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{{About|数学概念|物理方程的“微分形式”与“积分形式”|微分方程|和|积分方程}}

'''微分形式'''（{{lang-en|Differential form}}）是[[多变量微积分]]，[[微分拓扑]]和[[张量分析]]领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以[[楔积]]和[[外微分]]结构形成[[外代数]]的想法，都是由法国数学家[[埃里·嘉当]]引入的。

例如，一元微积分中的表达式{{math|''f''(''x'') ''dx''}}是{{math|1}}-形式的一个例子，并且可以在{{math|''f''}}定义域内的一个区间{{math|[''a'', ''b'']}}上进行[[积分]]：
:<math>\int_a^b f(x)\,dx.</math>
类似地，表达式{{math|''f''(''x'', ''y'', ''z'') ''dx'' ∧ ''dy'' + ''g''(''x'', ''y'', ''z'') ''dz'' ∧ ''dx'' + ''h''(''x'', ''y'', ''z'') ''dy'' ∧ ''dz''}}是{{math|2}}-形式的一种，它在[[可定向]][[曲面]]{{math|''S''}}上有[[曲面积分]]:
:<math>\int_S f(x,y,z)\,dx\wedge dy + g(x,y,z)\,dz\wedge dx + h(x,y,z)\,dy\wedge dz.</math>
符号{{math|∧}}表示两个微分形式的[[外代数|外积]]，有时候也称为''楔积''。类似地，{{math|3}}-形式{{math|''f''(''x'', ''y'', ''z'') ''dx'' ∧ ''dy'' ∧ ''dz''}}表示可以在空间的一个区域进行积分的[[体积元]]。一般地，{{mvar|k}}-形式是一个可以在{{mvar|k}}-维集合上进行积分的对象，并且其坐标微分是{{mvar|k}}次齐次的。

==简介==

我们从'''R'''<sup>''n''</sup>中的开集的情形开始。一个'''0-形式'''（0-form）定义为一个[[光滑函数]]''f''.
当我们在'''R'''<sup>''n''</sup>的''m''-维子空间''S''上对函数''f''积分时，我们将积分写作：
:<math>\int_S f\,dx_1 \ldots dx_m.</math>

把''dx''<sub>1</sub>, ..., ''dx''<sub>''n''</sub>当作形式化的对象，而非让积分看起来像个[[黎曼积分|黎曼和]]的标记。我们把这些和他们的负−''dx''<sub>1</sub>, ..., −''dx''<sub>''n''</sub>叫做基本1-形式。

我们再在其上定义一种乘法规则[[楔积]]，这种乘法只需满足[[反交换]]的条件：
对所有''i'',''j''
:<math>dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i</math>
注意这意味着
:<math>dx_i \wedge dx_i = 0</math>.

我们把这些乘积的集合叫做''基本''2-''形式''，类似的我们定义乘积
:<math>dx_i \wedge dx_j \wedge dx_k</math>
的集合为''基本''''3''-形式，这里假定''n''至少为3。现在定义一个''单项式''''k''-形式为一个0-形式乘以一个基本的''k''-形式，定义'''''k''-形式'''为一些单项式''k''-形式的和。

楔积可以推广到这些和上：
:<math>(f\,dx_I + g\,dx_J)\wedge(p\,dx_K + q\,dx_L) = </math>
::<math>f \cdot p\,dx_I \wedge dx_K +
f \cdot q\,dx_I \wedge dx_L +
g \cdot p\,dx_J \wedge dx_K +
g \cdot q\,dx_J \wedge dx_L,
</math>
等等，这里''dx''<sub>''I''</sub>和类似的项表示''k''-形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。

现在，我们来定义光滑[[流形]]上的''k''-形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个''k''-形式；一个全局的''k''-形式就是一组坐标领域上的''k''-形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种''一致''的精确定义，见[[流形]]。

==楔积的性質==

若''f'', ''g'',''w''为任意微分形式，则
:<math>w \wedge (f + g) = w \wedge f + w \wedge g. </math>

若''f''为''k''-形式，''g''为''l''-形式：

:<math>f \wedge g = (-1)^{kl} g \wedge f.</math>

==抽象（简明）定义及讨论==
在[[微分几何]]中，''k''阶'''微分k-形式'''是一个[[流形]]的[[余切丛]]的''k''阶外幂（exterior power）的光滑截面。在流形的每一点''p'',一个''k''-形式给出一个从[[切空间]]的''k''阶笛卡儿幂（cartesian power）到'''R'''的多线性映射。

例如，光滑函数（0-形式）的[[微分]]就是一个1-形式。

1-形式在[[张量]]的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的[[对偶空间]]。1-形式的一个旧称就是"[[协变向量]]"。

==微分形式的积分==
''k''阶微分形式可以在''k''维[[链 (数学)|链]]（chain）上积分。若''k'' = 0,这就是函数在点上的取值。其他的''k'' = 1, 2, 3, ...对应于线积分，曲面积分，体积分等等。

设
:<math>\omega=\sum a_{i_1,\cdots,i_k}({\mathbf x})\,dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} </math> 
为一微分形式，设''S''为一个我们想在其上积分的集合，其中''S''有参数化形式
:<math>S({\mathbf u})=(x_1({\mathbf u}),\cdots,x_n({\mathbf u}))</math>
'''u'''属于参数域''D''。则[Rudin, 1976]定义''S''上微分形式的积分为

:<math>\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\cdots,i_k}(S({\mathbf u})) \frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}\,d{\mathbf u}</math>

其中

:<math>\frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}</math>
是[[雅可比矩阵]]的行列式。

参见[[斯托克斯定理]]（Stokes' Theorem）。

==微分形式的操作==

一个流形上所有''k''-形式的集合是一个[[向量空间]]。而且，其上有三类操作：[[楔积]], [[外微分]]（用''d''表示），和[[李导数]]。''d''<sup>2</sup> = 0,细节请见[[德拉姆上同调]]。

外导数和积分的基本关系由推广的[[斯托克斯定理]]给出，它也同时给出了[[德拉姆上同调]]和链的[[同调]]的对偶性。

==参考==

* {{Book reference | author= Walter Rudin | title=Principles of Mathematical Analysis | url= https://archive.org/details/principlesofmath00rudi | publisher=New York: McGraw-Hill, Inc. | year=1976 | ID=ISBN 0-07-054235}}

* {{Book reference | author=Michael Spivak | title=Calculus on Manifolds | url=https://archive.org/details/calculusonmanifo0000spiv | publisher= W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA | year = 1965 |ID=ISBN 66-10910 }}

{{Authority control}}
[[Category:微分几何|W]]
[[Category:微分拓扑学|W]]
[[Category:微分形式]]