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[[File:Hyperbolic triangle.svg|thumb|235px|right|三角形沉浸在一个鞍形面（一个[[双曲抛物面]]）上，以及两条发散的[[双曲几何|超平行线]]。]]
{{General geometry |branches}}
'''微分幾何'''研究[[微分流形]]的幾何性質，是現代[[數學]]中的一主流研究方向，也是[[廣義相對論]]的基礎，與[[拓撲學]]、[[代數幾何]]及[[理論物理]]關係密切。

古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。[[歐拉]]、[[蒙日]]和[[高斯]]被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是[[黎曼]]，他在1854年创立了[[黎曼几何]]（实际上黎曼提出的是[[芬斯勒几何]]），这成为了近代微分几何的主要内容，并在[[相对论]]有极为重要的作用。[[埃利·嘉当]]和[[陈省身]]等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。

==內在對外在==

從一開始到19世紀中葉，微分幾何是從外在觀點來進行研究的：曲線和曲面是被放在更高維度的[[歐幾里得空間]]中來考慮的（譬如曲面被放在三維的背景空間中）。其中的最簡單的成果就是曲線微分幾何中的結果。內在觀點開始於黎曼的工作，在那裡因為幾何對象被認為是獨立的給出的，所以不能說移到外面來考慮這個對象。

內在的觀點更加靈活，例如在相對論中時空不能很自然的用外在形式表示。但用內在的觀點，曲率和聯絡這樣的結構比較難定義一些，所以採用內在的觀點也不是沒有代價的。

這兩種觀點也是可以融通的，即外在幾何可以被看作是附加於內在幾何上的結構。（見[[納什嵌入定理]]）

==技术要求==
微分几何的工具也就是流形上的微积分：包括对于[[流形]]，[[切丛]]，[[余切丛]]，[[微分形式]]，[[外微分]]，<math>p</math>-形式在<math>p</math>维子流形上的积分以及[[斯托克斯定理]]，[[楔积]]，和[[李导数]]的研究。这些都和多变量微积分相关；但对于几何上的应用来讲，必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数：[[曲率]]的很多表现方式。

可微流形是一个拓扑空间，它有一个开覆盖，其中的每个开集同胚于<math>R^n</math>中的一个开单位球。并且，如果<math>f</math>,<math>g</math>是其中两个同胚映射，则函数<math>f^{-1}\circ g</math>无限可微。我们称一个函数无限可微，如果它和每个同胚的复合是从开球到<math>R</math>的无限可微函数。

在流形的每一点，有一个该点的[[切空间]]，它由每个从该点离开进行运动的所有可能的速度（方向和大小）所组成。对一个n维流形，每点的切空间是一个n维向量空间，或者说是一个'''R'''<sup>n</sup>。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间，除以
所有取值为0并且一阶导数为0的函数空间（所得到的余空间）。导数为0可以定义为“和任何可微的从实数到该流形的函数的复合的导数为0”，因而只需要用到可微性。

[[向量场]]是从流形到它的切空间的并集（[[切丛]]）的函数，在每一点所取的值是该点的切空间的一个元素。这样的映射称为[[纤维丛]]的[[截面 (纤维丛)|截面]]。
向量场可微，如果该向量场应用到每个可微函数都得到一个可微函数。向量场可以看作是时不变的微分方程组。从实数到流形的可微函数是流形上的曲线。这给了一个从实数到切空间的函数：曲线上每点的速度。一条曲线称为一个向量场的一个解，如果曲线每点的速度和向量场在该点的值相等。

交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V<sup>*</sup>的反对称k阶向量积的一个元素。k微分形式就是在流形的每一点选取一个这样的交错k形式--V在这里就是该点的切空间。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数，则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。

==分支==

*[[黎曼幾何]]
黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的[[光滑流形]]，他们因此''无穷小''得看起来像[[欧几里得空间]]。这使得欧几里得几何的诸如函数的[[梯度]]，[[散度]]，[[曲线]]的[[长度]]等概念得到了推广；而无须假设空间''整体''上有这么对称。

*[[复幾何]]
研究的对象是''复流形''。这是一类有着可积的[[近复结构]]的微分流形。因为非奇异的复[[代数簇]]自然的是复流形，因此与复[[代数几何]]有着紧密的联系。

*[[辛幾何]]
这是研究''辛流形''的学科。一个辛流形是带有辛形式（也就是，一个闭的非退化2-形式）的微分流形。

*[[切觸幾何]]
这是[[辛流形|辛几何]]在奇数维上的对应物。大致来说，在(2''n''+1)微流形上的切触结构是一个[[1-形式]]<math>\alpha</math>使得<math>\alpha\wedge (d\alpha)^n</math>处处非退化。

*[[芬斯勒幾何]]
芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有[[芬斯勒度量]]的微分流形，也就是切空间被赋予了[[巴拿赫范数]]。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20070122211608/http://rsp.math.brandeis.edu/3D-XplorMath/Surface/a/bk/curves_surfaces_palais.pdf A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003]
* [https://web.archive.org/web/20070403031712/http://rsp.math.brandeis.edu/3d-xplormath/Surface/gallery.html Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery]

==參考書目==
# Michael Spivak (1999)， ''A Comprehensive Introduction to Differential Geometry''，(5 Volumes),3rd Edition.
# Manfredo Do Carmo (1976), ''Differential Geometry of Curves and Surfaces.'' Prentice Hall.
# Manfredo Perdigao do Carmo, Francis Flaherty (1994), ''Riemannian Geometry.''
# John McCleary (1994), ''Geometry from a Differentiable Viewpoint''
# Ethan D. Bloch (1996), ''A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry''
# Alfred Gray (1998), ''Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica'', 2nd ed.

{{数学主要领域}}

{{Authority control}}
[[category:微分幾何|*]]