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'''微分代数'''（{{lang-en|Differential algebra}}）是[[代数学]]的一个分支，在代数中装备一个[[导子]]就可以得到微分代数。此外，在[[数学]]中，微分环、微分域和微分代数是[[环 (代数)|环]]、[[体 (数学)|域]]、[[代數 (環論)|代数]]装备一个[[导子]]，一个满足[[莱布尼兹法则|莱布尼兹乘积法则]]的[[一元算子|一元函数]]。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元[[有理函数]]  '''C'''(''t'')，其导子是关于 ''t'' 的微分。

== 微分环 ==
一个微分环 ''R'' 是装备一个或多个导子的环

:<math>\partial:R \to R</math>

使得每个导子满足[[乘积法则|莱布尼兹乘积法则]]：

:<math>\partial(r_1 r_2)=(\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2),</math>

对任何 <math>r_1, r_2 \in R</math>。注意环可能不交换，从而稍微标准的交换环情形的乘积法则  ''d(xy) = xdy + ydx'' 形式可能不成立。如果 <math>M:R \times R \to R</math> 是环上的乘法，乘积法则是恒等式

:<math>\partial \circ M = 
M \circ (\partial \otimes \operatorname{id}) + 
M \circ (\operatorname{id} \otimes \partial).\,</math>

这里 <math>f\otimes g</math> 表示函数将二元组 <math>(x,y)</math> 映到二元组 <math>(f(x),g(y))</math>。

== 微分域 ==
一个微分域是带有一个导子的域 ''K''。微分域 ''DF'' 的理论，由通常域公理与另外关于导子的两个公理。和上面一样，导子在域的元素上必须服从乘积法则，或莱布尼兹法则，这是导子称为导子的原因。即对域中任何两个元素 ''u'' 与 ''v'' 有 

:<math>\partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u,\,</math>

由于域上的乘法可交换。导子也必须对域加法有[[分配律]]

:<math>\partial (u + v) = \partial u + \partial v\ .\,</math>

如果 ''K'' 是一个微分域则常数域 <math> k = \{u \in K : \partial(u) = 0\}</math>。

== 微分代数 ==
域 ''K'' 上一个微分代数是一个 ''K''-代数 ''A''，其中的导子与域可交换。即对所有 <math>k \in K</math> 与 <math>x \in A</math> 有

:<math>\partial (kx) = k \partial x.\,</math>

在不用指标记法中，如果 <math>\eta \colon K\to A</math> 是定义了环上数量乘法的[[环同态]]，则有

:<math>\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{Id}) = 
M \circ (\eta \times \partial).\,</math>

同上导子对代数乘法必须服从莱布尼兹法则，以及对加法线性。从而，对所有 <math>a,b \in K</math> 与 <math>x,y \in A</math> 有

:<math>\partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y),\,</math>

以及

:<math>\partial (ax+by) = a\,\partial x + b\,\partial y.\,</math>

== 李代数上的导子 ==
[[李代数]] <math>\mathfrak{g}</math> 上一个导子是一个线性 <math>D \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}</math> 满足莱布尼兹法则：

:<math>D([a,b]) = [a,D(b)] + [D(a),b]\,</math>

对任何 <math>a \in \mathfrak{g}, \operatorname{ad}(a)</math> 是 <math>\mathfrak{g}</math> 上一个导子，这由雅可比恒等式可得。任何这样的导子称为'''内导子'''。

==例 ==

如果 <math>A</math> [[有单位]]，则 &part;(1) = 0 这是因为 &part;(1) = &part;(1 &times; 1) = &part;(1) + &part;(1)。例如，在[[域的特征|特征]]零的微分域中，有理数总是常数域的子域。

任何域可以简单地理解为一个常数微分域。

域 '''Q'''(''t'') 具有惟一的结构成为一个微分域，由令 &part;(''t'') = 1 确定：域公理与导子的公理奇异保证导子是关于 ''t'' 的导数。例如，由乘法与莱布尼兹法则的交换性有 &part;(''u''<sup>2</sup>) = ''u'' &part;(''u'') + &part;(''u'')''u''= 2''u''&part;(''u'')。

微分域 '''Q'''(''t'') 对微分方程

:<math> \partial(u) = u </math>

没有解。但扩充成包括函数 ''e''<sup>''t''</sup> 的更大的微分域，则这个方程有解。对任何微分方程系统有解的微分域称为[[微分闭域]]。这样的域存在，尽管它们不是作为代数或几何对象自然出现的。任何微分域（有界[[基數 (數學)|基數]]）嵌入一个大微分闭域。微分域是[[微分伽罗瓦理论]]中的研究对象。

自然出现的导子例子是[[偏导数]]、[[李导数]]、{{link-en|Pincherle导数|Pincherle derivative}}与关于这个代数中一个元素的[[交换子]]。所有这些例子是密切联系的，导子的概念将它们统一起来。

==伪微分算子环==
微分环和微分域经常通过研究它们上面的[[伪微分算子]]来研究。

这是环

:<math>R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n | r_n \in R \right\}.</math>

这个环上的乘法定义为

:<math>(r\xi^m)(s\xi^n) = 
\sum_{k=0}^m r (\partial^k s) {m \choose k} \xi^{m+n-k}.</math>

这里 <math>{m \choose k}</math> 是[[二项式系数]]。注意到恒等式

:<math>\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}</math>

这里利用了恒等式

:<math>{-1 \choose n} = (-1)^n</math>

与

:<math>r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r).</math>

==另见==

* {{link-en|微分伽罗瓦定理|Differential Galois theory}}
* {{link-en|凯勒微分|Kähler differential}}
* {{link-en|微分闭域|Differentially closed field}}
* [[D-模]]是有多个微分算子作用在它上面的代数结构。
* [[微分分次代数]]是附加分次的一个微分代数。
* [[算术导数]]

==参考文献==

* Buium, ''Differential Algebra and Diophantine Geometry'', Hermann (1994).
* I. Kaplansky, ''Differential Algebra'', Hermann (1957).
* [[E. Kolchin]], ''Differential Algebra and Algebraic Groups,'' 1973
* D. Marker, Model theory of differential fields, ''Model theory of fields'', Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
* A. Magid, ''Lectures on Differential Galois Theory,''  American Math. Soc., 1994

==外部链接==
* [http://www.math.uic.edu/~marker/ David Marker's home page] {{Wayback|url=http://www.math.uic.edu/~marker/ |date=20110927094207 }} has several online surveys  discussing differential fields.

[[Category:微分代数|*]]