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'''微元法'''（{{lang-en|Differential element method}}），也叫'''元素法'''、'''微元素法'''、'''无穷小元素的求和法'''，是[[数学]]和[[物理]]中常用的一种求解数学和物理问题的方法。

==概述==
在求解力学量和物理量的实际应用中，很多新量的建立需要类似[[定积分]]中在求解面积和路程问题时分割、近似、求和、取[[极限]]的过程，为了使这一过程简化，微元法也就应运而生，微元法本身就是定积分的原始思想，它可以看做分割、近似、求和、取极限的简略过程，所以微元法也是一种思想方法。

历史上，在微积分的理论基础还不清楚，[[微分]]还没有严格定义时，微分被理解为一个比零大，但又比任何正数小的神秘的“数”，是无法理解的，这与现代明确的微分定义是不同的，它所对应的被度量的[[物理量]]就是微元。微元就是用这种无限小“微分”度量的具体的量，把微元理解为一个“无限小的过程”即“元过程”，这个“过程”可以是[[角度]]、[[线段]]、面、体，还可以是[[时间]]、[[位移]]、[[功]]等等，[[积分]]便是这些“无限小过程”之和，在求解[[力学]]量和[[物理]]量时，用这种想法可以快速地建立新量的积分表达式，因为这种想法方便实用，简便快捷，所以应用相当广泛。

当[[微积分]]的理论基础严格建立起来之后，旧的微分概念被抛弃了，取而代之的是现在的微分概念，微元法也有了严格的叙述方式，但在实际应用中，严格叙述较为繁琐，所以往往还是采用过去的理解，把微元看做“无限小的过程”。

==内容==
假设在某一实际问题中，对于给定的'''连续函数'''<math>y=f(x)</math>，量<math>Q</math>有以下三个特点：

1.一方面，<math>Q</math>是由区间<math>[a,b]</math>所决定的常量，不妨记之为<math>Q([a,b])</math>。另一方面，当考虑右端点变动的区间<math>[a,x](a<x\le b)</math>时，<math>Q([a,x])</math>又依赖于<math>x</math>而成为变量，也就是说，它又是<math>x</math>的函数而简记为<math>Q(x)</math>。
<br />2.对于<math>[a,b]</math>的每个子区间，<math>Q</math>都有确定的值，并且关于区间有可加性，即若<math>[\alpha,\beta]\subset[a,b],[\beta,\gamma]\subset[a,b]</math>，则
:<div style="text-align: center;"><math>Q([\alpha,\gamma])=Q([\alpha,\beta])+Q([\beta,\gamma]).</math></div>
3.部分量<math>\Delta Q_i</math>的近似值可表示为<math>f(\xi_i)\Delta x_i</math>。

为了计算出量<math>Q</math>并把它表达为积分的形式，我们采取两个步骤：

第一步（分割、近似），将区间<math>[a,b]</math>进行分割，而得到

:<div style="text-align: center;"><math>a=x_0 <x_1 <\cdots<x_{n-1} <x_n =b</math>,</div>

并求出<math>Q([x_i,x_{i+1}])</math>(即<math>\Delta Q_i</math>)的近似值<math>f(\xi_i)\Delta x_i</math>。

第二步（求和、取极限），将<math>f(\xi_i)\Delta x_i</math>关于<math>i</math>从<math>0</math>到<math>n-1</math>求和得到

:<div style="text-align: center;"><math>Q([a,b])=\sum_{i=0}^{n-1} Q([x_i,x_{i+1}]) \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)\Delta x_i</math></div>

令<math>max\left\{ \Delta x_i \right\}\rightarrow 0</math>取极限，由于连续函数<math>f(x)</math>的可积性，最后得

:<div style="text-align: center;"><math>Q([a,b])=\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math></div>

接下来我们把这个过程进行简化。

由上式可以知道<div style="text-align: center;"><math>Q(x)=Q([a,x])=\int_{a}^{x} f(x)\, dx  (a<x\le b)</math></div>

如果略去足码<math>i</math>，而将任意的小区间记为<math>[x,x+dx]</math>，并取<math>Q([x,x+dx])</math>的近似值为<math>f(x)dx</math>，由微分形式的[[微积分基本定理]]<ref >'''微分形式的微积分基本定理''':

若函数<math>f(x)\in C[a,b]</math>，则<math>F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, dt\in D[a,b]</math>，且有<math>\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\, dt=f(x),x\in [a,b]</math>.</div></ref>可知，它恰恰是<math>Q(x)</math>的[[微分]]，即<math>dQ=dQ(x)=f(x)dx</math> 于是在实际应用上，上述两个步骤可以简述为

第一步，在区间<math>[x,x+dx]</math>上计算<math>Q</math>的微分<math>dQ=f(x)dx</math>

第二步，在<math>[a,b]</math>上求和（求积）得

:<div style="text-align: center;"><math>Q=\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math></div>

不论是几何的物理的还是其他科学技术的量，只要它具有上述的三个特点，我们就可以用这个一般的程式求出它。这种方法通常称为'''无穷小元素的求和法'''或'''微元法'''。而<math>dx</math>及<math>dQ</math>则称为'''无穷小元素'''或'''微元'''。由于在力学和物理学的大部分问题中，通过问题的实际意义可以知道，所求量的函数是[[连续函数]]，因此微元法总是可以应用的。

==注释==
{{reflist}}

==参考资料==
*《微积分学教程》菲赫金哥尔茨编
*《数学分析》宋国柱等编
*《数学分析（第三版）》华东师范大学数学系编
*《高等数学（第六版）》同济大学数学系编

[[Category:数学分析]]
[[category:定积分]]