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''微分叠'''是[[代数几何]]中的[[代数叠]]在[[微分几何]]中的类似物，可描述为[[微分流形]]上的[[叠 (数学)|叠]]，也可描述为[[森田等价]]下的[[李群胚]]。<ref>{{Cite journal|last=Blohmann|first=Christian|date=2008-01-01|title=Stacky Lie Groups|url=https://academic.oup.com/imrn/article/doi/10.1093/imrn/rnn082/705350|journal=International Mathematics Research Notices|language=en|volume=2008|arxiv=math/0702399|doi=10.1093/imrn/rnn082|issn=1687-0247|access-date=2023-12-15|archive-date=2022-12-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20221208001853/https://academic.oup.com/imrn/article/doi/10.1093/imrn/rnn082/705350|dead-url=no}}</ref>

微分叠很适合处理有[[奇点 (数学)|奇点]]的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分叠在[[叶状结构]]、<ref>{{Cite journal|last=Moerdijk|first=Ieke|date=1993|title=Foliations, groupoids and Grothendieck étendues|journal=Rev. Acad. Cienc. Zaragoza|volume=48|issue=2|pages=5–33|mr=1268130}}</ref>[[泊松流形]]<ref>{{Cite book|last1=Blohmann|first1=Christian|last2=Weinstein|first2=Alan|title=Poisson Geometry in Mathematics and Physics |author-link2=Alan Weinstein|date=2008|chapter=Group-like objects in Poisson geometry and algebra |series=Contemporary Mathematics |url=http://www.ams.org/conm/450/ |language=en|publisher=American Mathematical Society|volume=450|pages=25–39|arxiv=math/0701499|doi=10.1090/conm/450|isbn=978-0-8218-4423-6|s2cid=16778766 }}</ref>和[[扭K理论]]中都有应用。<ref>{{Cite journal|last1=Tu|first1=Jean-Louis|last2=Xu|first2=Ping|last3=Laurent-Gengoux|first3=Camille|date=2004-11-01|title=Twisted K-theory of differentiable stacks|url=http://www.numdam.org/item/ASENS_2004_4_37_6_841_0/|journal=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure|language=en|volume=37|issue=6|pages=841–910|arxiv=math/0306138|doi=10.1016/j.ansens.2004.10.002|s2cid=119606908|issn=0012-9593|via={{Interlanguage link|Numérisation de documents anciens mathématiques.|lt=Numérisation de documents anciens mathématiques.|fr}}|access-date=2023-12-15|archive-date=2023-10-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20231012174929/http://www.numdam.org/item/ASENS_2004_4_37_6_841_0/|dead-url=no}}</ref>

==定义==
=== 定义1（由广群纤维化） ===
回想在广群中纤维化的范畴（或称'''广群纤维化'''），包含范畴<math>\mathcal{C}</math>、到微分流形范畴的函子<math>\pi: \mathcal{C} \to \mathrm{Mfd}</math>，并满足

# <math>\mathcal{C}</math>是[[纤维范畴]]，即对任意对象<math>u\in\mathcal{C}</math>和任意箭头<math>V \to U\ \in\mathrm{Mfd}</math>，都有箭头<math>v \to u</math>，在<math>V \to U</math>上；
# 对<math>\mathrm{Mfd}</math>中的任意[[交换图|交换三角]]<math>W \to V \to U</math>及<math>W \to U</math>上的任意箭头<math>w \to u</math>、<math>V \to U</math>上的<math>v \to u</math>，在<math>W \to V</math>上存在唯一的箭，使三角<math>w \to v \to u</math>交换。

这些性质确保<math>\forall U\in \mathrm{Mfd}</math>，都可以定义其'''纤维'''<math>\pi^{-1}(U)</math>或<math>\mathcal{C}_U</math>，作为<math>\mathcal{C}</math>的[[子范畴]]，由<math>\mathcal{C}</math>在''U''上的所有对象和在<math>id_U</math>上的所有态射组成。根据这构造，<math>\pi^{-1}(U)</math>是[[广群]]。'''叠'''是满足胶合性质的广群纤维，用[[下降 (数学)|下降]]表述。

任何流形''X''都定义了其{{le|顶范畴|Overcategory|切片范畴}} <math>F_X = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Mdf}} (-, X)</math>，对象是流形''U''与光滑映射<math>f: U \to X</math>组成的对子<math>(U,f)</math>；则<math>F_X \to \mathrm{Mdf}, (U,f) \mapsto U</math>是广群纤维，实际上也是叠。广群纤维的态射<math>\mathcal{C} \to \mathcal{D}</math>若满足以下条件，则称作'''可表浸没'''：

