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数学分析中的'''微分包含式'''（Differential inclusion）是指具有如下形式的[[常微分方程式]]：

:<math>\frac{dx}{dt}(t)\in F(t,x(t)), </math>

其中''F''(''t'', ''x'')表示了一个集合，而非<math>\scriptstyle{\mathbb R}^d</math>空间中一个点。对微分包含式的研究源于[[微分不等式]]、[[投影动态系统]]、动态[[摩擦力]]问题和[[模糊集]]算法问题等不同的领域。

举例来讲，由库仑摩擦力的基本定理得知物体受到的摩擦力的大小为''μN''，方向与滑动方向相反，其中''N''是正向力，''μ''是摩擦系数。然而，在一个动态问题中，物体滑动量为0时受到的摩擦力可以是相应的受力平面内的小于等于''μN''任意的力，在这种情形下表示摩擦力与物体的位置、速度的函数关系就需要采用多值函数。

==理论==
现有的关于微分包含式的理论通常假定 ''F''(''t'',&nbsp;''x'') 是关于 ''x'' 的「上半侧连续」函数，''t''可测，且 ''F''(''t'',&nbsp;''x'') 对于所有的''x''、''t''都是闭合的[[凸集]]。

在以上假定的条件下，有关于初值问题:

:<math>\frac{dx}{dt}(t)\in F(t,x(t)), \quad x(t_0)=x_0</math>  在充分小的时间间隔[''t''<sub>0</sub>,&nbsp;''t''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''ε''), ''ε''&nbsp;>&nbsp;0 内

的解的存在定理。若对''F''作进一步约束，可以得到全局状况下的解的存在定理 (<math>\scriptstyle \Vert x(t)\Vert\,\to\,\infty</math> as <math>\scriptstyle t\,\to\, t^*</math> for a finite <math>\scriptstyle t^*</math>)。

当 ''F''(''t'',&nbsp;''x'') 是非凸的集合时，相应的微分包含式的解的存在定理是目前的一个研究热点。

==应用==
微分包含式可以被适宜地理解为非连续的常微分方程，它出现在力学系统中对动态摩擦力的研究，以及电力电子领域中对理想开关的研究等。

== 参见 ==
*[[微分方程]]
*[[常微分方程]]
*[[博弈论]]

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[[Category:动力系统|D]]