特殊種類的可微流形構成了經典力學、[[廣義相對論]]和[[楊-米爾斯理論]]等物理理論的基礎。可以為可微流形開發微積分。可微流形上的[[微積分]]研究被稱為[[微分幾何]]。

==歷史==
微分幾何（differential geometry）作為一個獨特的學科的出現一般歸功於[[高斯]]（Carl Friedrich Gauss）和[[黎曼]]（ Bernhard Riemann）。黎曼在哥廷根的著名的康復講座中描述了多個面向。他通過在一個新的方向上改變給定對象的直觀過程激發了多方面的想法，並且預先描述了協調系統和圖表在隨後形式發展中的作用：

: 在一個概念下的事例如果構成n維流形，一個流形的特色可以簡單表示其屬性，則化簡的結果必然是有限個數字，…… - 波恩哈德·黎曼的就職演說《论作为几何学基础的假设》

物理學家[[詹姆斯·克拉克·麦克斯韦]]（James Clerk Maxwell）和數學家[[格雷戈里奧·里奇-庫爾巴斯托羅|庫爾巴斯托羅]]（Gregorio Ricci-Curbastro）和[[图利奥·列维-齐维塔|齐维塔]]（Tullio Levi-Civita）的成果導入了[[張量分析]]和[[廣義協變性]]的概念，它將內在幾何屬性識別為關於協調變換的不變量。這些想法在1912年[[愛因斯坦]]發展[[廣義相對論]]理論時取得關鍵性的應用。[[赫尔曼·外尔|外爾]]（Hermann Weyl）于1912年给出了微分流形的一个内在的定义。1930年代，该课题基础性方面的工作被[[哈斯勒·惠特尼]]（Hassler Whitney）等人厘清，使得从19世纪下半叶起开始发展起来的相关的直觉知识变得更精确，并通过[[微分几何]]和[[李群]]使微分流形的理论得到进一步的发展。

=={{Serif| C<Sup>r</Sup> }}-可微流形的定义==
设<math>r</math> 是自然數，<math>m</math>-维拓扑空间 <math>\mathcal{M}</math> 被称为是 <math>m</math>-维 <math>\mathbf{C}^r</math> '''可微流形'''，如果，
# <math>\mathcal{M}</math> 为[[豪斯多夫空间]]
# <math>\mathcal{M}</math> 被 <math>m</math>-维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在<math>\mathcal{M}</math> 中的 <math>m</math>-维[[坐标邻域|坐标邻域族]]<math>\left\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\right\}_{\alpha\in A}</math>，使得<math>\mathcal{M}=\cup_{\alpha \in A} U_\alpha</math>
# 满足<math>U_\alpha \cap U_{\beta}:=W_{\alpha\beta}\neq \phi</math> 的任意 <math>\alpha,\beta\in A</math>，其[[坐标转换]]
::<math>\varphi_\beta\circ \varphi_\alpha^{-1}: \varphi_\alpha(W_{\alpha\beta})\subseteq \mathbb{R}^m \mapsto \varphi_\beta(W_{\alpha\beta})\subseteq \mathbb{R}^m</math>
:为一個 <math>\mathbb{R}^m</math> 到 <math>\mathbb{R}^m</math> 的 <math>\mathbf{C}^r</math> 映射。
*注意：每個座標鄰域 <math>U_\alpha</math> 都是流形 <math>\mathcal{M}</math> 中的開集合。
* 当第三個條件中的座標變換改成是光滑映射（代表可無限次微分）時，滿足這三條件的稱為'''光滑流形'''，寫作<math>\mathbf{C}^\infty</math>流形；当座標變換不是可微映射，僅是連續映射時，滿足這三條件的稱為'''拓扑流形'''，寫作<math>\mathbf{C}^0</math>流形。

===圖冊===
{{ Annotated image | caption=流形由卡（chart）的集合定义
| image=Two coordinate charts on a manifold.svg
| image-width = 250
| annotations =
{{Annotation|45|70|<math>X</math>}}
{{Annotation|70|54|<math>U_\alpha</math>}}
{{Annotation|187|66|<math>U_\beta</math>}}
{{Annotation|42|100|<math>\varphi_\alpha</math>}}
{{Annotation|183|117|<math>\varphi_\beta</math>}}
{{Annotation|87|112|<math>\varphi_{\alpha\beta}</math>}}
{{Annotation|90|145|<math>\varphi_{\beta\alpha}</math>}}
{{Annotation|55|183|<math>\mathbf R^n</math>}}
{{Annotation|145|183|<math>\mathbf R^n</math>}}
}}
拓撲空間X上的圖冊稱為卡（chart）的{{nowrap|{(''U''<sub>''α''</sub>, ''φ''<sub>''α''</sub>)}{{null}}}}的集合，其中''U''<sub>α</sub>是覆蓋 X的開放集合，並且對於每個索引α
:<math>\varphi_\alpha \colon U_\alpha \to {\mathbf R}^n</math>
是''U''<sub>α</sub>在n維真實空間的開放子集上的同胚。圖冊的转移映射（transition map）功能是

:<math>\varphi_{\alpha\beta} = \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}|_{\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)} \colon \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta) \to \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta).</math>

以图册来定义流形的概念是由夏尔·埃雷斯曼于1943年所提出。每個拓撲流形都有一個圖冊。''C<sup>k</sup>''-atlas是一個圖冊，其轉換圖是''C<sup>k</sup>''。拓撲流形具有''C''<sup>0</sup>-atlas，並且通常''C<sup>k</sup>''-流形具有''C<sup>k</sup>''-atlas。連續圖冊（continuous atlas）是''C''<sup>0</sup>圖冊，平滑圖冊是''C''<sup>∞</sup>圖冊，分析圖冊（analytic atlas）是''C''<sup>ω</sup>圖冊。