* 对流形''U''和任意态射<math>F_U \to \mathcal{D}</math>，[[拉回 (范畴论)|纤维积]]<math>\mathcal{C} \times_{\mathcal{D}} F_U</math>可表，即（对某个流形''Y''，）与作为广群纤维的<math>F_V</math>同构；
* 诱导光滑映射<math>V \to U</math>是[[浸没 (数学)|浸没]]。

对流形''X''，'''微分叠'''是叠<math>\pi: \mathcal{C} \to \mathrm{Mfd}</math>与特殊的可表浸没<math>F_X \to \mathcal{C}</math>（上述每个浸没<math>V \to U</math>都需要是[[满射]]）。映射<math>F_X \to \mathcal{C}</math>称作叠''X''的图集、呈现或覆叠。<ref name=":0">{{Cite journal |last1=Behrend |first1=Kai |author-link=Kai Behrend |last2=Xu |first2=Ping |date=2011 |title=Differentiable stacks and gerbes |url=https://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/jsg/content/vols/0009/0003/a002/abstract.php |journal=Journal of Symplectic Geometry |language=EN |volume=9 |issue=3 |pages=285–341 |arxiv=math/0605694 |doi=10.4310/JSG.2011.v9.n3.a2 |issn=1540-2347 |s2cid=17281854 |access-date=2023-12-15 |archive-date=2023-10-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231011222601/https://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/jsg/content/vols/0009/0003/a002/abstract.php |dead-url=no }}</ref><ref>Grégory Ginot, [https://ncatlab.org/nlab/files/GinotDifferentiableStacks.pdf ''Introduction to Differentiable Stacks (and gerbes, moduli spaces …)''] {{Wayback|url=https://ncatlab.org/nlab/files/GinotDifferentiableStacks.pdf |date=20231011222602 }}, 2013</ref>

=== 定义2（由2-函子） ===
回想范畴<math>\mathcal{C}</math>上（广群的）'''[[预叠]]'''（也称作2-[[预层]]），是[[2-函子]] <math>X: \mathcal{C}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}</math>，其中<math>\mathrm{Grp}</math>是（集合论）[[广群]]的[[2-范畴]]、及其间的态射和自然变换。[[叠 (数学)|叠]]是满足胶合性质的预叠（类似层满足的胶合性质）。要精确说明这性质，需要定义[[景 (数学)|景]]上的（预）叠，即配备了[[格罗滕迪克拓扑]]的范畴。

所有对象<math>M \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})</math>定义了叠<math>\underline{M} := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-,M)</math>，与另一对象<math>N \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})</math>关联，形成[[态射]]<math>N\to M</math>的广群<math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(N,M)</math>。现有叠<math>X: \mathcal{C}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}</math>，若有对象<math>M \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})</math>与叠的态射<math>\underline{M} \to X</math>（常称作叠''X''的图集、呈现或覆叠）满足以下性质，则称其'''几何的'''：
* 态射<math>\underline{M} \to X</math>可表，即<math>\forall Y\in \mathcal{C}</math>和任何态射<math>Y \to X</math>，[[拉回 (范畴论)|纤维积]]<math>\underline{M} \times_X \underline{Y}</math>同构于作为叠的<math>\underline{Z}</math>（对某对象''Z''）；
* 诱导态射<math>Z \to Y</math>满足取决于范畴<math>\mathcal{C}</math>的范畴（如对流形，是要满足[[浸没 (数学)|浸没]]。

'''微分叠'''是<math>\mathcal{C} = \mathrm{Mfd}</math>（微分流形范畴，视作具有通常开覆叠拓扑的景）上的叠，即2-函子<math>X: \mathrm{Mfd}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}</math>，其也满足几何性，即承认上面定义的图集<math>\underline{M} \to X</math>。<ref name=":1">Jochen Heinloth: ''[https://www.uni-due.de/~mat903/preprints/heinloth.pdf Some notes on differentiable stacks] {{Wayback|url=https://www.uni-due.de/~mat903/preprints/heinloth.pdf |date=20221020162316 }}'', Mathematisches Institut Seminars, Universität Göttingen, 2004-05, p. 1-32.</ref><ref>Eugene Lerman, Anton Malkin, [[arxiv:0710.4340|Differential characters as stacks and prequantization]], 2008</ref>

注意，将<math>\mathrm{Mfd}</math>换成[[仿射概形]]范畴，就恢复到标准[[代数叠]]概念。相似地，把<math>\mathrm{Mfd}</math>换成[[拓扑空间]]范畴，就得到拓扑叠定义。

=== 定义3（由森田等价） ===
回想'''[[李群胚]]'''，包含两微分流形''G''、''M''、两[[满射]][[浸没 (数学)|浸没]]<math>s,t: G \to M</math>、偏乘法映射<math>m: G \times_M G \to G</math>、单位映射<math>u: M \to G</math>、逆映射<math>i: G \to G</math>，满足类似群的相容性。

两个李群胚<math>G \rightrightarrows M</math>、<math>H \rightrightarrows N</math>间若有主双丛''P''，即有主右''H''丛<math>P \to M</math>、主左''G''丛<math>P \to N</math>，使得对''P''的两作用交换，则称''G''、''H'''''森田等价'''。森田等价是李群胚间的等价，比同构弱，但足以保留许多几何性质。

'''微分叠'''记作<math>[M/G]</math>，是某李群胚<math>G \rightrightarrows M</math>的森田等价类。<ref name=":0" /><ref>Ping Xu, [https://personal.psu.edu/pxx2/book.pdf Differentiable Stacks, Gerbes, and Twisted K-Theory] {{Wayback|url=https://personal.psu.edu/pxx2/book.pdf |date=20210506225929 }}, 2017</ref>

=== 定义1、2的等价性 ===
任何纤维范畴<math>\mathcal{C} \to \mathrm{Mdf}</math>都定义了2-层<math>X: \mathrm{Mdf}^{opp} \to \mathrm{Grp}, U \mapsto \pi^{-1}(U)</math>。反过来，任何预叠<math>X: \mathrm{Mdf}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}</math>给出了范畴<math>\mathcal{C}</math>，其对象是流形''U''与对象<math>x \in X(U)</math>的对子<math>(U,x)</math>，态射是映射<math>\phi: (U,x) \to (V,y)</math>，使<math>X (\phi) (y) = x</math>。这样的<math>\mathcal{C}</math>配备函子<math>\mathcal{C} \to \mathrm{Mdf}, (U,x) \mapsto U</math>后，成为纤维范畴。

定义1、2中叠的胶合性质等价，同样，定义1中的图集诱导了定义2中的图集，反之亦然。<ref name=":0" />

=== 定义2、3的等价性 ===

李群胚<math>G \rightrightarrows M</math>给出了微分叠<math>BG: \mathrm{Mfd}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}</math>，将任何流形''N''发送到''N''上的''G''-[[旋子]]的范畴（即''G''-[[主丛]]）。<math>G \rightrightarrows M</math>的森田类中，任何其他李群胚都诱导了一个同构叠。

反过来，任何微分叠<math>X: \mathrm{Mfd}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}</math>都是<math>BG</math>形式，即可由李群胚表示。更精确地说，若<math>\underline{M} \to X</math>是叠''X''的图集，则可定义李群胚<math>G_X:= M \times_{X} M \rightrightarrows M</math>，并检查<math>BG_X</math>是否同构于''X''。

Dorette Pronk提出的一个定理指出，定义1的微分叠与李群胚之间的[[双范畴]]具有森田等价性。<ref>{{Cite journal|last=Pronk|first=Dorette A.|date=1996|title=Etendues and stacks as bicategories of fractions|url=http://www.numdam.org/item/CM_1996__102_3_243_0/|journal=Compositio Mathematica|volume=102|issue=3|pages=243–303|via={{Interlanguage link|Numérisation de documents anciens mathématiques.|lt=Numérisation de documents anciens mathématiques.|fr}}|access-date=2023-12-15|archive-date=2023-10-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20231011222602/http://www.numdam.org/item/CM_1996__102_3_243_0/|dead-url=no}}</ref>