==替代定義==
===偽群===
偽群（Pseudogroups）的概念提供了彈性的圖冊泛化（generalization of atlases），允許以統一的方式在流形上定義成各種不同的結構。偽群由拓撲空間S和由S的開放子集到S的其他開放子集的同態組成的集合Γ組成，使得

#如果{{nowrap|''f'' ∈ Γ}}，且''U''是f的域的開放子集，則限制''f''|<sub>''U''</sub>也在Γ。
#如果''f'' 開放子集合的同胚, <math>\cup_i \, U_i </math>, 到 ''S''的開放子集，則 {{nowrap|''f'' ∈ Γ}}為每個''i''提供 <math> f|_{U_i} \in \Gamma </math>。
#對於每個開放的{{nowrap|''U'' ⊂ ''S''}}， U的身份轉換在Γ。
#如果{{nowrap|''f'' ∈ Γ}}，則{{nowrap|''f''<sup>−1</sup> ∈ Γ}}。
#Γ的兩個元素組成在Γ。

最後三個條件類似於一個群（group）的定義。注意，Γ不必是群，因為這些函數在S上不是全域定義的。

===結構層===
有時使用替代方法來賦予具有''C<sup>k</sup>''結構的流形是有用的。這裡''k'' = 1, 2, ..., ∞, 或ω為實分析流形（real analytic manifolds）。不考慮坐標圖，可以從流形本身定義的功能開始。''M'' 的結構層（structure sheaf），表示為'''C'''<sup>''k''</sup>，是一種函數 ，它為每個開放集{{nowrap|''U'' ⊂ ''M''}}定義連續函數{{nowrap|''U'' →  '''R'''}}的代數'''C'''<sup>''k''</sup>(''U'')。

==可微分函數==
在n維可微分流形 ''M''上的實值函數f在點{{nowrap|''p'' ∈ ''M''}}處被稱為可微分 ，如果它在''p''周圍定義的任何坐標圖中是可微分的。更準確地說，如果{{nowrap|(''U'', ''φ'')}}是卡（chart），其中''U''包含''p''，是 ''M''的[[开集|開集]]，而且{{nowrap|''φ'' : ''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}}是定義卡（chart）的映射，則f是可微分的，如果且僅當
:<math>f\circ \varphi^{-1} \colon \varphi(U)\subset {\mathbf R}^n \to {\mathbf R}</math> 
在''φ''(''p'')處是可微分的。一般會有很多可用的卡（chart）；然而，可微分的定義不取決於''p''的卡（chart）的選擇。從[[链式法则]]（chain rule）應用到一個卡（chart）和另一個圖之間的轉換函數，如果''f''在''p''的任何特定卡（chart）中都是可微分的，那麼在''p''的所有卡（chart）中都是可微分的。類似的情況適用於定義''C<sup>k</sup>''函數，平滑函數和分析函數。

==叢==
===切線叢===
點的[[切空間]]由該點處的可能的方向導數構成，並且具有與流形相同的維數n。對於一組（非奇異）坐標''x<sub>k</sub>''在本地點，坐標導數（coordinate derivatives）<math>\partial_k=\frac{\partial}{\partial x_k}</math>確定切線空間的完整基礎。

===餘切叢===
向量空間的對偶空間（dual space）是矢量空間上的實值線性函數集合。餘切空間處的一點是該點的切線空間的對偶位置，而餘切叢（cotangent bundle）是所有餘切空間的集合。
==流形結構==
===黎曼流形===
黎曼流形是一個可微分的流形，[[切空間]]以微分的方式產生內積。內積結構可以稱為黎曼度量（metric）。該度量可以用於互變向量和輔助向量，並定義rank 4[[黎曼曲率張量]]。黎曼流形有長度、體積和角度的概念。任何可微流形都可以被稱為黎曼結構。 
===扭對稱流形===
一個共同的流形是具有封閉性的，非退化的symmetric 2-tensor形式的流形。這種情況迫使相似的流形是均勻的。在[[漢密爾頓力學]]中作為相位空間出現的反切叢（Cotangent bundles）是激勵的例子，但是許多緊湊型流形也具有扭對稱（symplectic）結構。

==參見==
*[[仿射联络]]
*[[图册 (拓扑学)]]
*[[克里斯托费尔符号]]
*[[微分几何]]

==參考文獻==
{{refbegin}}
* {{Cite book|first=省身|last=陈|authorlink=陈省身|coauthor=陈维桓|year=2001|title=微分几何讲义|publisher=北京大学出版社|isbn=7-301-05151-4|url=http://ishare.iask.sina.com.cn/f/11912148.html|access-date=2011-10-05|archive-date=2019-06-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20190610054011/http://ishare.iask.sina.com.cn/f/11912148.html}}
* {{Cite book|first=塞尔日|last=兰|authorlink=塞尔日·兰|year=2010|origyear=1998|title={{VarSerif|Fundamentals of Differential Geometry}}|trans_title=微分几何基础|publisher=[[施普林格出版社]]、[[世界图书出版公司]]|location=北京|isbn=7-5100-0540-X|url=http://ishare.iask.sina.com.cn/f/7431175.html|access-date=2011-10-05|archive-date=2021-11-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20211121231620/http://ishare.iask.sina.com.cn/f/7431175.html}}
* {{Cite book|first=乔治|last=德拉姆|authorlink=乔治·德拉姆|year=1984|origyear=1984|title={{VarSerif|Differentiable Manifolds}}|trans_title=可微流形|publisher=施普林格出版社、[[万国学术出版社|中国学术出版社]]|location=北京|unified=W13262·15|url=}}
{{refend}}

[[Category:微分幾何|W]]
[[Category:微分拓撲學]]
[[Category:流形]]