==示例==
* 任何流形''M''定义了微分叠<math>\underline{M} := \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hom}}(-,M)</math>，由恒等映射<math>\underline{M} \to \underline{M}</math>平凡地表示。叠<math>\underline{M}</math>对应单位广群<math>u(M) \rightrightarrows M</math>的森田等价类。
* [[李群]]''G''定义了微分叠<math>BG</math>，将任意流形''N''发送到''N''上的''G''-主丛的范畴，由平凡叠态射<math>\underline{pt} \to BG</math>表示，将一点发送到''G''的[[分类空间]]上的[[通用丛|通用''G''-丛]]。叠<math>BG</math>对应<math>G \rightrightarrows \{ *\}</math>的森田等价类，视作点上的李群胚（即任意具有迷向群''G''的传递李群胚的森田等价类）。
* 流形''M''上的[[叶状结构]]<math>\mathcal{F}</math>由其叶空间定义了微分叠，对应[[完整群|完整广群]]<math>\mathrm{Hol} (\mathcal{F}) \rightrightarrows M</math>的森田等价类。
* [[轨形]]都是微分叠，因为其是具有[[离散空间|离散]]迷向的紧合李群胚（紧合李群胚的迷向是[[紧空间|紧]]的，所以有限）的森田等价类。

=== 商微分叠 ===
给定''M''上的[[李群作用]]<math>a: M \times G \to M</math>，其'''商（微分）叠'''是代数几何中[[商叠|商（代数）叠]]的可微部分。其定义为与流形''X''、主''G''-丛范畴<math>P \to X</math>和''G''-等价映射<math>\phi: P \to M</math>相联系的叠<math>[M/G]</math>，是由叠态射<math>\underline{M} \to [M/G]</math>表示的微分叠，在任意流形''X''上的定义如下：

<math display="block">\underline{M}(X) = \mathrm{Hom}(X,M) \to [M/G](X), \quad f \mapsto (X \times G \to X, \phi_f)</math>

其中<math>\phi_f: X \times G \to M</math>是''G''-等价映射<math>\phi_f = a \circ (f \circ \mathrm{pr}_1, \mathrm{pr}_2): (x,g) \mapsto f(x) \cdot g</math>。<ref name=":1" />

叠<math>[M/G]</math>对应作用广群<math>M \times G \rightrightarrows M</math>的森田等价类。于是，可得到下列特殊情形：

* 若''M''是点，则微分叠<math>[M/G]</math>与<math>BG</math>重合
* 若作用是半正则[[紧合作用]]（于是商<math>M/G</math>是流形），则微分叠<math>[M/G]</math>与<math>\underline{M/G}</math>重合
* 若作用是紧合作用（于是商<math>M/G</math>是轨形），则微分叠<math>[M/G]</math>与轨形定义的叠重合

==微分空间==
'''微分空间'''（differentiable space）是具有平凡稳定子的微分叠。例如，若[[李群]]半正则作用（不必紧合）于流形，则对其的商一般不是流形，而是微分空间。

==配备格罗滕迪克拓扑==
微分叠''X''可以某种方式配备[[格罗滕迪克拓扑]]，这给出了''X''上的[[层 (数学)|层]]概念。例如，''X''上微分''p''形式的层<math>\Omega_X^p</math>可由流形''U''上<math>\forall x\in X</math>给出，使<math>\Omega_X^p(x)</math>为''U''上''p''形式的空间。层<math>\Omega_X^0</math>称作''X''上的[[赋环空间|结构层]]，表示为<math>\mathcal{O}_X</math>。<math>\Omega_X^*</math>带有[[外微分]]，因此是''X''上[[向量空间]]的复[[层 (数学)|层]]：于是有了''X''的[[德拉姆上同调]]的概念。

==束==
现有微分叠间的满态射<math>G \to X</math>，若<math>G \to G \times_X G</math>也是满态射，则前者称作''X''上的[[束 (数学)|束]]。例如，若''X''是叠，则<math>BS^1 \times X \to X</math>是束。Giraud提出的一条定理称，<math>H^2(X, S^1)</math>一一对应于局部同构于<math>BS^1 \times X \to X</math>的''X''上的束集，束有其带（band）的平凡化。<ref>{{Cite journal|last=Giraud|first=Jean|date=1971|title=Cohomologie non abélienne|url=https://doi.org/10.1007/978-3-662-62103-5|journal=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|volume=179|language=en-gb|doi=10.1007/978-3-662-62103-5|isbn=978-3-540-05307-1|issn=0072-7830}}</ref>

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 外部链接 ==
*http://ncatlab.org/nlab/show/differentiable+stack {{Wayback|url=http://ncatlab.org/nlab/show/differentiable+stack |date=20230923100841 }}

[[Category:微分几何]]